登录
2.如图，$\odot O$的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点C在弦AB上，$AC=\dfrac{1}{4}AB$，求OC的长。
答案
解：过点O作OD⊥AB于点D，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ OAD$中，$OA=2$，由勾股定理：
$OD^2 = OA^2 - AD^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 1$，即$OD=1$。
由题意得：$AC = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} × 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CD = AD - AC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理：
$OC^2 = OD^2 + CD^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
$\because OC＞0$，$\therefore OC = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ OAD$中，$OA=2$，由勾股定理：
$OD^2 = OA^2 - AD^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 1$，即$OD=1$。
由题意得：$AC = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} × 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CD = AD - AC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理：
$OC^2 = OD^2 + CD^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
$\because OC＞0$，$\therefore OC = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
解析
【分析】
要求OC的长度，观察图形可知OC未处于直角三角形中，因此需要构造直角三角形求解。结合题目给出弦AB的条件，可联想到垂径定理，过圆心O作AB的垂线OD，既可以利用垂径定理得到AD的长度，又能得到两个直角三角形Rt△OAD和Rt△OCD。先在Rt△OAD中用勾股定理求出OD的长度，再根据AC和AB的关系求出CD的长度，最后在Rt△OCD中用勾股定理即可求出OC的长。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ OAD$中，$OA=2$，由勾股定理得：
$OD^2 = OA^2 - AD^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 1$，即$OD=1$。
由题意得：$AC = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} × 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CD = AD - AC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OD^2 + CD^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
$\because OC＞0$，$\therefore OC = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题的关键是掌握“遇到弦时作垂直于弦的垂线”这一常用辅助线作法，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求OC的长度，观察图形可知OC未处于直角三角形中，因此需要构造直角三角形求解。结合题目给出弦AB的条件，可联想到垂径定理，过圆心O作AB的垂线OD，既可以利用垂径定理得到AD的长度，又能得到两个直角三角形Rt△OAD和Rt△OCD。先在Rt△OAD中用勾股定理求出OD的长度，再根据AC和AB的关系求出CD的长度，最后在Rt△OCD中用勾股定理即可求出OC的长。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，
由垂径定理得：$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$Rt△ OAD$中，$OA=2$，由勾股定理得：
$OD^2 = OA^2 - AD^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 1$，即$OD=1$。
由题意得：$AC = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} × 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore CD = AD - AC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OD^2 + CD^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7}{4}$，
$\because OC＞0$，$\therefore OC = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题的关键是掌握“遇到弦时作垂直于弦的垂线”这一常用辅助线作法，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OA=2$，$∠ AOB=120°$，则弦AB的长是________。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要求弦AB的长，我们可以利用垂径定理求解：首先过圆心O作AB的垂线，可将AB分为相等的两段，只需计算出其中一段的长度再乘2即可。已知OA、OB都是半径，长度相等，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，可先求出底角的度数，再在构造出的直角三角形中结合勾股定理计算半弦长，最终得到AB的长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵OA=OB=2，∠AOB=120°，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在Rt△AOC中，∠OAC=30°，OA=2，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=1$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将弦长计算问题转化为直角三角形边长求解问题，是圆相关计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长，我们可以利用垂径定理求解：首先过圆心O作AB的垂线，可将AB分为相等的两段，只需计算出其中一段的长度再乘2即可。已知OA、OB都是半径，长度相等，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，可先求出底角的度数，再在构造出的直角三角形中结合勾股定理计算半弦长，最终得到AB的长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵OA=OB=2，∠AOB=120°，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在Rt△AOC中，∠OAC=30°，OA=2，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=1$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将弦长计算问题转化为直角三角形边长求解问题，是圆相关计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
2. AB是$\odot O$的弦，$OM ⊥ AB$，垂足为$M$，连接$OA$。若$△ AOM$中有一个角是$30°$，$OM=2\sqrt{3}$，则弦$AB$的长为。
答案
解：
∵ OM⊥AB，
∴ 由垂径定理得：$AM = BM = \frac{1}{2}AB$，$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠ OAM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ OAM = \frac{OM}{AM}$，
即 $\tan30° = \frac{2\sqrt{3}}{AM}$，
解得 $AM=6$，
∴ $AB=2AM=12$。
② 若$∠ AOM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ AOM = \frac{AM}{OM}$，
即 $\tan30° = \frac{AM}{2\sqrt{3}}$，
解得 $AM=2$，
∴ $AB=2AM=4$。
综上，弦$AB$的长为$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{4}$。
∵ OM⊥AB，
∴ 由垂径定理得：$AM = BM = \frac{1}{2}AB$，$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠ OAM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ OAM = \frac{OM}{AM}$，
即 $\tan30° = \frac{2\sqrt{3}}{AM}$，
解得 $AM=6$，
∴ $AB=2AM=12$。
② 若$∠ AOM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ AOM = \frac{AM}{OM}$，
即 $\tan30° = \frac{AM}{2\sqrt{3}}$，
解得 $AM=2$，
∴ $AB=2AM=4$。
综上，弦$AB$的长为$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
本题需结合垂径定理与直角三角形的相关知识求解。首先由$OM⊥AB$，根据垂径定理可知$M$是$AB$的中点，即$AB=2AM$，且$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。题干仅说明$△ AOM$中有一个角是$30°$，未明确$30°$角的具体位置，因此需要分两种情况讨论：①$∠ OAM=30°$；②$∠ AOM=30°$，分别利用直角三角形的边角关系求出$AM$的长度，再进一步计算$AB$的长即可。
【解析】
$\because OM⊥ AB$，
$\therefore$ 由垂径定理得：$AM = BM = \frac{1}{2}AB$，$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠ OAM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ OAM = \frac{OM}{AM}$，
即 $\tan30° = \frac{2\sqrt{3}}{AM}$，
解得 $AM=6$，
$\therefore AB=2AM=12$。
② 若$∠ AOM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ AOM = \frac{AM}{OM}$，
即 $\tan30° = \frac{AM}{2\sqrt{3}}$，
解得 $AM=2$，
$\therefore AB=2AM=4$。
综上，弦$AB$的长为12或4。
【答案】
$12$或$4$
【知识点】
垂径定理、解直角三角形、分类讨论
【点评】
本题是易错题，解题的关键是注意未明确指向的$30°$角需要分情况讨论，避免漏解，同时要熟练运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.6
本题需结合垂径定理与直角三角形的相关知识求解。首先由$OM⊥AB$，根据垂径定理可知$M$是$AB$的中点，即$AB=2AM$，且$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。题干仅说明$△ AOM$中有一个角是$30°$，未明确$30°$角的具体位置，因此需要分两种情况讨论：①$∠ OAM=30°$；②$∠ AOM=30°$，分别利用直角三角形的边角关系求出$AM$的长度，再进一步计算$AB$的长即可。
【解析】
$\because OM⊥ AB$，
$\therefore$ 由垂径定理得：$AM = BM = \frac{1}{2}AB$，$△ AOM$是直角三角形，$∠ AMO=90°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠ OAM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ OAM = \frac{OM}{AM}$，
即 $\tan30° = \frac{2\sqrt{3}}{AM}$，
解得 $AM=6$，
$\therefore AB=2AM=12$。
② 若$∠ AOM=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$\tan∠ AOM = \frac{AM}{OM}$，
即 $\tan30° = \frac{AM}{2\sqrt{3}}$，
解得 $AM=2$，
$\therefore AB=2AM=4$。
综上，弦$AB$的长为12或4。
【答案】
$12$或$4$
【知识点】
垂径定理、解直角三角形、分类讨论
【点评】
本题是易错题，解题的关键是注意未明确指向的$30°$角需要分情况讨论，避免漏解，同时要熟练运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在$\odot O$中,若$AB⊥MN$,垂足为C,AB过圆心,则下列结论中,不一定正确的是()
A.$MC=NC$
B.$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{BN}$
C.$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$
D.$OC=CB$
第3题图 第4题图
A.$MC=NC$
B.$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{BN}$
C.$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$
D.$OC=CB$
第3题图 第4题图
答案
D
解析
【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题思路如下：首先明确AB是过圆心的线段，即AB是⊙O的直径，且AB垂直于弦MN，结合垂径定理逐一验证各选项：根据垂径定理可直接判断平分弦、平分弦所对的两条弧的结论是否成立；再分析D选项，OC与CB相等需要C为OB中点这一额外条件，题干未给出该条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
已知AB过⊙O的圆心O，且AB⊥MN，垂足为C，因此AB是⊙O的直径。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧：
1. 可得AB平分弦MN，即$MC=NC$，故A选项结论正确；
2. 可得AB平分弦MN所对的劣弧，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{BN}$，故B选项结论正确；
3. 可得AB平分弦MN所对的优弧，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$，故C选项结论正确；
4. 题干仅给出AB⊥MN，未说明C是OB的中点，因此$OC=CB$不一定成立，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础考查题，解题关键是熟练掌握垂径定理的内容，审题时注意题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因粗心误选正确结论。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的应用，解题思路如下：首先明确AB是过圆心的线段，即AB是⊙O的直径，且AB垂直于弦MN，结合垂径定理逐一验证各选项：根据垂径定理可直接判断平分弦、平分弦所对的两条弧的结论是否成立；再分析D选项，OC与CB相等需要C为OB中点这一额外条件，题干未给出该条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
已知AB过⊙O的圆心O，且AB⊥MN，垂足为C，因此AB是⊙O的直径。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧：
1. 可得AB平分弦MN，即$MC=NC$，故A选项结论正确；
2. 可得AB平分弦MN所对的劣弧，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{BN}$，故B选项结论正确；
3. 可得AB平分弦MN所对的优弧，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$，故C选项结论正确；
4. 题干仅给出AB⊥MN，未说明C是OB的中点，因此$OC=CB$不一定成立，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础考查题，解题关键是熟练掌握垂径定理的内容，审题时注意题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因粗心误选正确结论。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,则该圆弧所在圆的圆心的坐标是()
A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(\dfrac{5}{2},0)$
D.$(\dfrac{5}{2},1)$
A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(\dfrac{5}{2},0)$
D.$(\dfrac{5}{2},1)$
答案
B
解析
【分析】
根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，且圆心在任意弦的垂直平分线上，因此解题思路为：首先确定A、B、C三点的坐标，先求出其中一条弦的垂直平分线，缩小圆心坐标的范围，再结合圆心到另一个圆上点的距离相等的特点，计算出圆心的坐标即可。
【解析】
首先根据网格得三个点的坐标：$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。
1. 求弦$AB$的垂直平分线：
$A$、$B$纵坐标相等，因此$AB$为水平线段，其中点坐标为$(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{2+2}{2})=(2,2)$，$AB$的垂直平分线垂直于$AB$，为平行于$y$轴的直线，即垂直平分线为$x=2$，因此圆心横坐标为2，可初步锁定选项B。
2. 验证圆心坐标：
设圆心坐标为$(2,b)$，圆心到$A$、$C$的距离相等，因此距离的平方相等：
$(2-1)^2+(b-2)^2=(2-4)^2+(b-1)^2$
展开化简：
$1+b^2-4b+4=4+b^2-2b+1$
$-4b=-2b$
解得$b=0$，因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆基础性质的典型考题，解题核心是掌握圆心在弦的垂直平分线上、到圆上各点距离相等的特点，计算难度较低，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，且圆心在任意弦的垂直平分线上，因此解题思路为：首先确定A、B、C三点的坐标，先求出其中一条弦的垂直平分线，缩小圆心坐标的范围，再结合圆心到另一个圆上点的距离相等的特点，计算出圆心的坐标即可。
【解析】
首先根据网格得三个点的坐标：$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。
1. 求弦$AB$的垂直平分线：
$A$、$B$纵坐标相等，因此$AB$为水平线段，其中点坐标为$(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{2+2}{2})=(2,2)$，$AB$的垂直平分线垂直于$AB$，为平行于$y$轴的直线，即垂直平分线为$x=2$，因此圆心横坐标为2，可初步锁定选项B。
2. 验证圆心坐标：
设圆心坐标为$(2,b)$，圆心到$A$、$C$的距离相等，因此距离的平方相等：
$(2-1)^2+(b-2)^2=(2-4)^2+(b-1)^2$
展开化简：
$1+b^2-4b+4=4+b^2-2b+1$
$-4b=-2b$
解得$b=0$，因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆基础性质的典型考题，解题核心是掌握圆心在弦的垂直平分线上、到圆上各点距离相等的特点，计算难度较低，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,某学校的石拱门顶部是拱门模型,跨度(弧所对的弦AB的长)为6 m,拱高(弧的中点到弦的距离CD)为2 m,则该拱门模型的半径为()
A.$\frac{13}{4}$ m
B.4 m
C.$\frac{13}{3}$ m
D.5 m
A.$\frac{13}{4}$ m
B.4 m
C.$\frac{13}{3}$ m
D.5 m
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确拱门顶部为圆弧，根据垂径定理可知，弧的中点C、弦AB的中点D的连线经过圆弧所在圆的圆心，且CD垂直平分AB。我们可以设圆的半径为r，将半径、弦长的一半、半径与拱高的差转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设该圆弧所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接$OA$。
∵C是弧$AB$的中点，$CD⊥ AB$，
∴根据垂径定理，$O$、$D$、$C$三点共线，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
∵拱高$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴$OD=OC-CD=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入得：$r^2=3^2+(r-2)^2$
展开计算：$r^2=9+r^2-4r+4$
移项化简得：$4r=13$
解得：$r=\frac{13}{4}$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的典型应用类题目，解题的核心是构造直角三角形，将圆的半径、弦长的一半、弦心距的关系通过勾股定理转化为方程求解，属于圆部分的基础常考题型，掌握此类题的辅助线构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确拱门顶部为圆弧，根据垂径定理可知，弧的中点C、弦AB的中点D的连线经过圆弧所在圆的圆心，且CD垂直平分AB。我们可以设圆的半径为r，将半径、弦长的一半、半径与拱高的差转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设该圆弧所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接$OA$。
∵C是弧$AB$的中点，$CD⊥ AB$，
∴根据垂径定理，$O$、$D$、$C$三点共线，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
∵拱高$CD=2\ \mathrm{m}$，
∴$OD=OC-CD=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入得：$r^2=3^2+(r-2)^2$
展开计算：$r^2=9+r^2-4r+4$
移项化简得：$4r=13$
解得：$r=\frac{13}{4}$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的典型应用类题目，解题的核心是构造直角三角形，将圆的半径、弦长的一半、弦心距的关系通过勾股定理转化为方程求解，属于圆部分的基础常考题型，掌握此类题的辅助线构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为()
A.$\frac{18}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{9}{5}$
A.$\frac{18}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{9}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度；要求圆中弦AD的长，可根据垂径定理，过圆心C作AD的垂线，此时垂足平分AD，只需求出半条弦长再乘2即可得到AD的长度；接下来用三角形面积法求出斜边上的高CE，再在直角三角形ACE中用勾股定理求出AE的长度，最终计算得到AD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点C作$CE⊥ AB$于点E，
根据垂径定理，CE垂直平分弦AD，因此$AD=2AE$。
$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CE$，
则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
因此$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的常考基础题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理和面积法求解，解题时注意弦长是半弦长的2倍，避免误选干扰项。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度；要求圆中弦AD的长，可根据垂径定理，过圆心C作AD的垂线，此时垂足平分AD，只需求出半条弦长再乘2即可得到AD的长度；接下来用三角形面积法求出斜边上的高CE，再在直角三角形ACE中用勾股定理求出AE的长度，最终计算得到AD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点C作$CE⊥ AB$于点E，
根据垂径定理，CE垂直平分弦AD，因此$AD=2AE$。
$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CE$，
则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
因此$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的常考基础题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理、勾股定理和面积法求解，解题时注意弦长是半弦长的2倍，避免误选干扰项。
【难度系数】
0.7
