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1. 绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与的
距离叫作数a的绝对值，记作。
一般地，数轴上表示数a的点与的
距离叫作数a的绝对值，记作。
答案
解：原点
$\vert a\vert$
$\vert a\vert$
解析
【分析】
本题是概念识记类填空题，考查绝对值的基础定义。解题时只需回忆教材中绝对值的几何意义及表示方法即可：我们在定义绝对值时，是从数轴的几何角度出发，规定数轴上数对应的点到原点的距离为该数的绝对值，同时绝对值有固定的符号表示形式，对应填入即可。
【解析】
根据绝对值的官方定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，绝对值的表示符号为两条竖线，因此数a的绝对值记作$\vert a\vert$。
【答案】
原点；$\vert a\vert$
【知识点】
1. 绝对值的定义
2. 绝对值的表示
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度极低，核心是检验对教材核心基础概念的记忆情况，熟记课本定义就能直接得分。
【难度系数】
0.9
本题是概念识记类填空题，考查绝对值的基础定义。解题时只需回忆教材中绝对值的几何意义及表示方法即可：我们在定义绝对值时，是从数轴的几何角度出发，规定数轴上数对应的点到原点的距离为该数的绝对值，同时绝对值有固定的符号表示形式，对应填入即可。
【解析】
根据绝对值的官方定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，绝对值的表示符号为两条竖线，因此数a的绝对值记作$\vert a\vert$。
【答案】
原点；$\vert a\vert$
【知识点】
1. 绝对值的定义
2. 绝对值的表示
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度极低，核心是检验对教材核心基础概念的记忆情况，熟记课本定义就能直接得分。
【难度系数】
0.9
2. 绝对值的性质
一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是；0的绝对值是，由此可得$|a|$0（比较大小）。
用数学符号语言表示：
$|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, & a＞0, \\\_\_\_\_\_\_, & a=0, \\\_\_\_\_\_\_, & a＜0.\end{cases}$
一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是；0的绝对值是，由此可得$|a|$0（比较大小）。
用数学符号语言表示：
$|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, & a＞0, \\\_\_\_\_\_\_, & a=0, \\\_\_\_\_\_\_, & a＜0.\end{cases}$
答案
解：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，由此可得$|a| \boldsymbol{≥} 0$。
用数学符号语言表示：
$|a|=\begin{cases}\boldsymbol{a}, & a＞0, \\\boldsymbol{0}, & a=0, \\\boldsymbol{-a}, & a＜0.\end{cases}$
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，由此可得$|a| \boldsymbol{≥} 0$。
用数学符号语言表示：
$|a|=\begin{cases}\boldsymbol{a}, & a＞0, \\\boldsymbol{0}, & a=0, \\\boldsymbol{-a}, & a＜0.\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查绝对值的基础性质，可结合绝对值的几何意义（数轴上数对应的点到原点的距离）推导结论：距离不具有负性，因此我们按正数、负数、0三类分别讨论对应的绝对值：正数到原点的距离就是它本身的大小；负数到原点的距离等于其相反数的大小；0到原点的距离为0。再根据三类结论填写分段表达式，最后结合距离的非负性判断|a|与0的大小关系即可。
【解析】
根据绝对值的定义推导：
1. 正数的绝对值是它本身，例如$\left|4\right|=4$；
2. 负数的绝对值是它的相反数，例如$\left|-3\right|=3$，3是-3的相反数；
3. 0的绝对值是0，即$\left|0\right|=0$。
由于绝对值表示的是数轴上的距离，不可能为负数，因此任意实数的绝对值都是非负数，可得$\left|a\right|≥ 0$。
对应三类情况写绝对值的分段表达式：
当$a＞0$时，$\left|a\right|=a$；
当$a=0$时，$\left|a\right|=0$；
当$a＜0$时，$a$为负数，其绝对值是它的相反数，即$\left|a\right|=-a$（此时$-a$为正数，符合绝对值非负的特点）。
【答案】
它本身；它的相反数；0；$≥$；$a$；$0$；$-a$
【知识点】
绝对值的性质；绝对值的非负性；绝对值的代数表示
【点评】
本题属于绝对值基础概念的识记类题目，熟练掌握绝对值的几何意义和分类规则即可快速解题，相关性质是后续绝对值化简、相关运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查绝对值的基础性质，可结合绝对值的几何意义（数轴上数对应的点到原点的距离）推导结论：距离不具有负性，因此我们按正数、负数、0三类分别讨论对应的绝对值：正数到原点的距离就是它本身的大小；负数到原点的距离等于其相反数的大小；0到原点的距离为0。再根据三类结论填写分段表达式，最后结合距离的非负性判断|a|与0的大小关系即可。
【解析】
根据绝对值的定义推导：
1. 正数的绝对值是它本身，例如$\left|4\right|=4$；
2. 负数的绝对值是它的相反数，例如$\left|-3\right|=3$，3是-3的相反数；
3. 0的绝对值是0，即$\left|0\right|=0$。
由于绝对值表示的是数轴上的距离，不可能为负数，因此任意实数的绝对值都是非负数，可得$\left|a\right|≥ 0$。
对应三类情况写绝对值的分段表达式：
当$a＞0$时，$\left|a\right|=a$；
当$a=0$时，$\left|a\right|=0$；
当$a＜0$时，$a$为负数，其绝对值是它的相反数，即$\left|a\right|=-a$（此时$-a$为正数，符合绝对值非负的特点）。
【答案】
它本身；它的相反数；0；$≥$；$a$；$0$；$-a$
【知识点】
绝对值的性质；绝对值的非负性；绝对值的代数表示
【点评】
本题属于绝对值基础概念的识记类题目，熟练掌握绝对值的几何意义和分类规则即可快速解题，相关性质是后续绝对值化简、相关运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
【例1】写出下列各数的绝对值：
(1)$-1.5$;(2)$\frac{8}{3}$;(3)$-6$;(4)$-\frac{8}{3}$;(5)$3$.
$\boldsymbol{·}$重点必记$\boldsymbol{·}$
(1)任何数都有绝对值，并且只有1个；
(2)绝对值是$a(a＞0)$的数有两个，它们互为相反数，即$\pm a$；
(3)绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若$|a|=|b|$，则$a=b$或$a=-b$；
(4)任意有理数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$.
(1)$-1.5$;(2)$\frac{8}{3}$;(3)$-6$;(4)$-\frac{8}{3}$;(5)$3$.
$\boldsymbol{·}$重点必记$\boldsymbol{·}$
(1)任何数都有绝对值，并且只有1个；
(2)绝对值是$a(a＞0)$的数有两个，它们互为相反数，即$\pm a$；
(3)绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若$|a|=|b|$，则$a=b$或$a=-b$；
(4)任意有理数的绝对值都是非负数，即$|a|≥0$.
答案
解：
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
(1) $|-1.5|=1.5$；
(2) $\left|\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(3) $|-6|=6$；
(4) $\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(5) $|3|=3$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
(1) $|-1.5|=1.5$；
(2) $\left|\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(3) $|-6|=6$；
(4) $\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(5) $|3|=3$。
解析
【分析】
要计算各数的绝对值，首先需要牢记绝对值的运算规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时先逐一判断每个数的正负性，再对应上述规则计算即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
(1) $|-1.5|=1.5$；
(2) $\left|\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(3) $|-6|=6$；
(4) $\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(5) $|3|=3$。
【答案】
(1)$1.5$；(2)$\frac{8}{3}$；(3)$6$；(4)$\frac{8}{3}$；(5)$3$
【知识点】
绝对值的性质，绝对值运算
【点评】
本题是绝对值相关的基础题型，核心考查对绝对值性质的理解和应用能力，熟练掌握正负数对应的绝对值计算规则即可快速解答，是后续学习绝对值复杂运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
要计算各数的绝对值，首先需要牢记绝对值的运算规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时先逐一判断每个数的正负性，再对应上述规则计算即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
(1) $|-1.5|=1.5$；
(2) $\left|\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(3) $|-6|=6$；
(4) $\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$；
(5) $|3|=3$。
【答案】
(1)$1.5$；(2)$\frac{8}{3}$；(3)$6$；(4)$\frac{8}{3}$；(5)$3$
【知识点】
绝对值的性质，绝对值运算
【点评】
本题是绝对值相关的基础题型，核心考查对绝对值性质的理解和应用能力，熟练掌握正负数对应的绝对值计算规则即可快速解答，是后续学习绝对值复杂运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【变式1】(1)若$|x|=2$，则$x=$，若$|x|=|-2.8|$，则$x=$；
(2)若$|m|=6$，且$m＞0$，则$|m-3|=$；
(3)绝对值不大于3的整数有；
(4)当$3＜x＜5$时，$|x-3|+|x-5|=$。
(2)若$|m|=6$，且$m＞0$，则$|m-3|=$；
(3)绝对值不大于3的整数有；
(4)当$3＜x＜5$时，$|x-3|+|x-5|=$。
答案
(1) $\boldsymbol{\pm2}$；$\boldsymbol{\pm2.8}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{0,\pm1,\pm2,\pm3}$
(4) $\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{0,\pm1,\pm2,\pm3}$
(4) $\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时需紧扣绝对值的核心性质：①绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
(1) 求|x|=a（a＞0）中x的值时，直接根据性质得x=±a即可，先计算|x|=|-2.8|中等号右侧的结果，再求x；
(2) 先根据|m|=6求出m的所有可能值，再结合m＞0的条件筛选出m的取值，代入|m-3|计算即可；
(3) “绝对值不大于3”即绝对值≤3，结合整数的定义，找出所有满足距离原点距离不超过3的整数即可；
(4) 先根据x的取值范围3＜x＜5，判断绝对值内式子x-3和x-5的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项计算结果。
【解析】
(1) 因为绝对值等于2的数有2和-2，所以若|x|=2，则x=±2；
先计算|-2.8|=2.8，绝对值等于2.8的数有2.8和-2.8，所以若|x|=|-2.8|，则x=±2.8；
(2) 由|m|=6可得m=±6，又因为m＞0，所以m=6，代入得|m-3|=|6-3|=3；
(3) 绝对值不大于3即|x|≤3，满足条件的整数为：-3、-2、-1、0、1、2、3，即0,±1,±2,±3；
(4) 当3＜x＜5时，x-3＞0，所以|x-3|=x-3；x-5＜0，所以|x-5|=-(x-5)=5-x；
则原式=(x-3)+(5-x)=2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm2}$；$\boldsymbol{\pm2.8}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{0,\pm1,\pm2,\pm3}$
(4) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
绝对值的性质，绝对值化简，整数的概念
【点评】
本题是绝对值板块的基础典型习题，全面覆盖了绝对值的基础应用场景，从概念理解到简单化简，能够有效帮助学生夯实绝对值基础知识点，解题时需注意不要漏解互为相反数的情况。
【难度系数】
0.8
解题时需紧扣绝对值的核心性质：①绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
(1) 求|x|=a（a＞0）中x的值时，直接根据性质得x=±a即可，先计算|x|=|-2.8|中等号右侧的结果，再求x；
(2) 先根据|m|=6求出m的所有可能值，再结合m＞0的条件筛选出m的取值，代入|m-3|计算即可；
(3) “绝对值不大于3”即绝对值≤3，结合整数的定义，找出所有满足距离原点距离不超过3的整数即可；
(4) 先根据x的取值范围3＜x＜5，判断绝对值内式子x-3和x-5的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项计算结果。
【解析】
(1) 因为绝对值等于2的数有2和-2，所以若|x|=2，则x=±2；
先计算|-2.8|=2.8，绝对值等于2.8的数有2.8和-2.8，所以若|x|=|-2.8|，则x=±2.8；
(2) 由|m|=6可得m=±6，又因为m＞0，所以m=6，代入得|m-3|=|6-3|=3；
(3) 绝对值不大于3即|x|≤3，满足条件的整数为：-3、-2、-1、0、1、2、3，即0,±1,±2,±3；
(4) 当3＜x＜5时，x-3＞0，所以|x-3|=x-3；x-5＜0，所以|x-5|=-(x-5)=5-x；
则原式=(x-3)+(5-x)=2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm2}$；$\boldsymbol{\pm2.8}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{0,\pm1,\pm2,\pm3}$
(4) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
绝对值的性质，绝对值化简，整数的概念
【点评】
本题是绝对值板块的基础典型习题，全面覆盖了绝对值的基础应用场景，从概念理解到简单化简，能够有效帮助学生夯实绝对值基础知识点，解题时需注意不要漏解互为相反数的情况。
【难度系数】
0.8
【例2】化简下列各数：
(1)$+|(-4)|=$；
(2)$-|-3|=$；
(3)$|0|=$；
(4)$|-(+20)|=$.
(1)$+|(-4)|=$；
(2)$-|-3|=$；
(3)$|0|=$；
(4)$|-(+20)|=$.
答案
解：
(1) $+|(-4)| = +4 = 4$
(2) $-|-3| = -3$
(3) $|0| = 0$
(4) $|-(+20)| = |-20| = 20$
(1) $+|(-4)| = +4 = 4$
(2) $-|-3| = -3$
(3) $|0| = 0$
(4) $|-(+20)| = |-20| = 20$
解析
【分析】
解决绝对值化简类题目，需按固定思路逐步运算：首先牢记绝对值的基本性质，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；运算时先计算绝对值符号内部的结果，再根据绝对值性质去掉绝对值符号，最后处理绝对值外的正负号即可得到最终结果。
【解析】
(1) 先求绝对值部分：$|(-4)|=4$，再化简外部正号，可得$+|(-4)| = +4 = 4$
(2) 先求绝对值部分：$|-3|=3$，再添加外部负号，可得$-|-3| = -3$
(3) 根据绝对值性质，0的绝对值是0，可得$|0| = 0$
(4) 先计算绝对值内部：$-(+20)=-20$，再求绝对值$|-20|=20$，可得$|-(+20)| = |-20| = 20$
【答案】
(1)4；(2)-3；(3)0；(4)20
【知识点】
绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题属于绝对值基础运算题，重点考察运算顺序的规范性，需注意先处理绝对值内部的符号，再去绝对值，不要混淆运算先后顺序，熟练掌握绝对值性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决绝对值化简类题目，需按固定思路逐步运算：首先牢记绝对值的基本性质，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；运算时先计算绝对值符号内部的结果，再根据绝对值性质去掉绝对值符号，最后处理绝对值外的正负号即可得到最终结果。
【解析】
(1) 先求绝对值部分：$|(-4)|=4$，再化简外部正号，可得$+|(-4)| = +4 = 4$
(2) 先求绝对值部分：$|-3|=3$，再添加外部负号，可得$-|-3| = -3$
(3) 根据绝对值性质，0的绝对值是0，可得$|0| = 0$
(4) 先计算绝对值内部：$-(+20)=-20$，再求绝对值$|-20|=20$，可得$|-(+20)| = |-20| = 20$
【答案】
(1)4；(2)-3；(3)0；(4)20
【知识点】
绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题属于绝对值基础运算题，重点考察运算顺序的规范性，需注意先处理绝对值内部的符号，再去绝对值，不要混淆运算先后顺序，熟练掌握绝对值性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
【变式2】计算：
(1)$|-3| × |6.2|$；
(2)$|-5| + |-2.49|$；
(3)$\frac{11}{6} - \left| -\frac{3}{8} \right|$；
(4)$\left| -\frac{2}{3} \right| ÷ \left| \frac{14}{3} \right|$。
(1)$|-3| × |6.2|$；
(2)$|-5| + |-2.49|$；
(3)$\frac{11}{6} - \left| -\frac{3}{8} \right|$；
(4)$\left| -\frac{2}{3} \right| ÷ \left| \frac{14}{3} \right|$。
答案
解：
(1) 原式 = 3 × 6.2
= 18.6
(2) 原式 = 5 + 2.49
= 7.49
(3) 原式 = $\frac{11}{6} - \frac{3}{8}$
= $\frac{44}{24} - \frac{9}{24}$
= $\frac{35}{24}$
(4) 原式 = $\frac{2}{3} ÷ \frac{14}{3}$
= $\frac{2}{3} × \frac{3}{14}$
= $\frac{1}{7}$
(1) 原式 = 3 × 6.2
= 18.6
(2) 原式 = 5 + 2.49
= 7.49
(3) 原式 = $\frac{11}{6} - \frac{3}{8}$
= $\frac{44}{24} - \frac{9}{24}$
= $\frac{35}{24}$
(4) 原式 = $\frac{2}{3} ÷ \frac{14}{3}$
= $\frac{2}{3} × \frac{3}{14}$
= $\frac{1}{7}$
解析
【分析】
本题是绝对值与有理数四则运算结合的基础计算题，解题思路分为两步：第一步先根据绝对值的性质化简去掉绝对值符号，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，本题中所有带绝对值的数化简后均为正数；第二步将化简后的式子按照有理数加减乘除的运算法则计算即可，分数运算需先通分，除法运算要转化为乘法计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值可得$|-3|=3$，$|6.2|=6.2$
原式 = 3 × 6.2
= 18.6
(2) 先化简绝对值可得$|-5|=5$，$|-2.49|=2.49$
原式 = 5 + 2.49
= 7.49
(3) 先化简绝对值可得$\left| -\frac{3}{8} \right|=\frac{3}{8}$
原式 = $\frac{11}{6} - \frac{3}{8}$
通分后计算：= $\frac{44}{24} - \frac{9}{24}$
= $\frac{35}{24}$
(4) 先化简绝对值可得$\left| -\frac{2}{3} \right|=\frac{2}{3}$，$\left| \frac{14}{3} \right|=\frac{14}{3}$
原式 = $\frac{2}{3} ÷ \frac{14}{3}$
将除法转化为乘法计算：= $\frac{2}{3} × \frac{3}{14}$
= $\frac{1}{7}$
【答案】
(1)$18.6$；(2)$7.49$；(3)$\frac{35}{24}$；(4)$\frac{1}{7}$
【知识点】
绝对值的化简，有理数四则运算，分数通分
【点评】
本题属于绝对值运算的基础题，主要考察对绝对值性质的掌握程度和有理数基本运算的熟练度，计算时注意化简绝对值后符号的正确性，分数、除法运算要遵循对应规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题是绝对值与有理数四则运算结合的基础计算题，解题思路分为两步：第一步先根据绝对值的性质化简去掉绝对值符号，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，本题中所有带绝对值的数化简后均为正数；第二步将化简后的式子按照有理数加减乘除的运算法则计算即可，分数运算需先通分，除法运算要转化为乘法计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值可得$|-3|=3$，$|6.2|=6.2$
原式 = 3 × 6.2
= 18.6
(2) 先化简绝对值可得$|-5|=5$，$|-2.49|=2.49$
原式 = 5 + 2.49
= 7.49
(3) 先化简绝对值可得$\left| -\frac{3}{8} \right|=\frac{3}{8}$
原式 = $\frac{11}{6} - \frac{3}{8}$
通分后计算：= $\frac{44}{24} - \frac{9}{24}$
= $\frac{35}{24}$
(4) 先化简绝对值可得$\left| -\frac{2}{3} \right|=\frac{2}{3}$，$\left| \frac{14}{3} \right|=\frac{14}{3}$
原式 = $\frac{2}{3} ÷ \frac{14}{3}$
将除法转化为乘法计算：= $\frac{2}{3} × \frac{3}{14}$
= $\frac{1}{7}$
【答案】
(1)$18.6$；(2)$7.49$；(3)$\frac{35}{24}$；(4)$\frac{1}{7}$
【知识点】
绝对值的化简，有理数四则运算，分数通分
【点评】
本题属于绝对值运算的基础题，主要考察对绝对值性质的掌握程度和有理数基本运算的熟练度，计算时注意化简绝对值后符号的正确性，分数、除法运算要遵循对应规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
