登录
例1 已知点$P(-2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
（1）画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标、纵坐标互为相反数的点；
（2）当$x＜-1$时，写出$y$的取值范围；
（3）当$y$的值不小于2时，写出$x$的取值范围.
（1）画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标、纵坐标互为相反数的点；
（2）当$x＜-1$时，写出$y$的取值范围；
（3）当$y$的值不小于2时，写出$x$的取值范围.
答案
（1）图象略，$(\sqrt{6},-\sqrt{6}),(-\sqrt{6},\sqrt{6})$
（2）$0＜y＜6$
（3）$-3≤ x＜0$
（2）$0＜y＜6$
（3）$-3≤ x＜0$
解析
【分析】
首先将点P的坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定函数解析式。（1）找横、纵坐标互为相反数的点，即满足y=-x的点，联立反比例函数与y=-x的方程即可求解；反比例函数k＜0，图象分布在第二、四象限，按描点法可画出图象。（2）根据反比例函数在第二象限的单调性，结合x=-1时的y值，分析x＜-1时的y的取值范围。（3）根据y≥2的条件，结合函数图象所在象限，解不等式即可得到x的取值范围，注意x的符号对不等号方向的影响。
【解析】
先求反比例函数解析式：将点$P(-2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
（1）横坐标、纵坐标互为相反数的点满足$y=-x$，联立$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-x\end{cases}$，将$y=-x$代入反比例函数得$-x=-\frac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，对应$y=-\sqrt{6}$或$y=\sqrt{6}$，即所求点为$(\sqrt{6},-\sqrt{6}),(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；函数图象为分布在第二、四象限的双曲线，画图略。
（2）$\because k=-6＜0$，$\therefore$反比例函数在第二象限（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大。当$x=-1$时，$y=-\frac{6}{-1}=6$；当$x＜-1$且$x$趋近于$-∞$时，$y$趋近于$0$，因此当$x＜-1$时，$0＜y＜6$。
（3）当$y≥2$时，即$-\frac{6}{x}≥2$。$\because y=2＞0$，而$k=-6＜0$，仅当$x＜0$时函数值为正，因此$x＜0$，不等式两边同时乘$x$（负数），不等号方向改变，得$-6≤2x$，解得$x≥-3$，结合$x＜0$，得$x$的取值范围为$-3≤ x＜0$。
【答案】
（1）图象略，$(\sqrt{6},-\sqrt{6}),(-\sqrt{6},\sqrt{6})$
（2）$0＜y＜6$
（3）$-3≤ x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数与不等式
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用，解题的关键是先确定函数解析式，再结合函数的单调性和图象特征分析取值范围，求解不等式时要注意反比例函数自变量的符号，避免因不等号方向判断错误失分。
【难度系数】
0.7
首先将点P的坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定函数解析式。（1）找横、纵坐标互为相反数的点，即满足y=-x的点，联立反比例函数与y=-x的方程即可求解；反比例函数k＜0，图象分布在第二、四象限，按描点法可画出图象。（2）根据反比例函数在第二象限的单调性，结合x=-1时的y值，分析x＜-1时的y的取值范围。（3）根据y≥2的条件，结合函数图象所在象限，解不等式即可得到x的取值范围，注意x的符号对不等号方向的影响。
【解析】
先求反比例函数解析式：将点$P(-2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
（1）横坐标、纵坐标互为相反数的点满足$y=-x$，联立$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-x\end{cases}$，将$y=-x$代入反比例函数得$-x=-\frac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，对应$y=-\sqrt{6}$或$y=\sqrt{6}$，即所求点为$(\sqrt{6},-\sqrt{6}),(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；函数图象为分布在第二、四象限的双曲线，画图略。
（2）$\because k=-6＜0$，$\therefore$反比例函数在第二象限（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大。当$x=-1$时，$y=-\frac{6}{-1}=6$；当$x＜-1$且$x$趋近于$-∞$时，$y$趋近于$0$，因此当$x＜-1$时，$0＜y＜6$。
（3）当$y≥2$时，即$-\frac{6}{x}≥2$。$\because y=2＞0$，而$k=-6＜0$，仅当$x＜0$时函数值为正，因此$x＜0$，不等式两边同时乘$x$（负数），不等号方向改变，得$-6≤2x$，解得$x≥-3$，结合$x＜0$，得$x$的取值范围为$-3≤ x＜0$。
【答案】
（1）图象略，$(\sqrt{6},-\sqrt{6}),(-\sqrt{6},\sqrt{6})$
（2）$0＜y＜6$
（3）$-3≤ x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数与不等式
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用，解题的关键是先确定函数解析式，再结合函数的单调性和图象特征分析取值范围，求解不等式时要注意反比例函数自变量的符号，避免因不等号方向判断错误失分。
【难度系数】
0.7
例2 已知一次函数$y=x-2$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于点$A(3, m)$.
（1）求$m$，$k$的值.
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象的另一交点为$B(n, -3)$，结合函数图象判断：当$x$取什么值时，反比例函数值小于一次函数的值？
（1）求$m$，$k$的值.
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象的另一交点为$B(n, -3)$，结合函数图象判断：当$x$取什么值时，反比例函数值小于一次函数的值？
答案
（1）将点$A(3,m)$代入$y=x-2$，得$m=1$；将点$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3$. 在同一平面直角坐标系中画出函数$y=x-2$和$y=\frac{3}{x}$的大致图象
（2）将点$B(n,-3)$代入$y=\frac{3}{x}$，得$n=-1$. 由图象知：当$-1＜x＜0$或$x＞3$时，反比例函数值小于一次函数的值
解析
【分析】
（1）要计算m和k的值，利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质：先将点A坐标代入一次函数解析式即可求出m，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k。
（2）先将点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出n得到点B坐标；要判断反比例函数值小于一次函数值的x范围，只需观察图象：找同一x值下，反比例函数图象位于一次函数图象下方对应的x区间即可，注意反比例函数的自变量x不能为0，需分区间讨论。
【解析】
（1）
∵点$A(3,m)$在一次函数$y=x-2$的图象上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$，即点$A$坐标为$(3,1)$。
又
∵点$A(3,1)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=3,y=1$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$。
（2）由（1）知反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$，
∵点$B(n,-3)$在反比例函数图象上，
∴将$y=-3$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$-3=\dfrac{3}{n}$，解得$n=-1$，即点$B$坐标为$(-1,-3)$。
观察两个函数的图象：两个交点为$B(-1,-3)$、$A(3,1)$，反比例函数图象分为第一、三象限的两支，
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象下方；当$x＞3$时，反比例函数图象也在一次函数图象下方，
即此时反比例函数值小于一次函数值。
【答案】
（1）$m=1$，$k=3$；在同一平面直角坐标系中画出函数$y=x-2$和$y=\frac{3}{x}$的大致图象
（2）当$-1＜x＜0$或$x＞3$时，反比例函数值小于一次函数的值
【知识点】
点与函数解析式的关系；反比例函数的图象与性质；数形结合比较函数值
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，同时利用数形结合思想能快速求解函数值大小比较类问题，是反比例函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要计算m和k的值，利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质：先将点A坐标代入一次函数解析式即可求出m，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k。
（2）先将点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出n得到点B坐标；要判断反比例函数值小于一次函数值的x范围，只需观察图象：找同一x值下，反比例函数图象位于一次函数图象下方对应的x区间即可，注意反比例函数的自变量x不能为0，需分区间讨论。
【解析】
（1）
∵点$A(3,m)$在一次函数$y=x-2$的图象上，
∴将$x=3$代入$y=x-2$，得$m=3-2=1$，即点$A$坐标为$(3,1)$。
又
∵点$A(3,1)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=3,y=1$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$。
（2）由（1）知反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$，
∵点$B(n,-3)$在反比例函数图象上，
∴将$y=-3$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$-3=\dfrac{3}{n}$，解得$n=-1$，即点$B$坐标为$(-1,-3)$。
观察两个函数的图象：两个交点为$B(-1,-3)$、$A(3,1)$，反比例函数图象分为第一、三象限的两支，
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象下方；当$x＞3$时，反比例函数图象也在一次函数图象下方，
即此时反比例函数值小于一次函数值。
【答案】
（1）$m=1$，$k=3$；在同一平面直角坐标系中画出函数$y=x-2$和$y=\frac{3}{x}$的大致图象
（2）当$-1＜x＜0$或$x＞3$时，反比例函数值小于一次函数的值
【知识点】
点与函数解析式的关系；反比例函数的图象与性质；数形结合比较函数值
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，同时利用数形结合思想能快速求解函数值大小比较类问题，是反比例函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC，BC。若△ABC的面积为2，则k的值为
4
。答案
1. 4
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB垂直x轴，因此AB与y轴平行。我们可以通过两种思路推导：思路1：设出点A的坐标，将△ABC的底和高用点A的横、纵坐标表示，结合三角形面积公式得到横纵坐标的乘积，再结合反比例函数解析式中k=xy的关系求解；思路2：连接OA，利用“同底等高的两个三角形面积相等”，可知△ABC和△ABO面积相等，再直接利用反比例函数k的几何意义求解。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵$AB⊥ x$轴，
∴$AB = b$，且$AB// y$轴，
又
∵点C在y轴上，
∴点C到直线AB的距离等于点A的横坐标$a$。
已知$△ ABC$的面积为2，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × a = \frac{1}{2}ab=2$，
∴$ab=4$，因此$k=ab=4$。
（补充简便解法：连接OA，
∵AB//y轴，
∴$△ ABC$与$△ ABO$同底等高，$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=2$，由反比例函数k的几何意义得$\frac{1}{2}|k|=2$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$。）
【答案】
4
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
3. 平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是结合图形特征，将所求三角形面积和反比例函数中k的意义建立关联，两种解法都体现了数形结合的思想，掌握反比例函数k的几何意义可以快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AB垂直x轴，因此AB与y轴平行。我们可以通过两种思路推导：思路1：设出点A的坐标，将△ABC的底和高用点A的横、纵坐标表示，结合三角形面积公式得到横纵坐标的乘积，再结合反比例函数解析式中k=xy的关系求解；思路2：连接OA，利用“同底等高的两个三角形面积相等”，可知△ABC和△ABO面积相等，再直接利用反比例函数k的几何意义求解。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵$AB⊥ x$轴，
∴$AB = b$，且$AB// y$轴，
又
∵点C在y轴上，
∴点C到直线AB的距离等于点A的横坐标$a$。
已知$△ ABC$的面积为2，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × a = \frac{1}{2}ab=2$，
∴$ab=4$，因此$k=ab=4$。
（补充简便解法：连接OA，
∵AB//y轴，
∴$△ ABC$与$△ ABO$同底等高，$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=2$，由反比例函数k的几何意义得$\frac{1}{2}|k|=2$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$。）
【答案】
4
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
3. 平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是结合图形特征，将所求三角形面积和反比例函数中k的意义建立关联，两种解法都体现了数形结合的思想，掌握反比例函数k的几何意义可以快速解题。
【难度系数】
0.7
