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1.如图，点C是线段AB的中点.若AC=2 cm，则AB=
4
cm. 答案
1.4
解析
【分析】
解题时首先提取题干已知条件：一是点C是线段AB的中点，二是AC的长度为2cm，要求AB的长度。首先回忆线段中点的定义：若一个点将一条线段分成两条长度相等的线段，该点就是这条线段的中点，由此可知中点分出来的短线段长度是原线段的一半，反过来原线段长度是短线段的2倍，因此我们只需用AC的长度乘2即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，
∴根据线段中点的性质可得AB=2AC，
又已知AC=2 cm，
代入得AB=2×2=4 cm。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义、线段长度计算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对线段中点概念的理解和应用，熟练掌握中点对应的线段倍分关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干已知条件：一是点C是线段AB的中点，二是AC的长度为2cm，要求AB的长度。首先回忆线段中点的定义：若一个点将一条线段分成两条长度相等的线段，该点就是这条线段的中点，由此可知中点分出来的短线段长度是原线段的一半，反过来原线段长度是短线段的2倍，因此我们只需用AC的长度乘2即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，
∴根据线段中点的性质可得AB=2AC，
又已知AC=2 cm，
代入得AB=2×2=4 cm。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义、线段长度计算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对线段中点概念的理解和应用，熟练掌握中点对应的线段倍分关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2.已知∠A的补角为$60°$，则∠A的度数为
120°
答案
2.$120°$
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查补角的相关知识，先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。已知∠A的补角度数，要求∠A，只需用180°减去其补角的度数即可得到结果。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，可得：
$∠ A + 60° = 180°$
所以$∠ A = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，难度较低，熟记相关几何基本定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查补角的相关知识，先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。已知∠A的补角度数，要求∠A，只需用180°减去其补角的度数即可得到结果。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，可得：
$∠ A + 60° = 180°$
所以$∠ A = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，难度较低，熟记相关几何基本定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图①,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；
(2)若将三角尺OCD绕点O旋转到如图②的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；
②(1)中∠AOC和∠BOD的关系还成立吗？说明理由.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；
(2)若将三角尺OCD绕点O旋转到如图②的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；
②(1)中∠AOC和∠BOD的关系还成立吗？说明理由.
答案
3.解:(1)①$∠ AOD=∠ BOC$.理由如下:因为$∠ AOD=90°+∠ BOD$，$∠ BOC=90°+∠ BOD$,所以$∠ AOD=∠ BOC$;②$∠ AOC+∠ BOD=180°$.理由如下:因为$∠ AOC+90°+∠ BOD+90°=360°$,所以$∠ AOC+∠ BOD=180°$;(2)①$∠ AOD=∠ BOC$.理由如下:因为$∠ AOD=90°-∠ BOD$,$∠ BOC=90°-∠ BOD$,所以$∠ AOD=∠ BOC$;②$∠ AOC+∠ BOD=180°$仍成立.理由如下:因为$∠ AOC=90°+∠ BOC$,所以$∠ AOC+∠ BOD=90°+∠ BOC+∠ BOD=90°+∠ COD=90°+90°=180°$.
解析
【分析】
本题以直角顶点重合的两个三角尺为载体，核心是利用三角尺的直角均为90°的已知条件，结合角的和差关系、公共角的性质、周角的度数特征推导角的数量关系。解题时首先明确两个三角尺的直角都是90°，判断两个角是否相等时，观察两个角是否可表示为同一个公共角与相等的角（90°）相加或相减；判断两个角的和的关系时，可通过角的拆分合并，结合已知的直角度数运算推导。
【解析】
(1) ①$\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，理由如下：
由三角尺的特征可知$∠ AOB=∠ COD=90°$，因此$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=90°+∠ BOD$，$∠ BOC=∠ COD+∠ BOD=90°+∠ BOD$，所以$∠ AOD=∠ BOC$。
②$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由如下：
周角的度数为$360°$，因此$∠ AOC+∠ AOB+∠ BOD+∠ COD=360°$，将$∠ AOB=∠ COD=90°$代入得$∠ AOC+90°+∠ BOD+90°=360°$，整理得$∠ AOC+∠ BOD=180°$。
(2) ①$\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，理由如下：
由三角尺的特征可知$∠ AOB=∠ COD=90°$，因此$∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=90°-∠ BOD$，$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=90°-∠ BOD$，所以$∠ AOD=∠ BOC$。
②$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$仍成立，理由如下：
$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+∠ BOC$，因此$∠ AOC+∠ BOD=90°+∠ BOC+∠ BOD$，又因为$∠ BOC+∠ BOD=∠ COD=90°$，代入得$∠ AOC+∠ BOD=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)①$∠AOD=∠BOC$，理由见解析；②$∠AOC+∠BOD=180°$，理由见解析；
(2)①$∠AOD=∠BOC$，理由见解析；②$∠AOC+∠BOD=180°$仍成立，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算，同角的余角相等，补角的定义
【点评】
本题是三角尺旋转类角度探究的典型习题，解题的关键是抓住三角尺旋转过程中直角大小不变的特征，通过角的拆分、合并，结合公共角的性质推导角的数量关系，有助于提升学生的几何逻辑推理能力和动态几何的分析能力。
【难度系数】
0.7
本题以直角顶点重合的两个三角尺为载体，核心是利用三角尺的直角均为90°的已知条件，结合角的和差关系、公共角的性质、周角的度数特征推导角的数量关系。解题时首先明确两个三角尺的直角都是90°，判断两个角是否相等时，观察两个角是否可表示为同一个公共角与相等的角（90°）相加或相减；判断两个角的和的关系时，可通过角的拆分合并，结合已知的直角度数运算推导。
【解析】
(1) ①$\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，理由如下：
由三角尺的特征可知$∠ AOB=∠ COD=90°$，因此$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=90°+∠ BOD$，$∠ BOC=∠ COD+∠ BOD=90°+∠ BOD$，所以$∠ AOD=∠ BOC$。
②$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由如下：
周角的度数为$360°$，因此$∠ AOC+∠ AOB+∠ BOD+∠ COD=360°$，将$∠ AOB=∠ COD=90°$代入得$∠ AOC+90°+∠ BOD+90°=360°$，整理得$∠ AOC+∠ BOD=180°$。
(2) ①$\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，理由如下：
由三角尺的特征可知$∠ AOB=∠ COD=90°$，因此$∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=90°-∠ BOD$，$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=90°-∠ BOD$，所以$∠ AOD=∠ BOC$。
②$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$仍成立，理由如下：
$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+∠ BOC$，因此$∠ AOC+∠ BOD=90°+∠ BOC+∠ BOD$，又因为$∠ BOC+∠ BOD=∠ COD=90°$，代入得$∠ AOC+∠ BOD=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)①$∠AOD=∠BOC$，理由见解析；②$∠AOC+∠BOD=180°$，理由见解析；
(2)①$∠AOD=∠BOC$，理由见解析；②$∠AOC+∠BOD=180°$仍成立，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算，同角的余角相等，补角的定义
【点评】
本题是三角尺旋转类角度探究的典型习题，解题的关键是抓住三角尺旋转过程中直角大小不变的特征，通过角的拆分、合并，结合公共角的性质推导角的数量关系，有助于提升学生的几何逻辑推理能力和动态几何的分析能力。
【难度系数】
0.7
4.【分类讨论思想】已知$∠ AOB=70°$，$OC$是$∠ AOB$内部的一条射线.
(1)如图①，当$OC$是$∠ AOB$的平分线时，求$∠ AOC$的度数；
(2)如图②，当$∠ BOC=30°$时，$∠ AOD$是$∠ AOB$的余角，$OE$是$∠ COD$的平分线，请补全图形，并求$∠ AOE$的度数；
(3)若把“$∠ AOB=70°$，$∠ BOC=30°$”改为“$∠ AOB$是锐角，且$∠ AOB=n°$，$∠ BOC=\frac{2}{5}n°$”，(2)中的其余条件不变，请直接写出$∠ AOE$的度数为
(1)如图①，当$OC$是$∠ AOB$的平分线时，求$∠ AOC$的度数；
(2)如图②，当$∠ BOC=30°$时，$∠ AOD$是$∠ AOB$的余角，$OE$是$∠ COD$的平分线，请补全图形，并求$∠ AOE$的度数；
(3)若把“$∠ AOB=70°$，$∠ BOC=30°$”改为“$∠ AOB$是锐角，且$∠ AOB=n°$，$∠ BOC=\frac{2}{5}n°$”，(2)中的其余条件不变，请直接写出$∠ AOE$的度数为
$45°-\frac{1}{5}n°$或$45°-\frac{4}{5}n°$或$\frac{4}{5}n°-45°$
.(用含$n$的式子表示)答案
4.解:(1)因为OC是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$;(2)因为$∠ AOB=70°$,$∠ BOC=30°$,所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=70°-30°=40°$.因为$∠ AOB=70°$,$∠ AOD$是$∠ AOB$的余角,所以$∠ AOD=90°-∠ AOB=90°-70°=20°$.如答图①,当$∠ AOD$在$∠ AOB$外部时,因为$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=40°+20°=60°$,OE是$∠ COD$的平分线,所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$,所以$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-30°=10°$.如答图②,当$∠ AOD$在$∠ AOB$内部时,因为$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=40°-20°=20°$,OE是$∠ COD$的平分线,所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×20°=10°$,所以$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-10°=30°$.综上所述,$∠ AOE$的度数为$10°$或$30°$;
(3)$45°-\frac{1}{5}n°$或$45°-\frac{4}{5}n°$或$\frac{4}{5}n°-45°$
解析
【分析】
(1) 第(1)问直接利用角平分线的定义，将∠AOB的度数平分即可得到∠AOC的度数。
(2) 第(2)问先通过角的和差关系求出∠AOC的度数，再根据余角的定义算出∠AOD的度数；接下来需分类讨论射线OD的位置：一种是OD在∠AOB外部靠近OA的一侧，另一种是OD在∠AOB内部靠近OA的一侧，两种情况分别先计算∠COD的度数，再结合OE是∠COD的平分线求出∠COE的度数，最后通过角的和差计算得到∠AOE的度数。
(3) 第(3)问将具体角度替换为含n的代数式，类比第(2)问的分类讨论思路，代入推导即可得到用n表示的∠AOE的度数。
【解析】
(1) 因为OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义：
$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
(2) 先计算$∠ AOC$：
$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=70°-30°=40°$
因为$∠ AOD$是$∠ AOB$的余角，根据余角定义（两个角的和为$90°$则两角互余）：
$∠ AOD=90°-∠ AOB=90°-70°=20°$
分两种情况讨论：
① 当$∠ AOD$在$∠ AOB$外部时（如答图①）：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=40°+20°=60°$
因为OE是$∠ COD$的平分线，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$
则$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-30°=10°$
② 当$∠ AOD$在$∠ AOB$内部时（如答图②）：
$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=40°-20°=20°$
因为OE是$∠ COD$的平分线，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×20°=10°$
则$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-10°=30°$
综上，$∠ AOE$的度数为$10°$或$30°$。
(3) 类比第(2)问的推导过程，将已知角度替换为含n的代数式，分类讨论后可得$∠ AOE$的度数。
【答案】
(1) $∠ AOC=35°$；
(2) 补全图形如下：，$∠ AOE$的度数为$10°$或$30°$；
(3) $45°-\frac{1}{5}n°$或$45°-\frac{4}{5}n°$或$\frac{4}{5}n°-45°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，解题时需结合角平分线、余角的性质分析角度关系，重点要注意分类讨论射线OD的不同位置，避免出现漏解的情况，第三问从具体数值到代数式的推导，也考查了从特殊到一般的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.5
(1) 第(1)问直接利用角平分线的定义，将∠AOB的度数平分即可得到∠AOC的度数。
(2) 第(2)问先通过角的和差关系求出∠AOC的度数，再根据余角的定义算出∠AOD的度数；接下来需分类讨论射线OD的位置：一种是OD在∠AOB外部靠近OA的一侧，另一种是OD在∠AOB内部靠近OA的一侧，两种情况分别先计算∠COD的度数，再结合OE是∠COD的平分线求出∠COE的度数，最后通过角的和差计算得到∠AOE的度数。
(3) 第(3)问将具体角度替换为含n的代数式，类比第(2)问的分类讨论思路，代入推导即可得到用n表示的∠AOE的度数。
【解析】
(1) 因为OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义：
$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
(2) 先计算$∠ AOC$：
$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=70°-30°=40°$
因为$∠ AOD$是$∠ AOB$的余角，根据余角定义（两个角的和为$90°$则两角互余）：
$∠ AOD=90°-∠ AOB=90°-70°=20°$
分两种情况讨论：
① 当$∠ AOD$在$∠ AOB$外部时（如答图①）：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=40°+20°=60°$
因为OE是$∠ COD$的平分线，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$
则$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-30°=10°$
② 当$∠ AOD$在$∠ AOB$内部时（如答图②）：
$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=40°-20°=20°$
因为OE是$∠ COD$的平分线，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×20°=10°$
则$∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=40°-10°=30°$
综上，$∠ AOE$的度数为$10°$或$30°$。
(3) 类比第(2)问的推导过程，将已知角度替换为含n的代数式，分类讨论后可得$∠ AOE$的度数。
【答案】
(1) $∠ AOC=35°$；
(2) 补全图形如下：
，$∠ AOE$的度数为$10°$或$30°$；(3) $45°-\frac{1}{5}n°$或$45°-\frac{4}{5}n°$或$\frac{4}{5}n°-45°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关计算，解题时需结合角平分线、余角的性质分析角度关系，重点要注意分类讨论射线OD的不同位置，避免出现漏解的情况，第三问从具体数值到代数式的推导，也考查了从特殊到一般的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.5
