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10. 已知一个角的余角比它的补角的$\frac{4}{9}$还少$5°$，求这个角的度数。
答案
10.解:设这个角的度数是$x°$.根据题意，得$90-x=\frac{4}{9}(180-x)-5$.解得$x=27$.答:这个角的度数是$27°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则两角互余；若两个角的和为180°，则两角互补。我们可以先设这个角的度数为$x°$，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{4}{9}$还少5°”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数是$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程得：
$90-x=\frac{4}{9}(180-x)-5$
两边同时乘9去分母，得：
$9×(90-x)=4×(180-x)-5×9$
$810-9x=720-4x-45$
化简右边得：
$810-9x=675-4x$
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$-9x+4x=675-810$
合并同类项得：
$-5x=-135$
系数化为1得：
$x=27$
【答案】
$27°$
【知识点】
余角和补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类题型，解题的核心是准确把握余角、补角的概念，正确梳理题目中的等量关系列出方程，计算时注意去分母、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则两角互余；若两个角的和为180°，则两角互补。我们可以先设这个角的度数为$x°$，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{4}{9}$还少5°”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数是$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程得：
$90-x=\frac{4}{9}(180-x)-5$
两边同时乘9去分母，得：
$9×(90-x)=4×(180-x)-5×9$
$810-9x=720-4x-45$
化简右边得：
$810-9x=675-4x$
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$-9x+4x=675-810$
合并同类项得：
$-5x=-135$
系数化为1得：
$x=27$
【答案】
$27°$
【知识点】
余角和补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类题型，解题的核心是准确把握余角、补角的概念，正确梳理题目中的等量关系列出方程，计算时注意去分母、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
11. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOC=40°.
(1)求∠MON的度数；
(2)若∠AOB的度数不变，∠BOC的度数为α，求∠MON的度数.
(1)求∠MON的度数；
(2)若∠AOB的度数不变，∠BOC的度数为α，求∠MON的度数.
答案
11.解:(1)因为$∠ AOB=90°,∠ BOC=40°$,所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+40°=130°$.因为OM是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×130°=65°$.因为ON是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$,所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=65°-20°=45°$;(2)因为$∠ AOB=90°,∠ BOC=α$,所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+α$.因为OM是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(90°+α)$.因为ON是$∠ BOC$的平分线，$∠ BOC=α$,所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α$.所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=\frac{1}{2}(90°+α)-\frac{1}{2}α=45°$.
解析
【分析】
(1) 要求∠MON的度数，观察图形可得∠MON=∠COM-∠CON，因此需要先求出∠COM和∠CON的度数。首先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，相加得到∠AOC的度数；再结合OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，利用角平分线的定义分别算出∠COM和∠CON的度数，最后作差即可得到∠MON的度数。
(2) 第二问将∠BOC替换为α，解题思路和第一问一致：先表示出∠AOC的度数，再通过角平分线的定义分别表示∠COM和∠CON，作差化简后即可得到∠MON的度数，化简过程中α会被抵消，结果为定值。
【解析】
(1) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=40°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+40°=130°$。
因为OM是$∠ AOC$的平分线，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
因为ON是$∠ BOC$的平分线，
所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=65°-20°=45°$。
(2) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=α$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+α$。
因为OM是$∠ AOC$的平分线，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(90°+α)$。
因为ON是$∠ BOC$的平分线，$∠ BOC=α$，
所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α$。
所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=\frac{1}{2}(90°+α)-\frac{1}{2}α=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是正确利用角平分线的性质表示相关角的度数，通过作差得到所求角的大小。第二问的推导体现了从特殊到一般的推理逻辑，可发现∠MON的大小仅与∠AOB的度数有关，与∠BOC的度数无关。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠MON的度数，观察图形可得∠MON=∠COM-∠CON，因此需要先求出∠COM和∠CON的度数。首先根据已知的∠AOB和∠BOC的度数，相加得到∠AOC的度数；再结合OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，利用角平分线的定义分别算出∠COM和∠CON的度数，最后作差即可得到∠MON的度数。
(2) 第二问将∠BOC替换为α，解题思路和第一问一致：先表示出∠AOC的度数，再通过角平分线的定义分别表示∠COM和∠CON，作差化简后即可得到∠MON的度数，化简过程中α会被抵消，结果为定值。
【解析】
(1) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=40°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+40°=130°$。
因为OM是$∠ AOC$的平分线，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
因为ON是$∠ BOC$的平分线，
所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=65°-20°=45°$。
(2) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=α$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+α$。
因为OM是$∠ AOC$的平分线，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(90°+α)$。
因为ON是$∠ BOC$的平分线，$∠ BOC=α$，
所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α$。
所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=\frac{1}{2}(90°+α)-\frac{1}{2}α=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是正确利用角平分线的性质表示相关角的度数，通过作差得到所求角的大小。第二问的推导体现了从特殊到一般的推理逻辑，可发现∠MON的大小仅与∠AOB的度数有关，与∠BOC的度数无关。
【难度系数】
0.7
12.如图，已知线段$m,n$,画一条线段$AB$,使它等于$2m+n$. 
答案
12.解:画射线AM,并在射线AM上顺次截取$AC=CD=m,DB=n$.则线段AB就是所求作的线段.如图.
解析
【分析】
要作出线段AB=2m+n，本质是求2条长度为m的线段与1条长度为n的线段的和。作线段和的核心思路是在同一条射线上沿同一方向顺次截取各段，让各段首尾相接，总线段的长度就是各段长度之和。我们可以先画一条射线作为作图基础，依次截取2段长度为m的线段，再截取1段长度为n的线段，最外侧两个端点组成的线段就是所求线段。
【解析】
1. 首先画一条射线AM；
2. 用圆规量取已知线段m的长度，在射线AM上从端点A开始，顺次截取AC=m、CD=m，此时AD的长度为2m；
3. 再用圆规量取已知线段n的长度，以D为端点，沿射线AM的方向截取DB=n，此时AB=AD+DB=2m+n，线段AB即为所求作的线段。
【答案】
解:画射线AM,并在射线AM上顺次截取$AC=CD=m,DB=n$.则线段AB就是所求作的线段.如图.
【知识点】
尺规作线段、线段的和运算
【点评】
本题是基础的尺规作图题型，核心考查线段和的作图方法，作图时需注意沿射线的同一方向顺次截取对应长度的线段，避免方向错误得到长度差，熟练掌握该方法是后续解决复杂线段作图问题的基础。
【难度系数】
0.8
要作出线段AB=2m+n，本质是求2条长度为m的线段与1条长度为n的线段的和。作线段和的核心思路是在同一条射线上沿同一方向顺次截取各段，让各段首尾相接，总线段的长度就是各段长度之和。我们可以先画一条射线作为作图基础，依次截取2段长度为m的线段，再截取1段长度为n的线段，最外侧两个端点组成的线段就是所求线段。
【解析】
1. 首先画一条射线AM；
2. 用圆规量取已知线段m的长度，在射线AM上从端点A开始，顺次截取AC=m、CD=m，此时AD的长度为2m；
3. 再用圆规量取已知线段n的长度，以D为端点，沿射线AM的方向截取DB=n，此时AB=AD+DB=2m+n，线段AB即为所求作的线段。
【答案】
解:画射线AM,并在射线AM上顺次截取$AC=CD=m,DB=n$.则线段AB就是所求作的线段.如图.
【知识点】
尺规作线段、线段的和运算
【点评】
本题是基础的尺规作图题型，核心考查线段和的作图方法，作图时需注意沿射线的同一方向顺次截取对应长度的线段，避免方向错误得到长度差，熟练掌握该方法是后续解决复杂线段作图问题的基础。
【难度系数】
0.8
13.如图，已知$∠ α$和$∠ β$，求作$∠ AOB=∠ α +∠ β$. 
答案
13.解:作法:(1)作$∠ AOC=∠α$;(2)以OC为一条边,在$∠ AOC$的外部作$∠ BOC=∠β$,则$∠ AOB$即为所求作的角,如图.
解析
【分析】
要作∠AOB=∠α+∠β，本质是将两个已知角拼接成一个大角，需用到“尺规作一个角等于已知角”的基本作图方法。思路如下：首先先作出大小等于∠α的角，再以这个角的一条边为公共边，在该角的外侧作出大小等于∠β的角，最终得到的大角就是两个角的和。
【解析】
作法步骤：
(1) 先用尺规作图的方法，作∠AOC = ∠α；
(2) 以O为顶点，OC为一条边，在∠AOC的外部，再用尺规作∠BOC = ∠β；
此时∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = ∠α + ∠β，即为所求的角。
【答案】
作法:(1)作$∠ AOC=∠α$;(2)以OC为一条边,在$∠ AOC$的外部作$∠ BOC=∠β$,则$∠ AOB$即为所求作的角,如图.
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础题，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的操作方法，注意作角的和时需将第二个角作在第一个角的外侧，避免画到内侧做成角的差。
【难度系数】
0.8
要作∠AOB=∠α+∠β，本质是将两个已知角拼接成一个大角，需用到“尺规作一个角等于已知角”的基本作图方法。思路如下：首先先作出大小等于∠α的角，再以这个角的一条边为公共边，在该角的外侧作出大小等于∠β的角，最终得到的大角就是两个角的和。
【解析】
作法步骤：
(1) 先用尺规作图的方法，作∠AOC = ∠α；
(2) 以O为顶点，OC为一条边，在∠AOC的外部，再用尺规作∠BOC = ∠β；
此时∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = ∠α + ∠β，即为所求的角。
【答案】
作法:(1)作$∠ AOC=∠α$;(2)以OC为一条边,在$∠ AOC$的外部作$∠ BOC=∠β$,则$∠ AOB$即为所求作的角,如图.
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础题，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的操作方法，注意作角的和时需将第二个角作在第一个角的外侧，避免画到内侧做成角的差。
【难度系数】
0.8
1. 如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是 （
B
）答案
1.B
解析
【分析】
要判断各选项中两个图形是否相交，首先需明确三类线的延伸特点：直线没有端点，可向两端无限延伸；线段有两个端点，无法延伸；射线有1个端点，仅能向无端点的一侧（即射线表示中第二个字母所在的方向）无限延伸。接下来逐个分析每个选项中两个图形延伸后是否存在交点即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：AB是直线，可向两端延伸；CD是线段，不能延伸，二者延伸后无交点，不符合要求；
B选项：AB是直线，可向两端无限延伸；射线EF的端点为E，可向F所在的左上方无限延伸，二者延伸后会相交，符合要求；
C选项：CD是线段，不能延伸；射线EF的端点为E，只能向F所在的右侧延伸，二者无交点，不符合要求；
D选项：AB是直线可向两端延伸；射线EF的端点为E，只能向F所在的右侧延伸，二者延伸后无交点，不符合要求。
综上，能相交的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直线的特征、射线的特征、线段的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握不同线的延伸性和延伸方向，避免混淆射线的延伸方向导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断各选项中两个图形是否相交，首先需明确三类线的延伸特点：直线没有端点，可向两端无限延伸；线段有两个端点，无法延伸；射线有1个端点，仅能向无端点的一侧（即射线表示中第二个字母所在的方向）无限延伸。接下来逐个分析每个选项中两个图形延伸后是否存在交点即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：AB是直线，可向两端延伸；CD是线段，不能延伸，二者延伸后无交点，不符合要求；
B选项：AB是直线，可向两端无限延伸；射线EF的端点为E，可向F所在的左上方无限延伸，二者延伸后会相交，符合要求；
C选项：CD是线段，不能延伸；射线EF的端点为E，只能向F所在的右侧延伸，二者无交点，不符合要求；
D选项：AB是直线可向两端延伸；射线EF的端点为E，只能向F所在的右侧延伸，二者延伸后无交点，不符合要求。
综上，能相交的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直线的特征、射线的特征、线段的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握不同线的延伸性和延伸方向，避免混淆射线的延伸方向导致判断错误。
【难度系数】
0.7
2.已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上画线段$BC$，使$BC=\frac{1}{2}AB$，则线段$AC$等于（
A.12 cm
B.4 cm
C.12 cm或4 cm
D.8 cm或12 cm
C
）A.12 cm
B.4 cm
C.12 cm或4 cm
D.8 cm或12 cm
答案
2.C
解析
【分析】
题目中明确是在直线AB上画线段BC，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置情况：①点C在线段AB的延长线上；②点C在线段AB上。首先根据BC与AB的数量关系算出BC的长度，再分别对两种位置情况用线段的和差规则计算AC的长度，汇总结果即可得到答案。
【解析】
解：已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{1}{2}AB$，因此$BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，$AC=AB+BC=8+4=12\ \mathrm{cm}$；
2. 当点C在线段AB上时，$AC=AB-BC=8-4=4\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长度为12cm或4cm，故选C。
【答案】C
【知识点】
1.线段的和差计算
2.分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线上画线段”的条件，仅考虑单种位置情况导致漏解。解题时遇到此类表述，要全面分析点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
题目中明确是在直线AB上画线段BC，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置情况：①点C在线段AB的延长线上；②点C在线段AB上。首先根据BC与AB的数量关系算出BC的长度，再分别对两种位置情况用线段的和差规则计算AC的长度，汇总结果即可得到答案。
【解析】
解：已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{1}{2}AB$，因此$BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，$AC=AB+BC=8+4=12\ \mathrm{cm}$；
2. 当点C在线段AB上时，$AC=AB-BC=8-4=4\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长度为12cm或4cm，故选C。
【答案】C
【知识点】
1.线段的和差计算
2.分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线上画线段”的条件，仅考虑单种位置情况导致漏解。解题时遇到此类表述，要全面分析点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.射线OC平分∠AOB，从点O引出一条射线OD，使∠AOB=3∠AOD。若∠COD=20°，则∠AOB的度数为
24°或120°
。答案
3.$24°$或$120°$
解析
【分析】
本题未明确射线OD的位置，需分两种情况讨论求解：①OD在∠AOB内部；②OD在∠AOB外部。解题时先设∠AOB的度数为x，结合角平分线的定义表示出∠AOC，再根据∠AOB和∠AOD的数量关系表示出∠AOD，最后结合∠COD的度数根据角的和差关系列方程计算即可。
【解析】
设∠AOB的度数为x。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{x}{2}$。
∵ ∠AOB = 3∠AOD，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{x}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当OD在∠AOB内部时：
∠COD = ∠AOC - ∠AOD，代入已知条件得：
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 20°$
通分计算得$\frac{x}{6}=20°$，解得x=120°。
2. 当OD在∠AOB外部时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD，代入已知条件得：
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 20°$
通分计算得$\frac{5x}{6}=20°$，解得x=24°。
综上，∠AOB的度数为24°或120°。
【答案】
$24°$或$120°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OD的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时遇到没有明确射线位置的角度计算问题，要结合题意全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题未明确射线OD的位置，需分两种情况讨论求解：①OD在∠AOB内部；②OD在∠AOB外部。解题时先设∠AOB的度数为x，结合角平分线的定义表示出∠AOC，再根据∠AOB和∠AOD的数量关系表示出∠AOD，最后结合∠COD的度数根据角的和差关系列方程计算即可。
【解析】
设∠AOB的度数为x。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{x}{2}$。
∵ ∠AOB = 3∠AOD，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{x}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当OD在∠AOB内部时：
∠COD = ∠AOC - ∠AOD，代入已知条件得：
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 20°$
通分计算得$\frac{x}{6}=20°$，解得x=120°。
2. 当OD在∠AOB外部时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD，代入已知条件得：
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 20°$
通分计算得$\frac{5x}{6}=20°$，解得x=24°。
综上，∠AOB的度数为24°或120°。
【答案】
$24°$或$120°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OD的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时遇到没有明确射线位置的角度计算问题，要结合题意全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
