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19.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根$x_1$和$x_2$.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若两个实数根$x_1$和$x_2$满足$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$,求$k$的整数值.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若两个实数根$x_1$和$x_2$满足$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$,求$k$的整数值.
答案
19.(1)根据题意得$\Delta=(-2)^2-4(k-1)≥0$,解得$k≤2$.
(2)根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2,x_1x_2=k-1$,
$\because x_1+x_2-x_1x_2＜4,\therefore 2-(k-1)＜4$,解得$k＞-1$.
$\because k≤2,\therefore -1＜k≤2,\therefore k$的整数值为0,1,2.
(2)根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2,x_1x_2=k-1$,
$\because x_1+x_2-x_1x_2＜4,\therefore 2-(k-1)＜4$,解得$k＞-1$.
$\because k≤2,\therefore -1＜k≤2,\therefore k$的整数值为0,1,2.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，可通过根的判别式Δ的取值范围求解：当Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根。先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 题目给出两根和与两根积的不等关系，需先通过根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入不等式求解k的范围，再结合第一问得到的k的限制范围取交集，最终找出交集中的整数即可。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(k-1) ≥ 0$
计算得：$4 - 4k + 4 ≥ 0$
整理得：$8 - 4k ≥ 0$
解得：$k ≤ 2$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k - 1$
将上述结果代入不等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$，得：
$2 - (k - 1) ＜ 4$
去括号整理得：$3 - k ＜ 4$
解得：$k ＞ -1$
结合(1)的结论$k ≤ 2$，可得k的取值范围为$-1 ＜ k ≤ 2$
因此k的整数值为0，1，2。
【答案】
(1) $k ≤ 2$；(2) k的整数值为0，1，2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问的结果要结合第一问的取值范围，避免遗漏限制条件导致多解，属于对基础知识点应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，可通过根的判别式Δ的取值范围求解：当Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根。先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 题目给出两根和与两根积的不等关系，需先通过根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入不等式求解k的范围，再结合第一问得到的k的限制范围取交集，最终找出交集中的整数即可。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(k-1) ≥ 0$
计算得：$4 - 4k + 4 ≥ 0$
整理得：$8 - 4k ≥ 0$
解得：$k ≤ 2$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k - 1$
将上述结果代入不等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$，得：
$2 - (k - 1) ＜ 4$
去括号整理得：$3 - k ＜ 4$
解得：$k ＞ -1$
结合(1)的结论$k ≤ 2$，可得k的取值范围为$-1 ＜ k ≤ 2$
因此k的整数值为0，1，2。
【答案】
(1) $k ≤ 2$；(2) k的整数值为0，1，2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问的结果要结合第一问的取值范围，避免遗漏限制条件导致多解，属于对基础知识点应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
20.如图，一张桌子的长方形桌面长 120 cm，宽 80 cm，将长方形桌布铺在桌子上，四边垂下的长度相同(四个角除外)，桌布的面积为桌面面积的 2 倍，求桌布垂下桌边的长度.
答案
20.设桌布垂下桌边的长度为$x$ cm,则桌布的长为$(120+2x)$ cm,宽为$(80+2x)$ cm,
由题意得$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$,整理得$x^2+100x-2400=0$,
解得$x_1=-120$(不合题意,舍去),$x_2=20$.
桌布垂下桌边的长度为20 cm.
由题意得$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$,整理得$x^2+100x-2400=0$,
解得$x_1=-120$(不合题意,舍去),$x_2=20$.
桌布垂下桌边的长度为20 cm.
解析
【分析】
解题时首先明确所求量是桌布垂下桌边的长度，可将其设为未知数x。因为桌布四边垂下的长度相同，所以桌布的长等于桌面长加上左右两侧垂下的长度之和（即2x），桌布的宽等于桌面宽加上上下两侧垂下的长度之和（即2x）。接下来根据“桌布的面积为桌面面积的2倍”这一等量关系列出方程，求解一元二次方程后，结合长度为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设桌布垂下桌边的长度为$x$ cm，则桌布的长为$(120+2x)$ cm，宽为$(80+2x)$ cm。
由题意得：
$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$
展开整理方程：
$9600+400x+4x^2=19200$
两边同除以4化简得：
$x^2+100x-2400=0$
解得$x_1=-120$（长度不能为负，不合题意，舍去），$x_2=20$。
【答案】
20 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于典型的方程实际应用题，解题核心是找准面积的等量关系，正确用含未知数的式子表示桌布的长和宽，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求得的方程解进行取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确所求量是桌布垂下桌边的长度，可将其设为未知数x。因为桌布四边垂下的长度相同，所以桌布的长等于桌面长加上左右两侧垂下的长度之和（即2x），桌布的宽等于桌面宽加上上下两侧垂下的长度之和（即2x）。接下来根据“桌布的面积为桌面面积的2倍”这一等量关系列出方程，求解一元二次方程后，结合长度为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设桌布垂下桌边的长度为$x$ cm，则桌布的长为$(120+2x)$ cm，宽为$(80+2x)$ cm。
由题意得：
$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$
展开整理方程：
$9600+400x+4x^2=19200$
两边同除以4化简得：
$x^2+100x-2400=0$
解得$x_1=-120$（长度不能为负，不合题意，舍去），$x_2=20$。
【答案】
20 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于典型的方程实际应用题，解题核心是找准面积的等量关系，正确用含未知数的式子表示桌布的长和宽，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求得的方程解进行取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
21.某生物实验室需培育一群有益菌,现有 60 个活体样本,每个有益菌每轮可培育出若干个相同数目的有益菌,经过两轮培育后,有益菌总和达 24 000 个.
(1)每轮培育中平均每个有益菌可培育出多少个有益菌?
(2)按照这样的培育速度,经过三轮培育后共有多少个有益菌?
(1)每轮培育中平均每个有益菌可培育出多少个有益菌?
(2)按照这样的培育速度,经过三轮培育后共有多少个有益菌?
答案
21.(1)设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌,
根据题意得$60x^2=24000$,解得$x=20$或$x=-20$(不合题意,舍去).
每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌.
(2)由题意,$60×20^3=480000$(个).经过三轮培育后有480000个有益菌.
根据题意得$60x^2=24000$,解得$x=20$或$x=-20$(不合题意,舍去).
每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌.
(2)由题意,$60×20^3=480000$(个).经过三轮培育后有480000个有益菌.
解析
【分析】
本题属于倍增类实际应用题，解题思路如下：(1) 首先设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，明确数量变化规律：初始有60个样本，经过1轮培育后总数量为$60x$，经过2轮培育后总数量为$60x^2$，结合两轮后总和为24000个的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到结果；(2) 按照相同的数量规律，经过三轮培育后的总数量为$60x^3$，代入第一问求得的$x$值计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，
根据题意列方程：$60x^2=24000$，
解方程得：$x^2=400$，所以$x=20$或$x=-20$，
因为培育的有益菌数量不能为负，所以$x=-20$不合题意，舍去。
(2) 按照培育速度，经过三轮培育后的有益菌总数为：
$60×20^3=60×8000=480000$（个）
【答案】
(1) 每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌；(2) 经过三轮培育后有480000个有益菌
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是典型的倍增类实际应用题，解题核心是找准每轮培育后数量的变化规律，正确列出对应方程，计算时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题属于倍增类实际应用题，解题思路如下：(1) 首先设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，明确数量变化规律：初始有60个样本，经过1轮培育后总数量为$60x$，经过2轮培育后总数量为$60x^2$，结合两轮后总和为24000个的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到结果；(2) 按照相同的数量规律，经过三轮培育后的总数量为$60x^3$，代入第一问求得的$x$值计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，
根据题意列方程：$60x^2=24000$，
解方程得：$x^2=400$，所以$x=20$或$x=-20$，
因为培育的有益菌数量不能为负，所以$x=-20$不合题意，舍去。
(2) 按照培育速度，经过三轮培育后的有益菌总数为：
$60×20^3=60×8000=480000$（个）
【答案】
(1) 每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌；(2) 经过三轮培育后有480000个有益菌
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是典型的倍增类实际应用题，解题核心是找准每轮培育后数量的变化规律，正确列出对应方程，计算时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
22.某楼盘准备以每平方米12 000元的均价对外销售，由于购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格下调两次后，决定以每平方米9 720元的均价开盘销售.
(1)求平均每次价格下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 m²的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打九八折销售；②不打折，交付时包含价值每平方米160元的装修.哪种方案更优惠？
(1)求平均每次价格下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 m²的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打九八折销售；②不打折，交付时包含价值每平方米160元的装修.哪种方案更优惠？
答案
22.(1)设平均每次价格下调的百分率为$x$,依题意得$12000(1-x)^2=9720$,
解得$x_1=0.1=10\%,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
平均每次价格下调的百分率为10%.
(2)选择方案①每平方米所需费用为$9720×98\%=9525.6$(元);
选择方案②每平方米所需费用为$9720-160=9560$(元).
$\because 9560＞9525.6,\therefore$选择方案①更优惠.
解得$x_1=0.1=10\%,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
平均每次价格下调的百分率为10%.
(2)选择方案①每平方米所需费用为$9720×98\%=9525.6$(元);
选择方案②每平方米所需费用为$9720-160=9560$(元).
$\because 9560＞9525.6,\therefore$选择方案①更优惠.
解析
【分析】
(1) 这是典型的下降率问题，解题思路为：设平均每次下调的百分率为x，第一次下调后价格为原价乘(1-x)，第二次下调是在第一次下调后价格的基础上再乘(1-x)，即最终价格=原价×(1-x)²，结合题目给出的初始价和最终开盘价列一元二次方程求解即可，注意下调百分率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 方案优惠对比问题，只需分别计算两种方案下每平方米的实际花费（也可计算100㎡住房的总花费），比较花费大小，花费更少的方案更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次价格下调的百分率为$x$，依题意得：
$12000(1-x)^2=9720$
整理得$(1-x)^2=0.81$，开方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$（下调百分率不可能大于1，不合题意，舍去）
即平均每次价格下调的百分率为10%。
(2) 分别计算两种方案每平方米的实际支出：
选择方案①每平方米所需费用：$9720×98\%=9525.6$（元）
选择方案②每平方米所需费用：$9720-160=9560$（元）
$\because 9560＞9525.6$，即方案①每平方米花费更少，因此方案①更优惠。
【答案】
(1) 平均每次价格下调的百分率为10%；
(2) 方案①更优惠。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 方案优化选择
【点评】
本题结合房产销售的生活场景命题，既考查了百分率问题的方程建模能力，也考查了实际问题中的方案对比逻辑，解题时需注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
(1) 这是典型的下降率问题，解题思路为：设平均每次下调的百分率为x，第一次下调后价格为原价乘(1-x)，第二次下调是在第一次下调后价格的基础上再乘(1-x)，即最终价格=原价×(1-x)²，结合题目给出的初始价和最终开盘价列一元二次方程求解即可，注意下调百分率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 方案优惠对比问题，只需分别计算两种方案下每平方米的实际花费（也可计算100㎡住房的总花费），比较花费大小，花费更少的方案更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次价格下调的百分率为$x$，依题意得：
$12000(1-x)^2=9720$
整理得$(1-x)^2=0.81$，开方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$（下调百分率不可能大于1，不合题意，舍去）
即平均每次价格下调的百分率为10%。
(2) 分别计算两种方案每平方米的实际支出：
选择方案①每平方米所需费用：$9720×98\%=9525.6$（元）
选择方案②每平方米所需费用：$9720-160=9560$（元）
$\because 9560＞9525.6$，即方案①每平方米花费更少，因此方案①更优惠。
【答案】
(1) 平均每次价格下调的百分率为10%；
(2) 方案①更优惠。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 方案优化选择
【点评】
本题结合房产销售的生活场景命题，既考查了百分率问题的方程建模能力，也考查了实际问题中的方案对比逻辑，解题时需注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
