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19.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根$x_1$和$x_2$.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若两个实数根$x_1$和$x_2$满足$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$,求$k$的整数值.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若两个实数根$x_1$和$x_2$满足$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$,求$k$的整数值.
答案
19.(1)根据题意得$\Delta=(-2)^2-4(k-1)≥0$,解得$k≤2$.
(2)根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2,x_1x_2=k-1$,
$\because x_1+x_2-x_1x_2＜4,\therefore 2-(k-1)＜4$,解得$k＞-1$.
$\because k≤2,\therefore -1＜k≤2,\therefore k$的整数值为0,1,2.
(2)根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2,x_1x_2=k-1$,
$\because x_1+x_2-x_1x_2＜4,\therefore 2-(k-1)＜4$,解得$k＞-1$.
$\because k≤2,\therefore -1＜k≤2,\therefore k$的整数值为0,1,2.
解析
【分析】
(1) 遇到一元二次方程有两个实数根的问题，首先联想到根的判别式：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等的实根）。先写出对应方程的判别式，令其大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 题目给出包含两根之和、两根之积的不等式，可利用根与系数的关系（韦达定理），先求出本题中$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入不等式解出k的范围，再结合第(1)问得到的k的取值范围取交集，最后在交集中筛选出整数即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4(k-1) ≥ 0$，
整理得$4 - 4k + 4 ≥ 0$，
解得$k ≤ 2$。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = k - 1$，
∵ $x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$，
代入得$2 - (k - 1) ＜ 4$，
去括号整理得$3 - k ＜ 4$，
解得$k ＞ -1$，
结合(1)的结论$k ≤ 2$，可得$-1 ＜ k ≤ 2$，
因此k的整数值为0,1,2。
【答案】
(1) $k ≤ 2$；(2) 0,1,2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式的整数解
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时要注意不要忽略方程有两个实根的限制条件，第二问求解时需结合第一问的取值范围取交集，避免多解。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到一元二次方程有两个实数根的问题，首先联想到根的判别式：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等的实根）。先写出对应方程的判别式，令其大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 题目给出包含两根之和、两根之积的不等式，可利用根与系数的关系（韦达定理），先求出本题中$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入不等式解出k的范围，再结合第(1)问得到的k的取值范围取交集，最后在交集中筛选出整数即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4(k-1) ≥ 0$，
整理得$4 - 4k + 4 ≥ 0$，
解得$k ≤ 2$。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = k - 1$，
∵ $x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ 4$，
代入得$2 - (k - 1) ＜ 4$，
去括号整理得$3 - k ＜ 4$，
解得$k ＞ -1$，
结合(1)的结论$k ≤ 2$，可得$-1 ＜ k ≤ 2$，
因此k的整数值为0,1,2。
【答案】
(1) $k ≤ 2$；(2) 0,1,2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式的整数解
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时要注意不要忽略方程有两个实根的限制条件，第二问求解时需结合第一问的取值范围取交集，避免多解。
【难度系数】
0.7
20.如图，一张桌子的长方形桌面长 120 cm，宽 80 cm，将长方形桌布铺在桌子上，四边垂下的长度相同(四个角除外)，桌布的面积为桌面面积的 2 倍，求桌布垂下桌边的长度.
答案
20.设桌布垂下桌边的长度为$x$ cm,则桌布的长为$(120+2x)$ cm,宽为$(80+2x)$ cm,
由题意得$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$,整理得$x^2+100x-2400=0$,
解得$x_1=-120$(不合题意,舍去),$x_2=20$.
桌布垂下桌边的长度为20 cm.
由题意得$(120+2x)(80+2x)=2×120×80$,整理得$x^2+100x-2400=0$,
解得$x_1=-120$(不合题意,舍去),$x_2=20$.
桌布垂下桌边的长度为20 cm.
解析
【分析】
这是一元二次方程的实际应用类题目，解题思路如下：首先设桌布垂下桌边的长度为$x$cm，由于桌布四边垂下的长度相同，因此桌布的长比桌面的长多了左右两段垂下的长度，即$120+2x$，桌布的宽比桌面的宽多了上下两段垂下的长度，即$80+2x$；再根据“桌布的面积为桌面面积的2倍”这一等量关系，结合矩形面积公式列方程；最后求解方程，注意长度为非负数，需要舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设桌布垂下桌边的长度为$ x $ cm，则桌布的长为$ (120+2x) $ cm，宽为$ (80+2x) $ cm。
由题意得：
$ (120+2x)(80+2x)=2×120×80 $
整理得：$ x^2+100x-2400=0 $
解得$ x_1=-120 $（长度不能为负，不合题意，舍去），$ x_2=20 $。
【答案】
20 cm
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；方程根的取舍
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是准确表示桌布的长和宽，找准面积的等量关系列方程，求解后结合实际意义对根进行筛选，掌握这类题型的解题逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程的实际应用类题目，解题思路如下：首先设桌布垂下桌边的长度为$x$cm，由于桌布四边垂下的长度相同，因此桌布的长比桌面的长多了左右两段垂下的长度，即$120+2x$，桌布的宽比桌面的宽多了上下两段垂下的长度，即$80+2x$；再根据“桌布的面积为桌面面积的2倍”这一等量关系，结合矩形面积公式列方程；最后求解方程，注意长度为非负数，需要舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设桌布垂下桌边的长度为$ x $ cm，则桌布的长为$ (120+2x) $ cm，宽为$ (80+2x) $ cm。
由题意得：
$ (120+2x)(80+2x)=2×120×80 $
整理得：$ x^2+100x-2400=0 $
解得$ x_1=-120 $（长度不能为负，不合题意，舍去），$ x_2=20 $。
【答案】
20 cm
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；方程根的取舍
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是准确表示桌布的长和宽，找准面积的等量关系列方程，求解后结合实际意义对根进行筛选，掌握这类题型的解题逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.7
21.某生物实验室需培育一群有益菌,现有 60 个活体样本,每个有益菌每轮可培育出若干个相同数目的有益菌,经过两轮培育后,有益菌总和达 24 000 个.
(1)每轮培育中平均每个有益菌可培育出多少个有益菌?
(2)按照这样的培育速度,经过三轮培育后共有多少个有益菌?
(1)每轮培育中平均每个有益菌可培育出多少个有益菌?
(2)按照这样的培育速度,经过三轮培育后共有多少个有益菌?
答案
21.(1)设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌,
根据题意得$60x^2=24000$,解得$x=20$或$x=-20$(不合题意,舍去).
每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌.
(2)由题意,$60×20^3=480000$(个).经过三轮培育后有480000个有益菌.
根据题意得$60x^2=24000$,解得$x=20$或$x=-20$(不合题意,舍去).
每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌.
(2)由题意,$60×20^3=480000$(个).经过三轮培育后有480000个有益菌.
解析
【分析】
本题属于倍数增长类实际应用题，解题思路如下：(1)先设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，根据增长规律：初始数量×每轮增长倍数的n次方 = n轮后的总数量，已知两轮后总数量为24000，据此列一元二次方程求解，结合实际意义，有益菌数量为正，需舍去负根；(2)求三轮培育后的总数量，直接套用上述增长规律，将$n=3$代入计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，
根据两轮培育后有益菌总数量的等量关系列方程：
$60x^2=24000$
化简得$x^2=400$，
解得$x=20$或$x=-20$。
由于培育出的有益菌数量不能为负数，因此$x=-20$不符合题意，舍去。
即每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌。
(2) 按照该培育速度，三轮培育后的有益菌总数量为：
$60×20^3 = 60×8000 = 480000$（个）
即经过三轮培育后有480000个有益菌。
【答案】
(1)20个；(2)480000个
【知识点】
一元二次方程的应用，乘方的实际应用
【点评】
本题是基础的增长类应用题，解题核心是找准n轮后总数量与初始数量、每轮增长倍数的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，计算乘方时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于倍数增长类实际应用题，解题思路如下：(1)先设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，根据增长规律：初始数量×每轮增长倍数的n次方 = n轮后的总数量，已知两轮后总数量为24000，据此列一元二次方程求解，结合实际意义，有益菌数量为正，需舍去负根；(2)求三轮培育后的总数量，直接套用上述增长规律，将$n=3$代入计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育中平均每个有益菌可培育出$x$个有益菌，
根据两轮培育后有益菌总数量的等量关系列方程：
$60x^2=24000$
化简得$x^2=400$，
解得$x=20$或$x=-20$。
由于培育出的有益菌数量不能为负数，因此$x=-20$不符合题意，舍去。
即每轮培育中平均每个有益菌培育出20个有益菌。
(2) 按照该培育速度，三轮培育后的有益菌总数量为：
$60×20^3 = 60×8000 = 480000$（个）
即经过三轮培育后有480000个有益菌。
【答案】
(1)20个；(2)480000个
【知识点】
一元二次方程的应用，乘方的实际应用
【点评】
本题是基础的增长类应用题，解题核心是找准n轮后总数量与初始数量、每轮增长倍数的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，计算乘方时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
22.某楼盘准备以每平方米12 000元的均价对外销售，由于购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格下调两次后，决定以每平方米9 720元的均价开盘销售.
(1)求平均每次价格下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 m²的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打九八折销售；②不打折，交付时包含价值每平方米160元的装修.哪种方案更优惠？
(1)求平均每次价格下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100 m²的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打九八折销售；②不打折，交付时包含价值每平方米160元的装修.哪种方案更优惠？
答案
22.(1)设平均每次价格下调的百分率为$x$,依题意得$12000(1-x)^2=9720$,
解得$x_1=0.1=10\%,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
平均每次价格下调的百分率为10%.
(2)选择方案①每平方米所需费用为$9720×98\%=9525.6$(元);
选择方案②每平方米所需费用为$9720-160=9560$(元).
$\because 9560＞9525.6,\therefore$选择方案①更优惠.
解得$x_1=0.1=10\%,x_2=1.9$(不合题意,舍去).
平均每次价格下调的百分率为10%.
(2)选择方案①每平方米所需费用为$9720×98\%=9525.6$(元);
选择方案②每平方米所需费用为$9720-160=9560$(元).
$\because 9560＞9525.6,\therefore$选择方案①更优惠.
解析
【分析】
(1) 本题属于价格下调百分率类问题，核心公式为：两次下调后价格=原价×(1-平均每次下调百分率)²。我们可设平均每次下调的百分率为x，代入题中给出的原价和最终开盘价即可列出一元二次方程，求解后需舍去不符合实际意义的解（下调百分率不能大于1）。
(2) 方案择优问题的解题思路是分别计算两种方案的实际支出，再对比支出大小，支出更低的方案更优惠，本题既可以计算每平方米的实际花费，也可以计算100㎡住房的总花费进行对比。
【解析】
(1) 设平均每次价格下调的百分率为$x$，依题意得：
$12000(1-x)^2=9720$
方程两边同时除以12000，得$(1-x)^2=0.81$
开平方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于下调百分率不能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
(2) 分别计算两种方案每平方米的实际花费：
方案①：打九八折后每平方米费用为$9720×98\%=9525.6$（元）
方案②：赠送每平方米160元装修，相当于每平方米减免160元，费用为$9720-160=9560$（元）
因为$9560＞9525.6$，所以方案①花费更低。
【答案】
(1) 平均每次价格下调的百分率为10%；
(2) 选择方案①更优惠。
【知识点】
一元二次方程应用，百分率计算，方案择优
【点评】
本题结合房产销售的生活场景命题，难度较低，解题关键是找准两次调价的等量关系正确列方程，方案比较类问题只需分别计算不同方案的成本再对比大小即可，很好地考查了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于价格下调百分率类问题，核心公式为：两次下调后价格=原价×(1-平均每次下调百分率)²。我们可设平均每次下调的百分率为x，代入题中给出的原价和最终开盘价即可列出一元二次方程，求解后需舍去不符合实际意义的解（下调百分率不能大于1）。
(2) 方案择优问题的解题思路是分别计算两种方案的实际支出，再对比支出大小，支出更低的方案更优惠，本题既可以计算每平方米的实际花费，也可以计算100㎡住房的总花费进行对比。
【解析】
(1) 设平均每次价格下调的百分率为$x$，依题意得：
$12000(1-x)^2=9720$
方程两边同时除以12000，得$(1-x)^2=0.81$
开平方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于下调百分率不能大于1，因此$x_2=1.9$不合题意，舍去。
(2) 分别计算两种方案每平方米的实际花费：
方案①：打九八折后每平方米费用为$9720×98\%=9525.6$（元）
方案②：赠送每平方米160元装修，相当于每平方米减免160元，费用为$9720-160=9560$（元）
因为$9560＞9525.6$，所以方案①花费更低。
【答案】
(1) 平均每次价格下调的百分率为10%；
(2) 选择方案①更优惠。
【知识点】
一元二次方程应用，百分率计算，方案择优
【点评】
本题结合房产销售的生活场景命题，难度较低，解题关键是找准两次调价的等量关系正确列方程，方案比较类问题只需分别计算不同方案的成本再对比大小即可，很好地考查了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
