4. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，用两种不同的方法求出图中阴影部分的面积。（请在图中作必要标注并写出计算过程）

解：
方法1：（补全法）
作包围阴影部分的长为6、宽为5的长方形，该长方形面积为：
$S_{\mathrm{大长方形}}=6×5=30$
四个角空白直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×3=3$，
$S_2=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$S_3=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$S_4=\frac{1}{2}×4×2=4$，
空白部分总面积为$3+3+3+4=13$，
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=30-14=16$。
方法2：（分割法）
将阴影部分分割为4个直角边分别为2和3的直角三角形，与中间边长为2的正方形：
4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}×2×3=12$，
中间正方形的面积为$2×2=4$，
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=12+4=16$。
答：阴影部分的面积为16。

5. 如图①，餐桌上有一个茶壶.
（1）从A,B,C,D四个不同的方向看茶壶（图②），能看到图①中茶壶样子的方向是哪个方向？
（2）老师看到茶壶壁上的刻度（图③）后说“这个刻度的分布有问题”，请你说说这个茶壶的刻度应怎样分布，并简要说明理由.

解：
（1）能看到图①中茶壶样子的方向是D方向。
（2）刻度应自下而上，按数值从小到大依次标注200mL、400mL、600mL、800mL、1000mL，且1000mL的刻度位置与壶嘴的最高处齐平。
理由：茶壶的壶身和壶嘴构成连通器，壶内水面最高只能与壶嘴的出水口处齐平，若水面高度超过壶嘴，水会从壶嘴溢出，因此最大刻度不能设置在壶身最顶端；同时壶内水的体积越大，水面高度越高，刻度数值应随水面高度增加而增大。

6. 如图是从一张长方形纸片中剪下最大正方形纸片的方法. 仿照这个方法,现从一张长方形纸片中剪下最大的正方形纸片,在剩下的长方形纸片中继续剪下最大的正方形纸片……连续剪下3个正方形纸片后,剩下的长方形纸片恰好是正方形纸片.这个长方形纸片宽与长的比可能是多少?尝试画出一种该长方形纸片裁剪线的示意图.还有其他可能吗?

解：
设原长方形的长为a，宽为b，且a＞b，分三类情况推导：
1. 第一次剪下边长为b的正方形后，剩余长方形长为a-b、宽为b，满足a-b ≥ b（即a≥ 2b）：
第二次剪下边长为b的正方形，剩余长方形长为b、宽为a-2b；
第三次剪下边长为a-2b的正方形后，剩余图形为正方形，因此剩余两边长相等：
b-(a-2b) = a-2b 化简得5b=2a，即b:a=2:5。2. 第一次剪下边长为b的正方形后，剩余长方形长为b、宽为a-b，满足b ≥ 2(a-b)（即3b≥ 2a）： 第二次、第三次连续剪下2个边长为a-b的正方形，剪完第3个正方形后剩余图形为正方形，因此剩余两边长相等： b-2(a-b) = a-b
化简得4b=3a，即b:a=3:4。
3. 第一次剪下边长为b的正方形后，剩余长方形长为b、宽为a-b，满足b ＜ 2(a-b)（即3b＜2a）：
第二次剪下边长为a-b的正方形，剩余长方形长为a-b、宽为2b-a；
第三次剪下边长为2b-a的正方形后，剩余图形为正方形，因此剩余两边长相等：
(a-b)-(2b-a) = 2b-a 化简得3a=5b，即b:a=3:5。以长为5、宽为2的长方形为例的裁剪示意图：在长边上距离左端点2单位处作垂直于长的裁剪线，得到第一个边长为2的正方形；在剩余部分的长边上距离该裁剪线2单位处作垂直于长的裁剪线，得到第二个边长为2的正方形；在剩余的长为2、宽为1的长方形上，距离下边长1单位处作平行于长的裁剪线，得到第三个边长为1的正方形，最后剩余边长为1的正方形。答：这个长方形纸片宽与长的比可能是$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{5}$、$\frac{3}{4}$，存在其他可能。