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10. 2025·日照期末 新考向·数学文化 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的x的值是20时，根据程序计算，第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，…，这样下去，第2025次输出的结果为 （
A.$-2$
B.$-1$
C.$-8$
D.$-4$
C
）A.$-2$
B.$-1$
C.$-8$
D.$-4$
答案
10.C 【点拨】由题意知,第1次输出的结果为10,第2次输出的结果为5,第3次输出的结果为$-2$,第4次输出的结果为$-1$,第5次输出的结果为$-8$,第6次输出的结果为$-4$,第7次输出的结果为$-2$,第8次输出的结果为$-1$,第9次输出的结果为$-8$,…,这列数除前2个数外,每4个数为一个循环,即为$-2,-1,-8,-4$. 因为$(2025-2)÷4=505······3$,所以第2025次输出的结果是$-8$. 故选C.
11.如图，数轴上A，B两点之间的距离为1个单位长度，B，C两点之间的距离为3个单位长度.现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止.若在运动的过程中，点P到A，B，C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n，则$(-m)^n$的值为 （
A.－2 401
B.－625
C.625
D.2 401
D
）A.－2 401
B.－625
C.625
D.2 401
答案
11.D 【点拨】当点P在线段AB上($0≤ PB≤1$)时,如图①,
所以$PA+PB+PC=AB+(PB+BC)=1+PB+3=4+PB$. 因为$0≤ PB≤1$,所以$4≤ PA+PB+PC≤5$;当点P在线段BC上($0＜PB≤3$)时,如图②,
所以$PA+PB+PC=(AB+BP)+BC=1+PB+3=4+PB$. 因为$0＜PB≤3$,所以$4＜PA+PB+PC≤7$. 综上,$4≤ PA+PB+PC≤7$. 所以点P到A,B,C三点的距离之和的最大值为$m=7$,最小值为$n=4$. 所以$(-m)^n=(-7)^4=2401$.
12. 先阅读下面例题的解答过程，再回答后面的问题.
例:已知代数式 $6y + 4y^2$ 的值为 2, 求 $2y^2 + 3y +7$ 的值.
解:由 $6y +4y^2=2$, 得 $3y +2y^2=1$, 所以 $2y^2 +3y +7=1+7=8$.
(1)已知代数式 $2a^2 +3b$ 的值为 6, 求 $a^2 + \frac{3}{2}b -5$ 的值;
(2)已知代数式 $14x +5 -21x^2$ 的值为 $-2$, 求 $6x^2 -4x +5$ 的值.
例:已知代数式 $6y + 4y^2$ 的值为 2, 求 $2y^2 + 3y +7$ 的值.
解:由 $6y +4y^2=2$, 得 $3y +2y^2=1$, 所以 $2y^2 +3y +7=1+7=8$.
(1)已知代数式 $2a^2 +3b$ 的值为 6, 求 $a^2 + \frac{3}{2}b -5$ 的值;
(2)已知代数式 $14x +5 -21x^2$ 的值为 $-2$, 求 $6x^2 -4x +5$ 的值.
答案
12.【解】(1)由 $2a^2 +3b=6$,得 $a^2 + \frac{3}{2}b=3$,
所以 $a^2 + \frac{3}{2}b -5=3-5=-2$.
(2)因为 $14x +5 -21x^2$ 的值为$-2$,
所以 $14x -21x^2=-7$.
所以 $2x -3x^2=-1$.
所以 $3x^2 -2x=1$.
所以 $6x^2 -4x +5=2×(3x^2 -2x)+5=2×1+5=7$.
所以 $a^2 + \frac{3}{2}b -5=3-5=-2$.
(2)因为 $14x +5 -21x^2$ 的值为$-2$,
所以 $14x -21x^2=-7$.
所以 $2x -3x^2=-1$.
所以 $3x^2 -2x=1$.
所以 $6x^2 -4x +5=2×(3x^2 -2x)+5=2×1+5=7$.
13. 情境题 方案设计型 某中学有一块长 30 m、宽20 m的长方形空地,计划在这块空地上划分出部分区域种花,小明同学的设计方案如图(阴影部分为种花区域),设种花区域的宽度为x m.
(1)请用含x的式子表示空白部分的面积.
(2)当$x=2$时,空白部分的面积是否超过$400\ \mathrm{m}^2$?请说明理由.
(1)请用含x的式子表示空白部分的面积.
(2)当$x=2$时,空白部分的面积是否超过$400\ \mathrm{m}^2$?请说明理由.
答案
13.【解】(1)空白部分的面积为$(30-2x)(20-x)\mathrm{m}^2$.
(2)当$x=2$时,空白部分的面积超过了$400\ \mathrm{m}^2$.
理由如下:当$x=2$时,
$(30-2x)(20-x)=(30-2×2)×(20-2)=468$.
因为$468\ \mathrm{m}^2＞400\ \mathrm{m}^2$,
所以空白部分的面积超过了$400\ \mathrm{m}^2$.
(2)当$x=2$时,空白部分的面积超过了$400\ \mathrm{m}^2$.
理由如下:当$x=2$时,
$(30-2x)(20-x)=(30-2×2)×(20-2)=468$.
因为$468\ \mathrm{m}^2＞400\ \mathrm{m}^2$,
所以空白部分的面积超过了$400\ \mathrm{m}^2$.
14. [2025·聊城期中 新考法·规律探究法] 试探索代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 与 $(a - b)^2$ 的关系。
(1)当$a=2,b=-1$时，分别求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 与 $(a - b)^2$ 的值。
(2)当$a=-\dfrac{1}{2},b=2$时，分别求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 与 $(a - b)^2$ 的值。
(3)从上述计算中，你发现了什么规律？当$a=2027,b=2025$时，请利用你发现的规律求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 的值。
(1)当$a=2,b=-1$时，分别求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 与 $(a - b)^2$ 的值。
(2)当$a=-\dfrac{1}{2},b=2$时，分别求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 与 $(a - b)^2$ 的值。
(3)从上述计算中，你发现了什么规律？当$a=2027,b=2025$时，请利用你发现的规律求代数式 $a^2 - 2ab + b^2$ 的值。
答案
14.【解】(1)当$a=2,b=-1$时,
$a^2 - 2ab + b^2=2^2 - 2×2×(-1)+(-1)^2=9$,
$(a-b)^2=[2-(-1)]^2=3^2=9$.
(2)当$a=-\frac{1}{2},b=2$时,
$a^2 - 2ab + b^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})×2 + 2^2=\frac{25}{4}$,
$(a-b)^2=(-\frac{1}{2}-2)^2=(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$.
(3)规律:$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$.
当$a=2027,b=2025$时,$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2=(2027-2025)^2=2^2=4$.
$a^2 - 2ab + b^2=2^2 - 2×2×(-1)+(-1)^2=9$,
$(a-b)^2=[2-(-1)]^2=3^2=9$.
(2)当$a=-\frac{1}{2},b=2$时,
$a^2 - 2ab + b^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})×2 + 2^2=\frac{25}{4}$,
$(a-b)^2=(-\frac{1}{2}-2)^2=(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$.
(3)规律:$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$.
当$a=2027,b=2025$时,$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2=(2027-2025)^2=2^2=4$.
