1. （2026·齐齐哈尔月考）如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）

A.①和③
B.②和③
C.①和②
D.①②和③
（第1题）

1. C

2. ★★★(2026·揭阳期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE=DG，若△ADG和△AED的面积分别为50和30，则△EDF的面积为。

2. 10

3. 如图，$CA ⊥ AB$，垂足为点A，$AB=8$，$AC=4$，射线$BM ⊥ AB$，垂足为点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持$ED=CB$，当点E运动秒时，$△ DEB$与$△ BCA$全等。

3. 0,2,6,8

4. ★★（2026·宁波月考）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与$AC$的垂直平分线相交于点$D$，过点$D$作$DF ⊥ BC$，$DG ⊥ AB$，垂足分别为$F$，$G$。
（1）求证：$AG=CF$；
（2）若$BG=5$，$AC=6$，求$△ ABC$的周长。

4. (1) 连结 AD, DC.
∵ BD 平分 ∠ABC, DG ⊥ AB, DF ⊥ BC,
∴ DG=DF.
∵ D 在 AC 的垂直平分线上,
∴ DA = DC, 在Rt△DGA 和 Rt△DFC 中, $\begin{cases} DG=DF, \\ DA=DC, \end{cases}$
∴ Rt△DGA ≌ Rt △DFC (HL),
∴ AG=CF.
(2) 由(1) 知 DG = DF, 又
∵ BD = BD,
∴ Rt△BDG≌Rt△BDF(HL),
∴ BG=BF.又
∵ AG=CF,
∴ △ABC 的周长 =AB+BC+AC= BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×5+6=16.

5. 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE$,$CE$的延长线交$BD$于点$F$.
(1)求证:$△ ACE≌△ ABD$.
(2)过点$A$作$AH⊥ BD$于点$H$,求证:$EF+DH=FH$.

5. (1)
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠CAE = ∠BAD. 在 △ACE 和 △ABD 中, $\begin{cases} AC=AB, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴ △ACE≌△ABD(SAS).
(2) 如图,连结 AF,过点 A 作 AJ⊥CF 于点 J.
∵ △ACE≌△ABD,
∴ $S_{△ACE}=S_{ABD}$, CE = BD.
∵ AJ ⊥ CE, AH ⊥ BD,
∴ $\frac{1}{2}CE · AJ=\frac{1}{2}BD · AH$,
∴ AJ=AH. 在Rt△AFJ 和 Rt△AFH 中, $\begin{cases} AF=AF, \\ AJ=AH, \end{cases}$
∴ Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),
∴ FJ=FH. 在 Rt△AJE 和 Rt△AHD 中, $\begin{cases} AE=AD, \\ AJ=AH, \end{cases}$
∴ Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),
∴ EJ=DH,
∴ EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.