1. 如图所示，已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD=AC$，$DE ⊥ AB$交$BC$于点$E$，若$∠ B=28°$，则$∠ AEC=$（）

A.$28°$
B.$59°$
C.$60°$
D.$62°$

1. B

2. ★★★(2025·福建中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点D,连结CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为 ()

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.4
D.$\frac{16}{5}$

2. B

3. ★★★（2026·绍兴期中）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=8$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$E$，$F$分别在$AC$，$AB$边上。$AF=4$，$AE=6$，连结$DF$，$DE$。若$DE=DF$，则$△ ABC$的面积是。

3. $\frac{5 \sqrt{39}}{2}$

4. ★★★(2026·嘉兴期中)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥AB于点D.
(1)过点P作PE⊥AC于点E，求证:BD=CE；
(2)若AB=6 cm，AC=10 cm，求AD的长.

4. (1) 如图，连结 PB,PC,
∵ AP 平分∠DAC, PD ⊥ AB, PE ⊥ AC,
∴ PD = PE.
∵ PQ 垂直平分 BC,
∴ PB = PC. 在Rt△BDP 和 Rt△CEP 中, $\begin{cases} PB=PC, \\ PD=PE, \end{cases}$
∴ Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),
∴ BD=CE.
(2) 设 AD=x cm,
∵ AB=6 cm,AC=10 cm,
∴ BD=AD+AB=(x+6) cm. 由(1)知, 在 Rt △PDA 和 Rt △PEA 中, $\begin{cases} PD=PE, \\ PA=PA, \end{cases}$
∴ Rt△PDA≌Rt△PEA(HL),
∴ AE=AD=x cm,
∴ CE=AC-AE=(10-x)cm.
∵ BD=CE,
∴ 6+x=10-x,解得 x=2,
∴ AD=2 cm.

5. ★★ 到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的 （）

A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三边的垂直平分线的交点
D.三条内角平分线的交点

5. D

6. ★★ (2026·福州月考)如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,点$E$在边$BC$上,且$CE=CD$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,$AE$的延长线交$BD$于点$F$,连结$CF$.
(1)求证:$AE=BD$;
(2)求证:$FC$平分$∠ AFD$.

6. (1)
∵ CA=CB, ∠ACB = ∠DCE, CE = CD,
∴ △ACE≌△BCD(SAS),
∴ AE=BD.
(2)如图,过点 C 作 CG⊥AF, CH⊥BD,垂足分别为 G, H. 由(1)知, △ACE≌△BCD,
∴ ∠CAG = ∠CBH, AC = BC.
∵ ∠AGC=∠BHC=90°,
∴ △ACG≌△BCH(AAS),
∴ CG=CH,
∴ FC 平分∠AFD.