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三、解答题(每题12分,共60分)
9. 为了弘扬中华优秀传统文化,某校开展主题为“多彩非遗,国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列),他们的单项成绩如表所示:
(1) 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制),能否以此确定两人的名次?
(2) 如果评委认为“内容”这一项最重要,内容、能力、效果的成绩按照$4:3:3$的比确定,以此计算两名选手的平均成绩(百分制),并确定两人的名次.
(3) 如果你是评委,请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比,并解释设计的理由.
9. 为了弘扬中华优秀传统文化,某校开展主题为“多彩非遗,国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列),他们的单项成绩如表所示:
(1) 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制),能否以此确定两人的名次?
(2) 如果评委认为“内容”这一项最重要,内容、能力、效果的成绩按照$4:3:3$的比确定,以此计算两名选手的平均成绩(百分制),并确定两人的名次.
(3) 如果你是评委,请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比,并解释设计的理由.
答案
9. (1) 甲的平均成绩为 90 分,乙的平均成绩为 90 分,所以不能以此确定两人的名次
(2) 甲的平均成绩为 90.8 分,乙的平均成绩为 89.8 分,
∵90.8＞89.8,
∴甲排第一,乙排第二
(3) 将内容、能力和效果三项得分按 3:4:3 的比例计算各人的成绩,确定录用者,因为能力比内容更重要(答案不唯一)
(2) 甲的平均成绩为 90.8 分,乙的平均成绩为 89.8 分,
∵90.8＞89.8,
∴甲排第一,乙排第二
(3) 将内容、能力和效果三项得分按 3:4:3 的比例计算各人的成绩,确定录用者,因为能力比内容更重要(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查平均数的相关计算，解题思路如下：
(1) 第一问计算算术平均数，将选手的三项成绩相加后除以3即可得到平均成绩，比较两人平均成绩是否相等即可判断能否确定名次；
(2) 第二问计算加权平均数，根据给定的$4:3:3$的权重，将每项成绩乘对应权重后求和，再除以权重总和，得到加权平均成绩后比较大小确定名次；
(3) 第三问为开放题，根据自己认为的重要程度分配权重即可，权重和为10，理由对应权重分配的原因，合理即可。
【解析】
(1) 计算算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{98+84+88}{3}=\frac{270}{3}=90$（分）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{88+85+97}{3}=\frac{270}{3}=90$（分）
两人平均成绩相同，因此不能以此确定两人的名次。
(2) 按照$4:3:3$的权重计算加权平均成绩，权重总和为$4+3+3=10$：
甲的加权平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{98×4 + 84×3 + 88×3}{10}=\frac{392+252+264}{10}=\frac{908}{10}=90.8$（分）
乙的加权平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{88×4 + 85×3 + 97×3}{10}=\frac{352+255+291}{10}=\frac{898}{10}=89.8$（分）
$\because 90.8＞89.8$，$\therefore$甲排名第一，乙排名第二。
(3) 示例：可将内容、能力、效果三项成绩按照$3:4:3$的比确定平均成绩，理由：演讲比赛中选手的现场表达能力比演讲内容的呈现更能体现演讲水平，因此将能力项的权重设置最高。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 甲的平均成绩为90分，乙的平均成绩为90分，所以不能以此确定两人的名次
(2) 甲的平均成绩为90.8分，乙的平均成绩为89.8分，
∵90.8＞89.8，
∴甲排第一，乙排第二
(3) 将内容、能力和效果三项得分按3:4:3的比例计算各人的成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）
【知识点】
算术平均数计算，加权平均数计算，权重的实际应用
【点评】
本题结合演讲比赛的实际场景，考查了算术平均数和加权平均数的计算方法，需要学生明确两类平均数的适用场景，开放类问题要求学生结合实际需求合理设计权重，整体考查内容贴近生活，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.8
本题考查平均数的相关计算，解题思路如下：
(1) 第一问计算算术平均数，将选手的三项成绩相加后除以3即可得到平均成绩，比较两人平均成绩是否相等即可判断能否确定名次；
(2) 第二问计算加权平均数，根据给定的$4:3:3$的权重，将每项成绩乘对应权重后求和，再除以权重总和，得到加权平均成绩后比较大小确定名次；
(3) 第三问为开放题，根据自己认为的重要程度分配权重即可，权重和为10，理由对应权重分配的原因，合理即可。
【解析】
(1) 计算算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{98+84+88}{3}=\frac{270}{3}=90$（分）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{88+85+97}{3}=\frac{270}{3}=90$（分）
两人平均成绩相同，因此不能以此确定两人的名次。
(2) 按照$4:3:3$的权重计算加权平均成绩，权重总和为$4+3+3=10$：
甲的加权平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{98×4 + 84×3 + 88×3}{10}=\frac{392+252+264}{10}=\frac{908}{10}=90.8$（分）
乙的加权平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{88×4 + 85×3 + 97×3}{10}=\frac{352+255+291}{10}=\frac{898}{10}=89.8$（分）
$\because 90.8＞89.8$，$\therefore$甲排名第一，乙排名第二。
(3) 示例：可将内容、能力、效果三项成绩按照$3:4:3$的比确定平均成绩，理由：演讲比赛中选手的现场表达能力比演讲内容的呈现更能体现演讲水平，因此将能力项的权重设置最高。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 甲的平均成绩为90分，乙的平均成绩为90分，所以不能以此确定两人的名次
(2) 甲的平均成绩为90.8分，乙的平均成绩为89.8分，
∵90.8＞89.8，
∴甲排第一，乙排第二
(3) 将内容、能力和效果三项得分按3:4:3的比例计算各人的成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）
【知识点】
算术平均数计算，加权平均数计算，权重的实际应用
【点评】
本题结合演讲比赛的实际场景，考查了算术平均数和加权平均数的计算方法，需要学生明确两类平均数的适用场景，开放类问题要求学生结合实际需求合理设计权重，整体考查内容贴近生活，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.8
10. 某电商平台上有两家主营桌椅、柜类的家居店铺，店铺甲是开业3个月的新店，店铺乙是经营2年的老店.为对比两家店铺的用户满意度差异，平台抽取了两家店铺近期各10条真实用户评分(满分100分，评分越高代表用户满意度越高)，具体数据如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求店铺甲评分数据的四分位数$m_{25},m_{50},m_{75}$；
(2) 请在下图中绘制出店铺甲评分数据的箱线图；
(3) 根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两店铺成绩的看法.
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求店铺甲评分数据的四分位数$m_{25},m_{50},m_{75}$；
(2) 请在下图中绘制出店铺甲评分数据的箱线图；
(3) 根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两店铺成绩的看法.
答案
10. (1) $m_{25}=70,m_{50}=90,m_{75}=96$
(2) 如图所示
(3) 根据箱线图和四分位数可知甲成绩的中位数和乙相同,但甲成绩箱线图箱体高度比乙大,所以甲成绩明显比乙的波动大
解析
【分析】
(1) 求四分位数首先要将数据从小到大排序，再根据数据个数计算各四分位数对应的位置，按规则确定对应数值。先对店铺甲的10个评分排序，分别计算25%、50%、75%分位数的位置，若位置为整数则取该位置和下一个位置数据的平均值，若为小数则向上取整后取对应位置的数据即可。
(2) 绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，找到这五个值在纵轴的对应位置，按箱线图的规范绘制在店铺甲对应的区域即可。
(3) 对比两店铺的箱线图，先看中位数判断整体中等水平，再看箱体的高度（上四分位数和下四分位数的差）判断数据的波动程度，进而分析两店用户满意度的差异。
【解析】
(1) 先将店铺甲的评分数据从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
① 计算25%分位数的位置：$10×25\%=2.5$，不是整数，向上取整为3，因此$m_{25}$为第3个数据，即$m_{25}=70$；
② 计算50%分位数的位置：$10×50\%=5$，是整数，因此$m_{50}$为第5个和第6个数据的平均值，即$m_{50}=\frac{89+91}{2}=90$；
③ 计算75%分位数的位置：$10×75\%=7.5$，不是整数，向上取整为8，因此$m_{75}$为第8个数据，即$m_{75}=96$。
(2) 店铺甲评分的五个关键统计量为：最小值60，下四分位数70，中位数90，上四分位数96，最大值100，按数值绘制箱线图如下：
(3) 观察两店箱线图：两店评分的中位数均为90，说明两店用户满意度的中等水平一致；甲店箱体高度远大于乙店，说明甲店的评分数据更分散，用户满意度的波动比乙店大，乙店的用户满意度更稳定。
【答案】
(1) $m_{25}=70,m_{50}=90,m_{75}=96$
(2) 如图所示
(3) 根据箱线图和四分位数可知甲成绩的中位数和乙相同,但甲成绩箱线图箱体高度比乙大,所以甲成绩明显比乙的波动大
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计图表解读
【点评】
本题结合电商用户评分的真实场景，考查了统计中四分位数、箱线图的相关知识，既考查了基础的统计计算能力，也考查了对统计图表的分析解读能力，能让学生体会统计在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求四分位数首先要将数据从小到大排序，再根据数据个数计算各四分位数对应的位置，按规则确定对应数值。先对店铺甲的10个评分排序，分别计算25%、50%、75%分位数的位置，若位置为整数则取该位置和下一个位置数据的平均值，若为小数则向上取整后取对应位置的数据即可。
(2) 绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，找到这五个值在纵轴的对应位置，按箱线图的规范绘制在店铺甲对应的区域即可。
(3) 对比两店铺的箱线图，先看中位数判断整体中等水平，再看箱体的高度（上四分位数和下四分位数的差）判断数据的波动程度，进而分析两店用户满意度的差异。
【解析】
(1) 先将店铺甲的评分数据从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
① 计算25%分位数的位置：$10×25\%=2.5$，不是整数，向上取整为3，因此$m_{25}$为第3个数据，即$m_{25}=70$；
② 计算50%分位数的位置：$10×50\%=5$，是整数，因此$m_{50}$为第5个和第6个数据的平均值，即$m_{50}=\frac{89+91}{2}=90$；
③ 计算75%分位数的位置：$10×75\%=7.5$，不是整数，向上取整为8，因此$m_{75}$为第8个数据，即$m_{75}=96$。
(2) 店铺甲评分的五个关键统计量为：最小值60，下四分位数70，中位数90，上四分位数96，最大值100，按数值绘制箱线图如下：
(3) 观察两店箱线图：两店评分的中位数均为90，说明两店用户满意度的中等水平一致；甲店箱体高度远大于乙店，说明甲店的评分数据更分散，用户满意度的波动比乙店大，乙店的用户满意度更稳定。
【答案】
(1) $m_{25}=70,m_{50}=90,m_{75}=96$
(2) 如图所示
(3) 根据箱线图和四分位数可知甲成绩的中位数和乙相同,但甲成绩箱线图箱体高度比乙大,所以甲成绩明显比乙的波动大
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计图表解读
【点评】
本题结合电商用户评分的真实场景，考查了统计中四分位数、箱线图的相关知识，既考查了基础的统计计算能力，也考查了对统计图表的分析解读能力，能让学生体会统计在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
