24.「2026重庆朝阳中学期中，★★★」(14分)对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”.
例如：$k=169$，因为$6^2=4×1×9$，所以169是“喜鹊数”.
(1)最小的“喜鹊数”是.
(2)已知一个“喜鹊数”$k=100a+10b+c$（$1≤a,b,c≤9$，且a,b,c为自然数），若$x=m$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，$x=n$是一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根，且$m+n=-2$，则满足条件的k的最大值是多少？

24.解析 (1)
∵各个数位上的数字都不为零,十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,
∴最小的“喜鹊数”十位上的数字的平方为4,
∵$2^2=4$,$4×1×1=4$,
∴最小的“喜鹊数”是121.
(2)
∵$k=100a+10b+c$是“喜鹊数”,
∴$b^2=4ac$,即$b^2-4ac=0$,
∵$x=m$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,$x=n$是一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
∴$am^2+bm+c=0$,$cn^2+bn+a=0$,易知$n≠0$,将$cn^2+bn+a=0$的两边同时除以$n^2$,得$a(\frac{1}{n})^2+\frac{b}{n}+c=0$,
∴可以将$m,\frac{1}{n}$看作方程$ax^2+bx+c=0$的两个根,
∵$b^2-4ac=0$,
∴该方程有两个相等的实数根,
∴$m=\frac{1}{n}$,即$mn=1$,又
∵$m+n=-2$,
∴$m=-1$,$n=-1$,-1是方程$ax^2+bx+c=0$的根,代入,得$a-b+c=0$,
∴$b=a+c$,又
∵$b^2=4ac$,
∴$(a+c)^2=4ac$,整理,得$(a-c)^2=0$,
∴$a=c$,
∴满足条件的所有k的值为121,242,363,484,
∴满足条件的k的最大值是484.