23.「2025北京通州期末，★☆」(12分)在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=α(0°＜α＜45°)$，$AM⊥ BC$于点$M$，$D$是线段$BC$上的动点(不与点$B$，$C$，$M$重合)，将线段$DM$绕点$D$顺时针旋转$2α$得到线段$DE$. (1)如图，如果点$E$在线段$AC$上，求证:$ME⊥ AC$. (2)如图，如果点$D$在线段$BM$上，在射线$MB$上取点$F$，使得$DF=DC$，连接$AE$，$AF$，$EF$，求证:$AE⊥ FE$.

23.证明 (1)
∵ 线段 DM 绕点 D 顺时针旋转 2α 得到线段 DE,
∴ $DM=DE,∠MDE=2α$,
∴ $∠DEM=∠DME$,
∵ $∠MDE=∠C+∠DEC=2α,∠C=α$,
∴ $∠DEC=α$,
∴ $∠DEC=∠C$.
∴ $∠EMC+∠DCE+∠MEC=2(∠EMC+∠DCE)=180°$,
∴ $∠EMC+∠DCE=90°$,
∴ $∠MEC=90°$,
∴ $ME⊥AC$.
(2)如图,延长 FE 至点 N,使 EN=FE,连接 CN,AN,
∵ $DF=DC$,
∴ DE 是$△FCN$ 的中位线,
∴ $DE//CN,DE=\frac{1}{2}CN$,
∴ $∠DCN=∠FDE=180°-∠EDM=180°-2α$,
∴ $∠ACN=∠DCN+∠ACB=180°-α$,
∵ $∠ABF=180°-∠ABC=180°-α$,
∴ $∠ABF=∠ACN$,
∵ $∠ABC=∠ACB$,
∴ $AB=AC$,
∵ $AM⊥BC$,
∴ $CM=BM$,
∵ $DF=DC$,
∴ $BM-DM+BF=DM+CM$,
∴ $DM=\frac{1}{2}BF$,
∵ 将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转 2α 得到线段 DE,
∴ $DM=DE=\frac{1}{2}CN$,
∴ $BF=CN$,
∴ $△ABF≅△ACN(SAS)$,
∴ $AF=AN$,
∵ $EF=EN$,
∴ $AE⊥FE$.

24.「2025广东广州黄埔期末，★★☆」(14分)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°.
(1)如图1，连接AM，BN，求证:AM=BN.
(2)将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证$:AM^2+BM^2=2OM^2.$
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA=4√2，OM=3√2，请直接写出线段AM的长.

24.解析 (1)证明:
∵ $∠AOB=∠MON=90°$,
∴ $∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON$,即 $∠AOM=∠BON$,
∵ $△AOB$ 和$△MON$ 都是等腰直角三角形,
∴ $OA=OB,OM=ON$,
∴ $△AOM≅△BON(SAS)$,
∴ $AM=BN$.
(2)①证明:如图 1,连接 BN,
∵ $∠AOB=∠MON=90°$,
∴ $∠AOB-∠BOM=∠MON-∠BOM$,
即 $∠AOM=∠BON$,
∵ $△AOB$ 和$△MON$ 都是等腰直角三角形,
∴ $OA=OB,OM=ON$,
∴ $△AOM≅△BON(SAS)$,
∴ $∠MAO=∠NBO=45°,AM=BN$,
∴ $∠MBN=90°$,
∴ $MB^2+BN^2=MN^2$,
∵ $△MON$ 是等腰直角三角形,
∴ $MN^2=2OM^2$,
∴ $AM^2+BM^2=BN^2+BM^2=MN^2=2OM^2$.
②$\sqrt{23}+3$ 或 $\sqrt{23}-3$.
详解:如图 2,当点 N 在线段 AM 上时,连接 BN,设 BN=x,
由(1)可知 $△AOM≅△BON$,
∴ $AM=BN,∠MAO=∠NBO$,
∴ $∠MAO+∠OAB+∠ABN=∠NBO+∠OAB+∠ABN=90°$,
∴ $∠ANB=90°$,在 $Rt△ABN$ 中,$AN^2+BN^2=AB^2$,
∵ $△AOB$ 和$△MON$ 都是等腰直角三角形,$OA=4\sqrt{2},OM=3\sqrt{2}$,
∴ $MN=6,AB=8$,
∴ $AN=AM-MN=BN-MN=x-6$,
∴ $(x-6)^2+x^2=8^2$,解得 $x=3+\sqrt{23}$(负根已经舍去),
∴ $AM=BN=3+\sqrt{23}$.
如图 3,当点 M 在线段 AN 上时,连接 BN,设 BN=x,
易得 $AM=BN,∠ANB=90°$,
在 $Rt△ABN$ 中,$AN^2+BN^2=AB^2$,
∵ $△AOB$ 和$△MON$ 都是等腰直角三角形,$OA=4\sqrt{2},OM=3\sqrt{2}$,
∴ $MN=6,AB=8$,
∴ $AN=AM+MN=BN+MN=x+6$,
∴ $(x+6)^2+x^2=8^2$,解得 $x=\sqrt{23}-3$(负根已经舍去),
∴ $AM=BN=\sqrt{23}-3$.
综上所述,线段 AM 的长为 $\sqrt{23}+3$ 或 $\sqrt{23}-3$.