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1. 下列说法正确的是 (
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
)A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
答案
1. C 解析：
∵ 各边相等,各角也相等的多边形叫作正多边形,
∴ 选项A,B错误;
∵ 各边相等的圆内接多边形的各角一定相等,
∴ 选项C正确;
∵ 各角相等的圆内接多边形的边长不一定相等,
∴ 选项D错误.故选 C.
∵ 各边相等,各角也相等的多边形叫作正多边形,
∴ 选项A,B错误;
∵ 各边相等的圆内接多边形的各角一定相等,
∴ 选项C正确;
∵ 各角相等的圆内接多边形的边长不一定相等,
∴ 选项D错误.故选 C.
解析
【分析】
解题首先要明确正多边形的判定标准：必须同时满足各边相等、各角相等两个条件，再结合圆内接多边形的性质逐一判断选项。首先排除只满足单一条件的普通多边形选项A、B；再分析圆内接的特殊情况：各边相等的圆内接多边形，对应同圆中弦相等，所对的弧相等，进而推出各内角相等，符合正多边形要求；对于各角相等的圆内接多边形，可举反例（如圆内接矩形）验证其边长不一定相等，不符合正多边形要求，即可得出正确选项。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
选项A：仅说明各边相等，未说明各角相等，不符合正多边形定义，错误；
选项B：仅说明各角相等，未说明各边相等，不符合正多边形定义，错误；
选项C：各边相等的圆内接多边形，其各边都是圆的弦，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此多边形的每个内角所对的弧长相等，可推出各内角相等，同时满足边等、角等，是正多边形，正确；
选项D：各角相等的圆内接多边形边长不一定相等，例如圆内接矩形，四个内角均为90°，但邻边长度不一定相等，不是正多边形，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义，圆内接多边形性质，同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题重点考查正多边形的判定，易错点是容易忽略正多边形需同时满足边相等、角相等两个条件，或对圆内接多边形的性质理解不到位错选D。解题时要注意结合圆的性质推导，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确正多边形的判定标准：必须同时满足各边相等、各角相等两个条件，再结合圆内接多边形的性质逐一判断选项。首先排除只满足单一条件的普通多边形选项A、B；再分析圆内接的特殊情况：各边相等的圆内接多边形，对应同圆中弦相等，所对的弧相等，进而推出各内角相等，符合正多边形要求；对于各角相等的圆内接多边形，可举反例（如圆内接矩形）验证其边长不一定相等，不符合正多边形要求，即可得出正确选项。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
选项A：仅说明各边相等，未说明各角相等，不符合正多边形定义，错误；
选项B：仅说明各角相等，未说明各边相等，不符合正多边形定义，错误；
选项C：各边相等的圆内接多边形，其各边都是圆的弦，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此多边形的每个内角所对的弧长相等，可推出各内角相等，同时满足边等、角等，是正多边形，正确；
选项D：各角相等的圆内接多边形边长不一定相等，例如圆内接矩形，四个内角均为90°，但邻边长度不一定相等，不是正多边形，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义，圆内接多边形性质，同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题重点考查正多边形的判定，易错点是容易忽略正多边形需同时满足边相等、角相等两个条件，或对圆内接多边形的性质理解不到位错选D。解题时要注意结合圆的性质推导，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
2. 若一个正多边形的每个内角的度数与外角的度数相等,则这个正多边形的边数是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. B 解析:由题意,得外角+相邻的内角=180°,且外角=相邻的内角,
∴ 外角=90°.360°÷90°=4,
∴ 正多边形是正方形.故选 B.
∴ 外角=90°.360°÷90°=4,
∴ 正多边形是正方形.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形的相关性质：正多边形的每个内角与其相邻外角互为邻补角，和为180°，且所有正多边形的外角和均为固定的360°。结合题目给出的“内角度数与外角度数相等”的条件，可先求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数即可得到边数。
【解析】
∵ 正多边形的一个内角与它相邻的外角互为邻补角，二者之和为$180°$，
又
∵ 题中正多边形每个内角度数与外角度数相等，
∴ 每个外角的度数为 $180° ÷ 2 = 90°$，
∵ 任意正多边形的外角和恒为$360°$，
∴ 该正多边形的边数为 $360° ÷ 90° = 4$，即该正多边形为正方形。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内外角关系，正多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形外角和的固定性以及内角与相邻外角的互补关系，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正多边形的相关性质：正多边形的每个内角与其相邻外角互为邻补角，和为180°，且所有正多边形的外角和均为固定的360°。结合题目给出的“内角度数与外角度数相等”的条件，可先求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数即可得到边数。
【解析】
∵ 正多边形的一个内角与它相邻的外角互为邻补角，二者之和为$180°$，
又
∵ 题中正多边形每个内角度数与外角度数相等，
∴ 每个外角的度数为 $180° ÷ 2 = 90°$，
∵ 任意正多边形的外角和恒为$360°$，
∴ 该正多边形的边数为 $360° ÷ 90° = 4$，即该正多边形为正方形。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内外角关系，正多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形外角和的固定性以及内角与相邻外角的互补关系，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. （株洲中考）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
A
）A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案
3. A 解析:
∵ 正三角形一条边所对的圆心角是 360°÷3 = 120°,正方形一条边所对的圆心角是 360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角是 360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角是 360°÷6=60°,
∴ 一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选 A.
∵ 正三角形一条边所对的圆心角是 360°÷3 = 120°,正方形一条边所对的圆心角是 360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角是 360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角是 360°÷6=60°,
∴ 一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确圆内接正n边形的核心性质：整个圆周角为360°，正n边形的n条边会把圆周平均分成n等份，因此每一条边所对的圆心角的度数为$360°÷ n$。由此可知，正多边形的边数越少，一条边所对的圆心角就越大，我们只需要对比四个选项中正多边形的边数，或者分别计算各图形对应圆心角再比较大小即可得出答案。
【解析】
根据圆内接正多边形边所对圆心角的计算方法：
正三角形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 3 = 120°$
正方形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 4 = 90°$
正五边形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 5 = 72°$
正六边形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 6 = 60°$
对比可知，正三角形一条边所对的圆心角最大。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；圆心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握圆内接正多边形边对应的圆心角与边数的关系，熟练运用公式计算即可快速解题，也可直接通过“边数越少，对应圆心角越大”的规律直接判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确圆内接正n边形的核心性质：整个圆周角为360°，正n边形的n条边会把圆周平均分成n等份，因此每一条边所对的圆心角的度数为$360°÷ n$。由此可知，正多边形的边数越少，一条边所对的圆心角就越大，我们只需要对比四个选项中正多边形的边数，或者分别计算各图形对应圆心角再比较大小即可得出答案。
【解析】
根据圆内接正多边形边所对圆心角的计算方法：
正三角形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 3 = 120°$
正方形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 4 = 90°$
正五边形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 5 = 72°$
正六边形一条边所对的圆心角：$360° ÷ 6 = 60°$
对比可知，正三角形一条边所对的圆心角最大。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；圆心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握圆内接正多边形边对应的圆心角与边数的关系，熟练运用公式计算即可快速解题，也可直接通过“边数越少，对应圆心角越大”的规律直接判断。
【难度系数】
0.9
4. （安徽中考）如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，连接$OC,OD$，则$∠ BAE - ∠ COD =$（
A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
（第4题）
D
）A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
（第4题）答案
4. D 解析:
∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,
∴ ∠BAE = $\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$,∠COD=$\frac{360°}{5}=72°$,
∴ ∠BAE-∠COD=108°-72°=36°.故选 D.
∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,
∴ ∠BAE = $\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$,∠COD=$\frac{360°}{5}=72°$,
∴ ∠BAE-∠COD=108°-72°=36°.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先结合正五边形的性质分析：正五边形所有内角相等，每条边对应的圆心角也相等。第一步利用正多边形内角和公式计算出∠BAE的度数，第二步根据正多边形中心角的计算规则求出∠COD的度数，最后对两个角度作差即可得到所求结果。
【解析】
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 正五边形每个内角的度数相等，内角和为$(5-2)×180°$，
因此$∠ BAE = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
又
∵ 正五边形各边对应的中心角相等，周角为$360°$，
因此$∠ COD = \frac{360°}{5}=72°$，
∴ $∠ BAE - ∠ COD = 108° - 72° = 36°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角和计算；正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形相关角度的计算，熟练掌握正多边形内角和公式、中心角计算公式即可快速解题，是正多边形与圆章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合正五边形的性质分析：正五边形所有内角相等，每条边对应的圆心角也相等。第一步利用正多边形内角和公式计算出∠BAE的度数，第二步根据正多边形中心角的计算规则求出∠COD的度数，最后对两个角度作差即可得到所求结果。
【解析】
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 正五边形每个内角的度数相等，内角和为$(5-2)×180°$，
因此$∠ BAE = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
又
∵ 正五边形各边对应的中心角相等，周角为$360°$，
因此$∠ COD = \frac{360°}{5}=72°$，
∴ $∠ BAE - ∠ COD = 108° - 72° = 36°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角和计算；正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形相关角度的计算，熟练掌握正多边形内角和公式、中心角计算公式即可快速解题，是正多边形与圆章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8
5. (自贡中考)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角$∠ ACB=15°$，算出这个正多边形的边数是 (
A.9
B.10
C.11
D.12
D
)A.9
B.10
C.11
D.12
答案
5. D 解析:
∵ AB = CB,∠ACB = 15°,
∴ ∠ABC = 180°-15°-15°=150°.设这个正多边形为正 n 边形,则$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$,解得 n=12,经检验 n=12 是原方程的解,即这个正多边形是正十二边形.故选 D.
∵ AB = CB,∠ACB = 15°,
∴ ∠ABC = 180°-15°-15°=150°.设这个正多边形为正 n 边形,则$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$,解得 n=12,经检验 n=12 是原方程的解,即这个正多边形是正十二边形.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先明确正多边形的各边长度相等，因此图中AB、BC作为正多边形的边，有AB=BC，可得△ABC为等腰三角形。已知底角∠ACB=15°，可先计算出等腰三角形的顶角∠ABC，该角就是正多边形的一个内角，再利用正多边形内角和与边数的关系公式列方程，即可求出正多边形的边数。
【解析】
∵ AB、BC是正多边形的边，
∴ AB=BC，△ABC为等腰三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=15°，
根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-15°-15°=150°，即该正多边形的一个内角为150°。
设这个正多边形的边数为n，根据正n边形内角公式：$\frac{(n-2)×180°}{n}$=每个内角的度数，代入得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
去分母得：$180(n-2)=150n$
展开：$180n-360=150n$
移项合并：$30n=360$
解得：$n=12$，经检验n=12是原方程的解，因此该正多边形为正十二边形。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；正多边形内角计算；多边形内角和公式
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是先通过等腰三角形的性质求出正多边形的内角度数，再结合正多边形内角和公式列方程求解，能有效考查学生对基础几何公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正多边形的各边长度相等，因此图中AB、BC作为正多边形的边，有AB=BC，可得△ABC为等腰三角形。已知底角∠ACB=15°，可先计算出等腰三角形的顶角∠ABC，该角就是正多边形的一个内角，再利用正多边形内角和与边数的关系公式列方程，即可求出正多边形的边数。
【解析】
∵ AB、BC是正多边形的边，
∴ AB=BC，△ABC为等腰三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=15°，
根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-15°-15°=150°，即该正多边形的一个内角为150°。
设这个正多边形的边数为n，根据正n边形内角公式：$\frac{(n-2)×180°}{n}$=每个内角的度数，代入得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
去分母得：$180(n-2)=150n$
展开：$180n-360=150n$
移项合并：$30n=360$
解得：$n=12$，经检验n=12是原方程的解，因此该正多边形为正十二边形。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；正多边形内角计算；多边形内角和公式
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是先通过等腰三角形的性质求出正多边形的内角度数，再结合正多边形内角和公式列方程求解，能有效考查学生对基础几何公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. （徐州中考）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为
10
。答案
6. 10 解析:连接 OA,OB,
∵ A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,O 为正多边形的中心,
∴ 点 A,B,C,D 在以点 O 为圆心,OA 为半径的同一个圆上.
∵ ∠ADB = 18°,
∴ ∠AOB= 2∠ADB=36°,
∴ 这个正多边形的边数=$\frac{360°}{36°}=10$.
∵ A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,O 为正多边形的中心,
∴ 点 A,B,C,D 在以点 O 为圆心,OA 为半径的同一个圆上.
∵ ∠ADB = 18°,
∴ ∠AOB= 2∠ADB=36°,
∴ 这个正多边形的边数=$\frac{360°}{36°}=10$.
解析
【分析】
要求正多边形的边数，需先求出正多边形的中心角，再根据“正多边形边数=360°÷中心角”计算。由正多边形的性质可知，其所有顶点都在以中心为圆心的外接圆上，题中给出的∠ADB是弧AB所对的圆周角，连接OA、OB可得到弧AB所对的圆心角∠AOB，根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，即正多边形的中心角，进而求出边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D为正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的正多边形外接圆上。
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠AOB=2∠ADB=2×18°=36°。
正多边形的中心角均相等，因此这个正多边形的边数为$\frac{360°}{36°}=10$。
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理，正多边形的性质，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆的综合基础题，解题核心是利用同弧所对圆心角和圆周角的数量关系求出正多边形的中心角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求正多边形的边数，需先求出正多边形的中心角，再根据“正多边形边数=360°÷中心角”计算。由正多边形的性质可知，其所有顶点都在以中心为圆心的外接圆上，题中给出的∠ADB是弧AB所对的圆周角，连接OA、OB可得到弧AB所对的圆心角∠AOB，根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，即正多边形的中心角，进而求出边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D为正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的正多边形外接圆上。
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠AOB=2∠ADB=2×18°=36°。
正多边形的中心角均相等，因此这个正多边形的边数为$\frac{360°}{36°}=10$。
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理，正多边形的性质，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆的综合基础题，解题核心是利用同弧所对圆心角和圆周角的数量关系求出正多边形的中心角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 边长为2的正方形内接于$\odot O$,则$\odot O$的半径是
$\sqrt{2}$
.答案
7. $\sqrt{2}$ 解析:如图,连接 OB,OC,则 OC = OB,∠BOC=90°.在 Rt△BOC 中,OB = $\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,
∴ $\odot O$ 的半径是$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先明确正方形内接于圆时，圆心为正方形的中心，圆的半径等于圆心到正方形顶点的距离。解题时先连接圆心与正方形相邻的两个顶点B、C，利用正方形的性质可得△BOC为等腰直角三角形，且斜边BC等于正方形的边长2，再结合勾股定理或等腰直角三角形的边长关系即可求出圆的半径。
【解析】
连接OB、OC，
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴OB=OC（均为$\odot O$的半径），$∠ BOC = 360°÷4 = 90°$，BC为正方形的边长，即$BC=2$。
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：$OB^2 + OC^2 = BC^2$，
又
∵OB=OC，
∴$2OB^2 = 2^2 = 4$，
解得$OB=\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根），
即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题关键是利用正多边形的中心角构造特殊三角形，再结合勾股定理求解对应线段长度，熟练掌握正多边形和其外接圆的对应关系是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
首先明确正方形内接于圆时，圆心为正方形的中心，圆的半径等于圆心到正方形顶点的距离。解题时先连接圆心与正方形相邻的两个顶点B、C，利用正方形的性质可得△BOC为等腰直角三角形，且斜边BC等于正方形的边长2，再结合勾股定理或等腰直角三角形的边长关系即可求出圆的半径。
【解析】
连接OB、OC，
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴OB=OC（均为$\odot O$的半径），$∠ BOC = 360°÷4 = 90°$，BC为正方形的边长，即$BC=2$。
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：$OB^2 + OC^2 = BC^2$，
又
∵OB=OC，
∴$2OB^2 = 2^2 = 4$，
解得$OB=\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根），
即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题关键是利用正多边形的中心角构造特殊三角形，再结合勾股定理求解对应线段长度，熟练掌握正多边形和其外接圆的对应关系是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
8. ★ 任意画出一个$\odot O$,用量角器画一个等于$60°$的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的
6
个等分点,顺次连接各等分点,就可以得到一个正六边形
.答案
8. 6 正六边形 解析:60°角所对的弧就是圆周的$\frac{1}{6}$,在圆上依次截取这条弧的等弧,就得到圆的6个等分点,依次连接各等分点,从而得到正六边形.
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是整个圆周对应的圆心角为360°，同圆中相等的圆心角所对的弧长度相等；二是顺次连接圆的n个等分点得到的是正n边形。第一步先计算360°中包含多少个60°，得到圆的等分点数量，第二步根据等分点数量判断连接后得到的正多边形类型即可。
【解析】
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，同圆内相等的圆心角所对的弧相等
∴ 60°的圆心角所对的弧占整个圆周的比例为$\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$
∴ 在圆上依次截取与该弧相等的弧，一共可以得到6段等弧，对应圆的6个等分点
顺次连接这6个等分点时，各边都是等弧所对的弦，长度相等，且每个内角也相等，因此得到的图形是正六边形。
【答案】
6；正六边形
【知识点】
圆心角与弧的关系；正多边形与圆的关系；圆的等分
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查正多边形和圆的关联原理，是正多边形尺规作图的基础，掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是整个圆周对应的圆心角为360°，同圆中相等的圆心角所对的弧长度相等；二是顺次连接圆的n个等分点得到的是正n边形。第一步先计算360°中包含多少个60°，得到圆的等分点数量，第二步根据等分点数量判断连接后得到的正多边形类型即可。
【解析】
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，同圆内相等的圆心角所对的弧相等
∴ 60°的圆心角所对的弧占整个圆周的比例为$\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$
∴ 在圆上依次截取与该弧相等的弧，一共可以得到6段等弧，对应圆的6个等分点
顺次连接这6个等分点时，各边都是等弧所对的弦，长度相等，且每个内角也相等，因此得到的图形是正六边形。
【答案】
6；正六边形
【知识点】
圆心角与弧的关系；正多边形与圆的关系；圆的等分
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查正多边形和圆的关联原理，是正多边形尺规作图的基础，掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
9. |教材P49练习T2变式 在图中,试分别按要求画出圆O的内接正多边形.(保留作图痕迹,不写作法) 
答案
9. 如图所示.
解析
【分析】
要绘制圆的内接正n边形，核心原理是n等分圆周：同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等，将圆周n等分后顺次连接各等分点，得到的多边形就是圆的内接正n边形。不同正多边形对应等分方法如下：1.正三角形：需3等分圆周，圆心角为120°，也可先按半径长6等分圆周，每隔1个点依次连接得到正三角形；2.正方形：需4等分圆周，圆心角为90°，作出两条互相垂直的直径，端点就是4个等分点；3.正六边形：需6等分圆周，圆心角为60°，对应弦长等于圆的半径，直接用半径长度在圆周上依次截取即可得到6个等分点；4.正八边形：需8等分圆周，先作互相垂直的直径得到4等分，再平分每段90°的弧，即可得到8个等分点。
【解析】
作图核心为等分圆周后顺次连接等分点：
①正三角形：将圆周三等分（或先六等分圆周，间隔选取3个点），顺次连接三个等分点；
②正方形：作出圆的两条互相垂直的直径，得到4个圆周等分点，顺次连接4个点；
③正六边形：以圆的半径为长度，在圆周上依次截取得到6个等分点，顺次连接6个点；
④正八边形：先作互相垂直的直径得到4个等分点，再平分各段弧得到8个等分点，顺次连接8个点。
作图保留所有作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查圆内接正多边形的基础作图，解题关键是掌握正多边形边数和圆周等分数的对应关系，是正多边形相关作图的基础题型，有助于理解正多边形和圆的联系。
【难度系数】
0.8
要绘制圆的内接正n边形，核心原理是n等分圆周：同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等，将圆周n等分后顺次连接各等分点，得到的多边形就是圆的内接正n边形。不同正多边形对应等分方法如下：1.正三角形：需3等分圆周，圆心角为120°，也可先按半径长6等分圆周，每隔1个点依次连接得到正三角形；2.正方形：需4等分圆周，圆心角为90°，作出两条互相垂直的直径，端点就是4个等分点；3.正六边形：需6等分圆周，圆心角为60°，对应弦长等于圆的半径，直接用半径长度在圆周上依次截取即可得到6个等分点；4.正八边形：需8等分圆周，先作互相垂直的直径得到4等分，再平分每段90°的弧，即可得到8个等分点。
【解析】
作图核心为等分圆周后顺次连接等分点：
①正三角形：将圆周三等分（或先六等分圆周，间隔选取3个点），顺次连接三个等分点；
②正方形：作出圆的两条互相垂直的直径，得到4个圆周等分点，顺次连接4个点；
③正六边形：以圆的半径为长度，在圆周上依次截取得到6个等分点，顺次连接6个点；
④正八边形：先作互相垂直的直径得到4个等分点，再平分各段弧得到8个等分点，顺次连接8个点。
作图保留所有作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查圆内接正多边形的基础作图，解题关键是掌握正多边形边数和圆周等分数的对应关系，是正多边形相关作图的基础题型，有助于理解正多边形和圆的联系。
【难度系数】
0.8
10. ★★★ 如图，$\odot C$经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,则弧AE所对的圆周角$∠ APE$等于（
A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
C
）A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
10. C 解析:连接 AC,EC,如图.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ ∠BAF = ∠F = ∠DEF = ∠B = ∠D = $\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$, AB = BC, CD = DE,
∴ ∠BAC = ∠BCA = $\frac{1}{2}( 180° - ∠B ) = 30°$, 同理 ∠CED = 30°,
∴ ∠CAF = ∠BAF - ∠BAC = 120° - 30° = 90°, 同理 ∠CEF=90°,在四边形 ACEF 中,∠ACE = 360°-90°-90°-120°=60°,
∴ ∠APE=$\frac{1}{2}$∠ACE=30°.故选 C.
解析
【分析】
所求的∠APE是⊙C中弧AE所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，因此只需先求出弧AE对应的圆心角∠ACE的度数即可。解题步骤如下：第一步作辅助线连接AC、EC；第二步利用正六边形内角相等、边长相等的性质，计算正六边形的内角度数，结合等腰三角形性质求出相关角的度数；第三步通过四边形内角和算出圆心角∠ACE的度数；最后利用圆周角定理求出∠APE的度数。
【解析】
解：连接AC、EC，如图。
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ BAF = ∠ F = ∠ B = ∠ D = ∠ DEF = 120°$，且$AB = BC$，$CD = DE$，
∴ 在$△ ABC$中，$∠ BAC = ∠ BCA = \frac{1}{2}(180° - ∠ B) = \frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
同理可得$∠ CED = 30°$，
∴ $∠ CAF = ∠ BAF - ∠ BAC = 120° - 30° = 90°$，同理$∠ CEF = ∠ DEF - ∠ CED = 120° - 30° = 90°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ ACE = 360° - ∠ CAF - ∠ F - ∠ CEF = 360° - 90° - 120° - 90° = 60°$，
∵ $∠ APE$是⊙C中弧AE所对的圆周角，$∠ ACE$是弧AE所对的圆心角，
∴ $∠ APE = \frac{1}{2}∠ ACE = \frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】C
【知识点】
正多边形的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题综合考查正多边形性质与圆的相关性质，解题关键是通过作辅助线找到圆周角对应的圆心角，再结合多边形内角和公式计算角度，需要学生熟练掌握基础几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
所求的∠APE是⊙C中弧AE所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，因此只需先求出弧AE对应的圆心角∠ACE的度数即可。解题步骤如下：第一步作辅助线连接AC、EC；第二步利用正六边形内角相等、边长相等的性质，计算正六边形的内角度数，结合等腰三角形性质求出相关角的度数；第三步通过四边形内角和算出圆心角∠ACE的度数；最后利用圆周角定理求出∠APE的度数。
【解析】
解：连接AC、EC，如图。
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ BAF = ∠ F = ∠ B = ∠ D = ∠ DEF = 120°$，且$AB = BC$，$CD = DE$，
∴ 在$△ ABC$中，$∠ BAC = ∠ BCA = \frac{1}{2}(180° - ∠ B) = \frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
同理可得$∠ CED = 30°$，
∴ $∠ CAF = ∠ BAF - ∠ BAC = 120° - 30° = 90°$，同理$∠ CEF = ∠ DEF - ∠ CED = 120° - 30° = 90°$，
∵ 四边形内角和为$360°$，
∴ $∠ ACE = 360° - ∠ CAF - ∠ F - ∠ CEF = 360° - 90° - 120° - 90° = 60°$，
∵ $∠ APE$是⊙C中弧AE所对的圆周角，$∠ ACE$是弧AE所对的圆心角，
∴ $∠ APE = \frac{1}{2}∠ ACE = \frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】C
【知识点】
正多边形的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题综合考查正多边形性质与圆的相关性质，解题关键是通过作辅助线找到圆周角对应的圆心角，再结合多边形内角和公式计算角度，需要学生熟练掌握基础几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
