11. ★★★ (衡阳中考)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 () A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 （第11题）（第12题）（第13题）

11. C 解析:
∵ 正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴ 正五边形的每一个内角的度数为 540°÷5 = 108°.如图,延长这3个正五边形的两边相交于点 O,则 ∠1 = 180°-(180°-108°)×2 = 36°,360°÷36°=10(个).

【分析】
要解决正五边形排成圆环的个数问题，可按以下思路推导：首先需计算正五边形单个内角的度数，再分析相邻两个正五边形在圆心处形成的夹角大小，最后用周角360°除以该夹角，即可得到需要的正五边形总个数。第一步先利用正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再计算单个内角的度数；第二步结合图形，找到相邻正五边形与圆心形成的三角形的底角和正五边形内角的关系，利用三角形内角和算出圆心角的度数；第三步用周角除以圆心角的度数，即可求出总数量。
【解析】
解：
∵ 正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
∴ 正五边形的每一个内角的度数为$540°÷5=108°$。
如图，延长正五边形的两边相交于点$O$，相邻两个正五边形与点$O$形成的三角形的两个底角度数均为$180°-108°=72°$，
∴ 圆心角$∠1=180° - 72°×2=36°$，
完整圆环对应周角$360°$，因此需要正五边形的个数为$360°÷36°=10$（个）。

【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，周角性质，正多边形拼接
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型应用题，解题核心是结合图形梳理正五边形内角和圆心角的数量关系，既考查基础的角度计算能力，也要求具备一定的图形观察分析能力。
【难度系数】
0.6

12. ★★★（绥化中考）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于$\odot O$，且有公共顶点A，则$∠ BOH$的度数为度.

12. 12 解析:连接 AO,如图.
∵ 多边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ ∠AOB=360°÷6=60°.
∵ 多边形 AHIJK 是正五边形,
∴ ∠AOH=360°÷5=72°,
∴ ∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°.

【分析】
要求∠BOH的度数，可利用正多边形内接于圆时每条边对应中心角相等的性质求解。首先连接公共半径OA，分别计算正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，两个中心角的差值就是∠BOH的度数。正n边形的中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，代入边数即可得到对应中心角的大小。
【解析】
连接AO，如图。
∵ 多边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，正六边形的6条边对应的中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，
∴ $∠ AOB = 360° ÷ 6 = 60°$。
∵ 多边形AHIJK是$\odot O$的内接正五边形，正五边形的5条边对应的中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，
∴ $∠ AOH = 360° ÷ 5 = 72°$。
∴ $∠ BOH = ∠ AOH - ∠ AOB = 72° - 60° = 12°$。
【答案】
12
【知识点】
正多边形中心角计算，正多边形与圆的性质，角的和差运算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型基础题，解题核心是掌握正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，通过公共半径构建两个中心角的差关系即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85

13. ★★★ 如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$AB=AD,∠C=120°$,点$E$在弧$AD$上,连接$OD,OE,AE,DE$.
(1)$∠AED$的度数为.
(2)当$∠DOE=90°$时,$AE$恰好为$\odot O$的内接正$n$边形的一边,则$n$的值为.

13. (1)120° 解析:连接 BD.
∵ 四边形 ABCD 是 $\odot O$ 的内接四边形,
∴ ∠BAD+∠C=180°.
∵ ∠C=120°,
∴ ∠BAD=60°.
∵ AB=AD,
∴ △ABD 是等边三角形,
∴ ∠ABD=60°.
∵ 四边形 ABDE 是 $\odot O$ 的内接四边形,
∴ ∠AED+∠ABD=180°,
∴ ∠AED=120°.
(2) 12 解析:连接 OA.
∵ ∠ABD = 60°,
∴ ∠AOD = 2∠ABD=120°.
∵ ∠DOE=90°,
∴ ∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$.

【分析】
(1) 要求∠AED的度数，观察到四边形ABDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，只需求出∠ABD的度数即可。首先利用圆内接四边形ABCD的对角互补，结合已知∠C=120°求出∠BAD的度数，再由AB=AD可判定△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，进而求出∠AED。
(2) 要求正n边形的边数n，需要先求出正n边形的中心角∠AOE的度数。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，再结合∠DOE=90°算出∠AOE，最后根据正n边形中心角和为360°，用360°除以∠AOE的度数即可得到n的值。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ C = 180°$，
∵ $∠ C=120°$，
∴ $∠ BAD=180° - 120°=60°$，
又
∵ $AB=AD$，
∴ $△ ABD$是等边三角形，
∴ $∠ ABD=60°$，
∵ 四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ AED + ∠ ABD=180°$，
∴ $∠ AED=180° - 60°=120°$。
(2) 连接OA，
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ABD$是弧AD对应的圆周角，$∠ AOD$是弧AD对应的圆心角，
∴ $∠ AOD=2∠ ABD=2×60°=120°$，
∵ $∠ DOE=90°$，
∴ $∠ AOE=∠ AOD - ∠ DOE=120° - 90°=30°$，
∵ 正n边形的每个中心角相等，且所有中心角和为$360°$，
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
(1)$120°$；(2)$12$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题是圆与正多边形结合的典型题型，解题的关键是合理添加辅助线，将所求角度和已知条件通过圆的性质建立关联，需要熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角与圆心角的关系、正多边形中心角的特征等核心知识点。
【难度系数】
0.65

14. 如图,五边形ABCDE是半径为R的圆内接正五边形,P为$\overset{\frown}{AE}$的中点.求证:PA·PB=R².

14. 设圆的圆心为 O,如图,连接 OA,OP,OB,OE,OA 交 PB 于点 J.
∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,
∴ ∠AOB = ∠AOE = 360° ÷ 5 = 72°.
∵ P 为$\overset{\frown}{AE}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PE}$,
∴ ∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOE=36°,
∴ ∠BOP = ∠AOB + ∠AOP = 108°.
∵ OP = OB,
∴ ∠OPB = ∠OBP = $\frac{1}{2}×( 180° - 108° ) = 36°$,
∴ ∠AJP=∠BJO = 180° - 72° - 36° = 72°.
∵ OA = OP,
∴ ∠OAP=∠OPA=$\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$,
∴ ∠PAJ = ∠PJA,
∴ PA = PJ.
∵ ∠POJ = ∠PBO, ∠OPJ = ∠BPO,
∴ △OPJ∽△BPO,
∴ $\frac{OP}{BP}=\frac{PJ}{OP}$,
∴ OP² = PJ·PB,即 R² = PA·PB.

【分析】
要证明$PA·PB=R^2$，这类乘积式问题通常可转化为比例式，通过证明相似三角形求解。解题时首先连接圆心与各顶点得到半径，利用正五边形的性质计算各圆心角的度数，再结合等腰三角形的性质推导角的等量关系，找到相似三角形和相等的线段，最后替换线段即可完成证明。
【解析】
证明：设圆的圆心为$O$，连接$OA,OP,OB,OE$，$OA$交$PB$于点$J$。
∵ 五边形$ABCDE$是圆内接正五边形，
∴ 正五边形的中心角相等，即$∠ AOB = ∠ AOE = 360° ÷ 5 = 72°$。
∵ $P$为$\overset{\frown}{AE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PE}$，根据等弧对应的圆心角相等，得$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOE=36°$，
∴ $∠ BOP = ∠ AOB + ∠ AOP = 72° + 36° = 108°$。
∵ $OP = OB$（都是圆的半径），
∴ $△ OPB$为等腰三角形，$∠ OPB = ∠ OBP = \frac{1}{2}×( 180° - 108° ) = 36°$。
在$△ BJO$中，$∠ BJO = 180° - ∠ AOB - ∠ OBP = 180° -72° -36° =72°$，故$∠ AJP=∠ BJO=72°$（对顶角相等）。
∵ $OA = OP$（都是圆的半径），
∴ $△ OAP$为等腰三角形，$∠ OAP=∠ OPA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
∴ $∠ PAJ = ∠ PJA=72°$，根据等角对等边得$PA = PJ$。
在$△ OPJ$和$△ BPO$中：
$∠ POJ = ∠ PBO=36°$，$∠ OPJ = ∠ BPO$（公共角），
∴ $△ OPJ ∽ △ BPO$（两角对应相等，两三角形相似），
∴ $\frac{OP}{BP}=\frac{PJ}{OP}$，交叉相乘得$OP^2 = PJ· PB$。
∵ $OP=R$，$PJ=PA$，
∴ $R^2 = PA· PB$，即$PA· PB=R^2$，得证。
【答案】

【知识点】
正多边形与圆的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心是将线段乘积的证明转化为相似三角形的比例关系求解，解题的关键是正确添加辅助线，通过正五边形的圆心角特征推导角度关系，找到相等线段和相似三角形，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

15. 转化思想 如图所示,正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在⊙O上逆时针运动.
(1)求图①中∠APN的度数;
(2)求图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数;
(3)试探究∠APN的度数与正多边形边数n的关系.(直接写出答案)

15. (1)
∵ ∠APN=∠ABP+∠BAP,且点 M,N 以相同的速度在⊙O 上逆时针运动,
∴ $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$,
∴ ∠BAM = ∠NBC,
∴ ∠APN = ∠ABP+∠NBC,即∠APN=∠ABC=60°.
(2) 同理:题图②中,∠APN = ∠ABC = 90°;题图③中,∠APN = ∠ABC = 108°.
(3) ∠APN=$\frac{(n-2)×180°}{n}$. 解析:由(1)(2)可知∠APN 的度数等于正多边形一个内角的度数,当正多边形为正 n 边形时,其内角和为(n-2)×180°,
∴ 每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$,
∴ ∠APN=$\frac{(n-2)×180°}{n}$.

【分析】
解题时先分析∠APN的构成：它是△ABP的外角，根据三角形外角性质可拆为∠ABP+∠BAP。再结合点M、N运动速度相同，可得二者运动的弧长相等，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，根据圆周角定理，等弧所对圆周角相等，可推出∠BAM=∠NBC，通过角度代换就能发现∠APN等于对应正多边形的内角∠ABC，最后结合不同正多边形的内角度数求解，再推广到正n边形的通用结论即可。
【解析】
(1)
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN=∠ABP+∠BAP，
∵点M，N以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴相同时间内$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，
∴∠BAM = ∠NBC，
∴∠APN = ∠ABP+∠NBC = ∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ABC=60°，即∠APN=60°。
(2) 同理，题图②中四边形ABCD是正方形，其内角∠ABC=90°，故∠APN=∠ABC=90°；
题图③中五边形ABCDE是正五边形，其内角∠ABC=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故∠APN=108°。
(3) 由(1)(2)的规律可知，∠APN的度数等于正n边形的一个内角度数，正n边形内角和为$(n-2)×180°$，因此每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，即$∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}$。
【答案】
(1) $60°$；(2) $90°$，$108°$；(3) $∠ APN=\frac{(n-2)×180°}{n}$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形内角计算
【点评】
本题侧重考查转化思想，将动态角度问题转化为正多边形的固定内角求解，核心是利用等弧对等圆周角的性质完成角度代换，规律清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7