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22. (8分)如图，O是直线AB上的一点，$∠ COD=90°$.
(1)若$∠ BOD=32°$,求$∠ AOC$的度数.
(2)若$∠ AOC:∠ BOD=2:1$,直接写出$∠ BOD$的度数.
(1)若$∠ BOD=32°$,求$∠ AOC$的度数.
(2)若$∠ AOC:∠ BOD=2:1$,直接写出$∠ BOD$的度数.
答案
22. (1) $58°$. (2) $30°$.
解析
【分析】
本题围绕平角、直角的角度性质求解未知角。对于(1)，首先直线AB构成180°的平角，平角被分成∠AOC、∠COD、∠BOD三个部分，已知∠COD是90°，∠BOD的度数，用平角度数减去两个已知角的度数就能得到∠AOC的度数。对于(2)，已知∠AOC和∠BOD的比例关系，可设未知数表示两个角，再根据三个角的和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：
∵O是直线AB上的点，根据平角的定义，得$∠ AOB=180°$
∴$∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD = 180°$
已知$∠ COD=90°$，$∠ BOD=32°$，代入得：
$∠ AOC = 180° - 90° - 32° = 58°$
(2) 解：设$∠ BOD=x$，
∵$∠ AOC:∠ BOD=2:1$，
∴$∠ AOC=2x$
结合$∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD = 180°$，$∠ COD=90°$，列方程：
$2x + 90° + x = 180°$
合并同类项得$3x=90°$
解得$x=30°$，即$∠ BOD=30°$
【答案】
(1) $58°$；(2) $30°$
【知识点】
平角的性质，角度和差运算，比例方程应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，主要考察平角、直角的基本性质，结合比例关系的简单应用，只要掌握基本几何角的度数概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题围绕平角、直角的角度性质求解未知角。对于(1)，首先直线AB构成180°的平角，平角被分成∠AOC、∠COD、∠BOD三个部分，已知∠COD是90°，∠BOD的度数，用平角度数减去两个已知角的度数就能得到∠AOC的度数。对于(2)，已知∠AOC和∠BOD的比例关系，可设未知数表示两个角，再根据三个角的和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：
∵O是直线AB上的点，根据平角的定义，得$∠ AOB=180°$
∴$∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD = 180°$
已知$∠ COD=90°$，$∠ BOD=32°$，代入得：
$∠ AOC = 180° - 90° - 32° = 58°$
(2) 解：设$∠ BOD=x$，
∵$∠ AOC:∠ BOD=2:1$，
∴$∠ AOC=2x$
结合$∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOD = 180°$，$∠ COD=90°$，列方程：
$2x + 90° + x = 180°$
合并同类项得$3x=90°$
解得$x=30°$，即$∠ BOD=30°$
【答案】
(1) $58°$；(2) $30°$
【知识点】
平角的性质，角度和差运算，比例方程应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，主要考察平角、直角的基本性质，结合比例关系的简单应用，只要掌握基本几何角的度数概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
23. (8分)如图，$∠ AOD=28°$，$∠ AOB$与$∠ AOD$互余，$OC$平分$∠ AOB$，求$∠ COD$的度数.
答案
23. $3°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆互余的定义：若两个角互余，则它们的和为90°，据此先求出∠AOB的度数；再根据角平分线的定义，得到∠AOC是∠AOB的一半，算出∠AOC的度数；最后观察图形可知∠COD=∠AOC-∠AOD，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠AOB与∠AOD互余，
∴ ∠AOB + ∠AOD = 90°，
∵ ∠AOD=28°，
∴ ∠AOB = 90° - 28° = 62°，
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×62° = 31°，
∴ ∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 31° - 28° = 3°。
【答案】
$3°$
【知识点】
余角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的基础运算题，核心是理清图中各角的数量关系，熟练掌握余角性质和角平分线的定义即可快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆互余的定义：若两个角互余，则它们的和为90°，据此先求出∠AOB的度数；再根据角平分线的定义，得到∠AOC是∠AOB的一半，算出∠AOC的度数；最后观察图形可知∠COD=∠AOC-∠AOD，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠AOB与∠AOD互余，
∴ ∠AOB + ∠AOD = 90°，
∵ ∠AOD=28°，
∴ ∠AOB = 90° - 28° = 62°，
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×62° = 31°，
∴ ∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 31° - 28° = 3°。
【答案】
$3°$
【知识点】
余角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的基础运算题，核心是理清图中各角的数量关系，熟练掌握余角性质和角平分线的定义即可快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
24. (10分)定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成1:2的两个角的射线,叫作这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条.
(1) 如图(1),已知OC是∠AOB的一条三分线,且∠BOC＞∠AOC,若∠AOB=75°,则∠AOC=
(2) 如图(2),已知∠AOB=90°,若OC,OD是∠AOB的两条三分线.
① 求∠COD的度数;
② 在①的基础上,现以O为中心,将∠COD顺时针旋转$n°$得到∠C'OD'.当OA恰好是∠C'OD'的三分线时,求n的值.
(1) 如图(1),已知OC是∠AOB的一条三分线,且∠BOC＞∠AOC,若∠AOB=75°,则∠AOC=
25°
;(2) 如图(2),已知∠AOB=90°,若OC,OD是∠AOB的两条三分线.
① 求∠COD的度数;
② 在①的基础上,现以O为中心,将∠COD顺时针旋转$n°$得到∠C'OD'.当OA恰好是∠C'OD'的三分线时,求n的值.
答案
24. (1) $25°$； (2) ① $30°$;② $n=40°$或 $50°$.
解析
【分析】
(1) 根据三分线定义，结合∠BOC＞∠AOC可知∠AOC占∠AOB的1份，∠BOC占2份，总份数为3，用∠AOB的度数除以总份数即可求出∠AOC的度数。
(2) ① 两条三分线将90°的∠AOB平均分成3个相等的小角，∠COD是中间的小角，直接计算即可。
② 旋转不改变角的大小，所以∠C'OD'仍为30°，OA作为它的三分线需分两种情况讨论：OA分角的比例为1:2和2:1，结合旋转前后的角度关系分别计算旋转度数n即可。
【解析】
(1)
∵OC是∠AOB的三分线，且∠BOC＞∠AOC
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB$
又
∵$∠ AOB=75°$
∴$∠ AOC=75°÷3=25°$
(2) ①
∵OC、OD是∠AOB的两条三分线，$∠ AOB=90°$
∴$∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=90°÷3=30°$
∴$∠ COD=30°$
② 由旋转性质得$∠ C'OD'=∠ COD=30°$，OA是∠C'OD'的三分线，分两种情况：
情况1：若$∠ AOD':∠ AOC'=1:2$，则$∠ AOD'=30°×\frac{1}{3}=10°$
旋转度数$n=∠ AOD+∠ AOD'=30°+10°=40°$
情况2：若$∠ AOD':∠ AOC'=2:1$，则$∠ AOC'=30°×\frac{1}{3}=10°$
原来$∠ AOC=60°$，则旋转度数$n=∠ AOC-∠ AOC'=60°-10°=50°$
综上，$n$的值为$40°$或$50°$
【答案】
(1) $25°$；(2) ① $30°$；② $n=40°$或$50°$
【知识点】
角的运算，新定义，旋转的性质
【点评】
本题结合新定义考查角度计算和旋转的性质，解题的核心是理解三分线的含义，注意分类讨论不同的角度分割情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 根据三分线定义，结合∠BOC＞∠AOC可知∠AOC占∠AOB的1份，∠BOC占2份，总份数为3，用∠AOB的度数除以总份数即可求出∠AOC的度数。
(2) ① 两条三分线将90°的∠AOB平均分成3个相等的小角，∠COD是中间的小角，直接计算即可。
② 旋转不改变角的大小，所以∠C'OD'仍为30°，OA作为它的三分线需分两种情况讨论：OA分角的比例为1:2和2:1，结合旋转前后的角度关系分别计算旋转度数n即可。
【解析】
(1)
∵OC是∠AOB的三分线，且∠BOC＞∠AOC
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB$
又
∵$∠ AOB=75°$
∴$∠ AOC=75°÷3=25°$
(2) ①
∵OC、OD是∠AOB的两条三分线，$∠ AOB=90°$
∴$∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=90°÷3=30°$
∴$∠ COD=30°$
② 由旋转性质得$∠ C'OD'=∠ COD=30°$，OA是∠C'OD'的三分线，分两种情况：
情况1：若$∠ AOD':∠ AOC'=1:2$，则$∠ AOD'=30°×\frac{1}{3}=10°$
旋转度数$n=∠ AOD+∠ AOD'=30°+10°=40°$
情况2：若$∠ AOD':∠ AOC'=2:1$，则$∠ AOC'=30°×\frac{1}{3}=10°$
原来$∠ AOC=60°$，则旋转度数$n=∠ AOC-∠ AOC'=60°-10°=50°$
综上，$n$的值为$40°$或$50°$
【答案】
(1) $25°$；(2) ① $30°$；② $n=40°$或$50°$
【知识点】
角的运算，新定义，旋转的性质
【点评】
本题结合新定义考查角度计算和旋转的性质，解题的核心是理解三分线的含义，注意分类讨论不同的角度分割情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
