三、解答题(共6小题,共46分)
19. (8分)如图(1),在平面内有四点A,B,C,D.
（1）根据下列语句画图：
① 画线段AB,
② 画射线BD,
③ 连接CD,并反向延长CD交AB于点E；
（2）如图(2),BE=2AE,BE=8,点F是AB的中点,点G是AE的中点,求GF的长.

19. 解:(1) ① 如图,线段AB即为所求.
② 如图,射线BD即为所求. ③ 如图,射线DC即为所求.

(2) $\because BE=2AE,BE=8,\therefore AE=4,\therefore AB=AE+BE=12.$ $\because$点 $F$ 是 $AB$ 的中点,点 $G$ 是 $AE$ 的中点,
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=6,AG=\frac{1}{2}AE=2,\therefore GF=AF-AG=4.$

【分析】
（1）画图部分需结合线段、射线的定义操作：①线段AB是连接A、B两点的有限长图形，直接连接A、B即可；②射线BD以B为端点，向D方向无限延伸，从B出发过D作射线即可；③反向延长CD即从D出发沿C到D的反方向延伸，直到与AB相交，交点记为E。
（2）计算线段GF长度的思路：首先根据已知的BE长度与BE、AE的数量关系求出AE的长度，再结合线段和的关系求出AB的总长度；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，分别求出AF、AG的长度；最后观察线段位置关系，GF=AF-AG，代入数值即可求出结果。
【解析】
（1）①连接A、B两点，得到的线段AB即为所求；
②以B为端点，过点D作射线，得到的射线BD即为所求；
③先连接C、D，再从D出发沿DC的反方向延长，与AB交于点E，即可得到符合要求的图形。
（2）解：已知$BE=2AE$，$BE=8$，
$\therefore AE=\frac{BE}{2}=4$，
$\therefore AB=AE+BE=4+8=12$，
∵点F是AB的中点，点G是AE的中点，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，$AG=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×4=2$，
$\therefore GF=AF-AG=6-2=4$。
【答案】
(1) ① 如图,线段AB即为所求.
② 如图,射线BD即为所求. ③ 如图,射线DC即为所求.

(2) $GF=4$
【知识点】
1. 线段与射线的画法
2. 线段中点的性质
3. 线段的和差运算
【点评】
本题分为作图和计算两个模块，作图部分考查对线段、射线基本概念的理解与作图规范的掌握；计算部分结合线段的倍数关系、中点性质与和差关系求解，是几何的基础题型，注重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8

20. (6分)如图，$∠ AOB=90°,∠ COD=90°$，$OE$平分$∠ BOD$，$∠ DOE=20°$.求$∠ AOC$的度数.请将以下解答过程补充完整.

解:$\because OE$平分$∠ BOD$,
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE$.(理由:)
$\because ∠ DOE=20°$,
$\therefore ∠ BOD=$$°$.
$\because ∠ AOB=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ AOC=90°$.
$\because ∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ BOD=90°$.
$\therefore ∠ AOC=∠$(理由:)
$\therefore ∠ AOC=$$°$.

20. 角平分线的定义；40；BOD；同角的余角相等；40.

【分析】
解决本题的思路如下：第一步，先根据角平分线的定义，由OE平分∠BOD且已知∠DOE的度数，求出∠BOD的大小；第二步，观察图形可知∠AOB和∠COD都是直角，因此∠AOC和∠BOD都与∠BOC互余，根据同角的余角相等的性质，可得到∠AOC和∠BOD相等，进而求出∠AOC的度数。
【解析】
$\because OE$平分$∠ BOD$,
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE$.(理由: 角平分线的定义 )
$\because ∠ DOE=20°$,
$\therefore ∠ BOD=2×20°=40°$.
$\because ∠ AOB=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ AOC=90°$.
$\because ∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ BOD=90°$.
$\therefore ∠ AOC=∠BOD$(理由: 同角的余角相等 )
$\therefore ∠ AOC=40°$.
【答案】
角平分线的定义；40；BOD；同角的余角相等；40
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，重点考察对角平分线定义和余角性质的理解与运用，解题时需要结合图形找准角之间的和差关系，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

21. (6分)如图,已知轮船A在灯塔P的北偏东$30°$的方向,轮船B在灯塔P的南偏东$70°$的方向.
(1)从灯塔P看两轮船的视角(即$∠ APB$)的度数是多少?
(2)轮船C在$∠ APB$的平分线上,则轮船C在灯塔P的什么方位?

21. (1) $80°$. (2) 轮船 $C$ 在灯塔 $P$ 的北偏东 $70°$ 的方向上.

【分析】
(1) 求解∠APB时，首先明确正北和正南方向在同一直线上，组成180°的平角，已知轮船A在灯塔P北偏东30°、轮船B在灯塔P南偏东70°，用平角度数减去这两个已知角度即可得到∠APB的度数。
(2) 先根据角平分线的定义算出∠APC的度数，再结合PA与正北方向的夹角，就能推出PC与正北方向的夹角，从而确定轮船C的方位。
【解析】
(1) 由方位角的含义可知，正北方向与正南方向的夹角为180°，且PA与正北方向的夹角为30°，PB与正南方向的夹角为70°，因此：
$∠ APB=180°-30°-70°=80°$
(2) 因为轮船C在$∠ APB$的平分线上，根据角平分线的定义：
$∠ APC=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×80°=40°$
又因为PA与正北方向的夹角为30°，因此PC与正北方向的夹角为$30°+40°=70°$，即轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上。
【答案】
(1) $80°$；(2) 轮船$C$在灯塔$P$的北偏东$70°$的方向上
【知识点】
方位角的认识；角的计算；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查角度的基础计算，解题关键是准确理解方位角的表示方法，结合平角、角平分线的性质推导角度，实用性较强。
【难度系数】
0.8