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1.下列各式中，y是x的二次函数的是(
A.$y=x^2-(x+1)x$
B.$y+ax^2=-3$
C.$x^2+2y+3=0$
D.$y=x^2+x^{-2}$
C
).A.$y=x^2-(x+1)x$
B.$y+ax^2=-3$
C.$x^2+2y+3=0$
D.$y=x^2+x^{-2}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做$x$的二次函数，需同时满足三个条件：①整理后表达式是整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将每个选项变形为用含$x$的代数式表示$y$的形式，再对照三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们结合二次函数的定义逐一分析选项：
A选项：化简表达式得$y=x^2-(x+1)x=x^2-x^2-x=-x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：变形得$y=-ax^2-3$，题干未说明$a≠0$，若$a=0$，则$y=-3$是常数函数，不是二次函数，排除；
C选项：变形得$2y=-x^2-3$，即$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}$，二次项系数$-\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，且表达式是整式，符合二次函数定义，当选；
D选项：$y=x^2+x^{-2}=x^2+\frac{1}{x^2}$，分母含自变量$x$，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念 2.整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是直接根据表达式表面含$x^2$就判定为二次函数，解题时要先化简表达式，同时注意二次项系数不为0、表达式为整式这两个核心要求。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做$x$的二次函数，需同时满足三个条件：①整理后表达式是整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将每个选项变形为用含$x$的代数式表示$y$的形式，再对照三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们结合二次函数的定义逐一分析选项：
A选项：化简表达式得$y=x^2-(x+1)x=x^2-x^2-x=-x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：变形得$y=-ax^2-3$，题干未说明$a≠0$，若$a=0$，则$y=-3$是常数函数，不是二次函数，排除；
C选项：变形得$2y=-x^2-3$，即$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}$，二次项系数$-\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，且表达式是整式，符合二次函数定义，当选；
D选项：$y=x^2+x^{-2}=x^2+\frac{1}{x^2}$，分母含自变量$x$，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念 2.整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是直接根据表达式表面含$x^2$就判定为二次函数，解题时要先化简表达式，同时注意二次项系数不为0、表达式为整式这两个核心要求。
【难度系数】
0.8
2. $y=ax^2+bx+c(a,b,c$ 是常数$)$为二次函数的条件是$(\quad)$。
A.$a≠0$
B.$b≠0$
C.$a≠0,b≠0,c≠0$
D.$c≠0$
A.$a≠0$
B.$b≠0$
C.$a≠0,b≠0,c≠0$
D.$c≠0$
答案
2.A
解析
【分析】
解答本题首先要明确考点是二次函数的成立条件，思路如下：第一步回忆二次函数的定义，核心要求是函数的最高次项为二次项；第二步分析各系数的作用：二次项系数a决定了二次项是否存在，若a=0，二次项消失，函数最高次最多为1次，就不属于二次函数；而一次项系数b、常数项c的取值不影响二次项的存在，即使b=0或c=0，只要a≠0，函数最高次仍为2次，仍是二次函数；第三步对应选项选出符合要求的答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数）的函数叫做二次函数，其核心成立条件为二次项系数$a≠0$：
若$a=0$，原式变为$y=bx+c$，最高次项为一次，属于一次函数（若$b=0$则为常数函数），不符合二次函数要求；
$b、c$可以取任意常数，不影响二次函数的判定。
因此仅需满足$a≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要抓住二次函数“最高次为二次”的本质，牢记二次项系数不为0的要求，不要被一次项系数、常数项的取值干扰，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确考点是二次函数的成立条件，思路如下：第一步回忆二次函数的定义，核心要求是函数的最高次项为二次项；第二步分析各系数的作用：二次项系数a决定了二次项是否存在，若a=0，二次项消失，函数最高次最多为1次，就不属于二次函数；而一次项系数b、常数项c的取值不影响二次项的存在，即使b=0或c=0，只要a≠0，函数最高次仍为2次，仍是二次函数；第三步对应选项选出符合要求的答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数）的函数叫做二次函数，其核心成立条件为二次项系数$a≠0$：
若$a=0$，原式变为$y=bx+c$，最高次项为一次，属于一次函数（若$b=0$则为常数函数），不符合二次函数要求；
$b、c$可以取任意常数，不影响二次函数的判定。
因此仅需满足$a≠0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要抓住二次函数“最高次为二次”的本质，牢记二次项系数不为0的要求，不要被一次项系数、常数项的取值干扰，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为$x$，三月份的产量为$y$，则$y$与$x$的函数解析式为(
A.$y=200+200x+200x$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200(1+x^2)$
D.$y=200+200x+200x^2$
B
).A.$y=200+200x+200x$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200(1+x^2)$
D.$y=200+200x+200x^2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的函数解析式求解问题，解题时可按照“先求中间期产量，再求最终期产量”的思路推导：首先明确一月份的产量是初始基数，二月份产量是在一月份产量的基础上增长x，再以算出的二月份产量为新的基数，计算增长x后的三月份产量，最后整理表达式对应选项判断即可。
【解析】
已知一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为x：
1. 计算二月份产量：二月份产量 = 一月份产量×(1+增产率)，即 $200(1+x)$ 辆；
2. 计算三月份产量：三月份是在二月份产量的基础上增长x，因此三月份产量 $y = 二月份产量×(1+x)$，代入二月份产量可得：
$y=200(1+x)·(1+x)=200(1+x)^2$
对应选项可知B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率问题的基础应用题型，解题的核心是明确每次增长的基数为上一期的产量，不要混淆连续增长的计算逻辑，掌握该类题型的推导方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的函数解析式求解问题，解题时可按照“先求中间期产量，再求最终期产量”的思路推导：首先明确一月份的产量是初始基数，二月份产量是在一月份产量的基础上增长x，再以算出的二月份产量为新的基数，计算增长x后的三月份产量，最后整理表达式对应选项判断即可。
【解析】
已知一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为x：
1. 计算二月份产量：二月份产量 = 一月份产量×(1+增产率)，即 $200(1+x)$ 辆；
2. 计算三月份产量：三月份是在二月份产量的基础上增长x，因此三月份产量 $y = 二月份产量×(1+x)$，代入二月份产量可得：
$y=200(1+x)·(1+x)=200(1+x)^2$
对应选项可知B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率问题的基础应用题型，解题的核心是明确每次增长的基数为上一期的产量，不要混淆连续增长的计算逻辑，掌握该类题型的推导方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
4.若函数$y=(m+2)x^{m^2+m}$是二次函数，则$m$的值为(
A.$-2$
B.$0$
C.$-2$或$1$
D.$1$
D
).A.$-2$
B.$0$
C.$-2$或$1$
D.$1$
答案
4.D
解析
【分析】
要确定m的取值，需依据二次函数的定义明确两个必要条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，否则函数不满足二次函数的要求。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的最高次数为2，即：
$m^2 + m = 2$
移项得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
结合两个条件排除$m=-2$，因此$m=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选包含-2的选项，解题时需牢记二次函数要同时满足最高次项次数为2、最高次项系数不为0两个要求。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需依据二次函数的定义明确两个必要条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，否则函数不满足二次函数的要求。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的最高次数为2，即：
$m^2 + m = 2$
移项得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
结合两个条件排除$m=-2$，因此$m=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选包含-2的选项，解题时需牢记二次函数要同时满足最高次项次数为2、最高次项系数不为0两个要求。
【难度系数】
0.7
5.下列具有二次函数关系的是(
A.正方形的周长y与边长x
B.当速度一定时,路程s与时间t
C.正方形的面积y与边长x
D.三角形的高一定时,面积y与底边长x
C
).A.正方形的周长y与边长x
B.当速度一定时,路程s与时间t
C.正方形的面积y与边长x
D.三角形的高一定时,面积y与底边长x
答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪个选项的函数是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2。解题时先根据各选项涉及的数量关系列出函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：正方形周长公式为$y=4x$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系；
B选项：速度$v$一定时，路程公式为$s=vt$，自变量$t$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系；
C选项：正方形面积公式为$y=x^2$，符合$y=ax^2$（$a=1≠0$）的二次函数形式，属于二次函数关系；
D选项：三角形高$h$一定时，面积公式为$y=\frac{1}{2}hx$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念
2.根据实际问题列函数关系式
3.一次函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是熟练掌握常见数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数的定义特征判断即可，是对函数基础定义的常规考查。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项的函数是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2。解题时先根据各选项涉及的数量关系列出函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：正方形周长公式为$y=4x$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系；
B选项：速度$v$一定时，路程公式为$s=vt$，自变量$t$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系；
C选项：正方形面积公式为$y=x^2$，符合$y=ax^2$（$a=1≠0$）的二次函数形式，属于二次函数关系；
D选项：三角形高$h$一定时，面积公式为$y=\frac{1}{2}hx$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数关系。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念
2.根据实际问题列函数关系式
3.一次函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是熟练掌握常见数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数的定义特征判断即可，是对函数基础定义的常规考查。
【难度系数】
0.9
6.已知函数$y=(m+2)x^2+3x+1$是关于x的二次函数，则m的取值范围是
$m≠-2$
。答案
6.$m≠-2$
解析
【分析】
解答本题的核心是掌握二次函数的定义要求：二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中二次项系数$a$不能为0，否则$x^2$项消失，函数就变为一次函数，不符合“二次函数”的题干要求。因此我们只需令本题中$x^2$项的系数不等于0，解对应的不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
本题给定函数的二次项系数为$m+2$，因此可得不等式：
$m+2≠0$
解不等式得：$m≠-2$
【答案】
$m≠-2$
【知识点】
二次函数的定义、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对二次函数定义的掌握程度，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，牢记二次函数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是掌握二次函数的定义要求：二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中二次项系数$a$不能为0，否则$x^2$项消失，函数就变为一次函数，不符合“二次函数”的题干要求。因此我们只需令本题中$x^2$项的系数不等于0，解对应的不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
本题给定函数的二次项系数为$m+2$，因此可得不等式：
$m+2≠0$
解不等式得：$m≠-2$
【答案】
$m≠-2$
【知识点】
二次函数的定义、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对二次函数定义的掌握程度，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，牢记二次函数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7.函数$y=-2x+3x^2$中，$a=$
$3$
，$b=$$-2$
，$c=$$0$
。答案
7.3,-2,0
解析
【分析】
要确定二次函数中a、b、c的值，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时第一步先将给定的函数按照$x$的降幂（即二次项在前、一次项居中、常数项在后）整理为标准形式，再对应各项提取系数即可，注意系数要保留原式的符号，没有常数项时$c$的值为0。
【解析】
首先回忆二次函数的一般形式：$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）。
将题干中的函数$y=-2x+3x^2$按$x$的降幂排列，得到标准形式：$y=3x^2-2x+0$。
对应一般式可得：
二次项系数$a=3$，
一次项系数$b=-2$，
常数项$c=0$。
【答案】
3，-2，0
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 多项式系数识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查二次函数一般式中各项系数的识别。解题时需注意先将函数调整为按$x$降幂排列的标准形式，不要忽略系数的正负号，若函数没有常数项，则对应的$c$值为0，避免因漏看符号或项的顺序而出错。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数中a、b、c的值，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时第一步先将给定的函数按照$x$的降幂（即二次项在前、一次项居中、常数项在后）整理为标准形式，再对应各项提取系数即可，注意系数要保留原式的符号，没有常数项时$c$的值为0。
【解析】
首先回忆二次函数的一般形式：$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）。
将题干中的函数$y=-2x+3x^2$按$x$的降幂排列，得到标准形式：$y=3x^2-2x+0$。
对应一般式可得：
二次项系数$a=3$，
一次项系数$b=-2$，
常数项$c=0$。
【答案】
3，-2，0
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 多项式系数识别
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查二次函数一般式中各项系数的识别。解题时需注意先将函数调整为按$x$降幂排列的标准形式，不要忽略系数的正负号，若函数没有常数项，则对应的$c$值为0，避免因漏看符号或项的顺序而出错。
【难度系数】
0.8
8. n边形对角线的条数为y,则y与n的函数解析式为
$y=\frac{n(n-3)}{2}$
;由此可知五边形的对角线有$5$
条;有14条对角线的多边形是七
边形.答案
8.$y=\frac{n(n-3)}{2}$,5,七
解析
【分析】
要推导n边形对角线条数的函数解析式，可先分析单个顶点可连的对角线数量：每个顶点不能与自身、相邻的2个顶点连对角线，因此单个顶点可连(n-3)条对角线；n个顶点共连n(n-3)条，但每条对角线被2个顶点各计算1次，因此要除以2得到实际对角线数量。后续求五边形对角线条数只需将n=5代入解析式计算；求14条对角线对应的多边形边数，只需将y=14代入解析式，解关于n的一元二次方程，取正整数解即可。
【解析】
1. 推导函数解析式：
n边形共有n个顶点，每个顶点可与除自身和相邻2个顶点外的(n-3)个顶点连接形成对角线，n个顶点共可连接$n(n-3)$条线段，由于每条对角线被重复计算了2次，因此对角线总条数$y=\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$，且n为整数）。
2. 求五边形的对角线条数：
将$n=5$代入解析式，得$y=\frac{5×(5-3)}{2}=\frac{5×2}{2}=5$，即五边形有5条对角线。
3. 求有14条对角线的多边形边数：
令$y=14$，代入解析式得$\frac{n(n-3)}{2}=14$，整理得$n^2-3n-28=0$，因式分解得$(n-7)(n+4)=0$，解得$n_1=7$，$n_2=-4$。
由于多边形边数n为大于等于3的正整数，因此舍去$n=-4$，即该多边形为七边形。
【答案】
$y=\frac{n(n-3)}{2}$；5；七
【知识点】
多边形对角线计数；二次函数解析式；解一元二次方程
【点评】
本题结合多边形的性质考查了函数解析式的推导、代入求值及一元二次方程的求解，属于基础题，解题时需注意多边形的边数必须是不小于3的正整数，求出方程的解后要结合实际意义取舍。
【难度系数】
0.8
要推导n边形对角线条数的函数解析式，可先分析单个顶点可连的对角线数量：每个顶点不能与自身、相邻的2个顶点连对角线，因此单个顶点可连(n-3)条对角线；n个顶点共连n(n-3)条，但每条对角线被2个顶点各计算1次，因此要除以2得到实际对角线数量。后续求五边形对角线条数只需将n=5代入解析式计算；求14条对角线对应的多边形边数，只需将y=14代入解析式，解关于n的一元二次方程，取正整数解即可。
【解析】
1. 推导函数解析式：
n边形共有n个顶点，每个顶点可与除自身和相邻2个顶点外的(n-3)个顶点连接形成对角线，n个顶点共可连接$n(n-3)$条线段，由于每条对角线被重复计算了2次，因此对角线总条数$y=\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$，且n为整数）。
2. 求五边形的对角线条数：
将$n=5$代入解析式，得$y=\frac{5×(5-3)}{2}=\frac{5×2}{2}=5$，即五边形有5条对角线。
3. 求有14条对角线的多边形边数：
令$y=14$，代入解析式得$\frac{n(n-3)}{2}=14$，整理得$n^2-3n-28=0$，因式分解得$(n-7)(n+4)=0$，解得$n_1=7$，$n_2=-4$。
由于多边形边数n为大于等于3的正整数，因此舍去$n=-4$，即该多边形为七边形。
【答案】
$y=\frac{n(n-3)}{2}$；5；七
【知识点】
多边形对角线计数；二次函数解析式；解一元二次方程
【点评】
本题结合多边形的性质考查了函数解析式的推导、代入求值及一元二次方程的求解，属于基础题，解题时需注意多边形的边数必须是不小于3的正整数，求出方程的解后要结合实际意义取舍。
【难度系数】
0.8
9.用16 m长的篱笆围成长方形鸡舍,鸡舍的面积 y (单位: m²)与长方形的一边长 x (单位: m)之间的函数解析式为
$y=-x^2+8x$
,自变量 x 的取值范围是$0＜x＜8$
.答案
9.$y=-x^2+8x,0＜x＜8$
解析
【分析】
要得到面积y与边长x的函数关系，首先明确16m是长方形的周长，已知一边长为x，可先根据长方形周长公式求出相邻边的长度；再结合长方形面积公式即可写出y与x的函数解析式。求自变量x的取值范围时，需结合边长为正的实际意义，列不等式求解即可。
【解析】
∵ 长方形的周长为16m，其中一边长为x m
∴ 与x相邻的另一边的长度为 $\frac{16}{2} - x = (8 - x)$ m
根据长方形面积=长×宽，可得：
$y = x(8 - x) = -x^2 + 8x$
∵ 长方形的边长均为正数
∴ 列不等式组：$\begin{cases}x ＞ 0 \\ 8 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得：$0 ＜ x ＜ 8$
【答案】
$y=-x^2+8x$，$0＜x＜8$
【知识点】
二次函数的实际应用，长方形周长与面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础应用题，核心考查根据实际情境列函数解析式的能力，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，不能仅根据解析式的代数意义判断。
【难度系数】
0.8
要得到面积y与边长x的函数关系，首先明确16m是长方形的周长，已知一边长为x，可先根据长方形周长公式求出相邻边的长度；再结合长方形面积公式即可写出y与x的函数解析式。求自变量x的取值范围时，需结合边长为正的实际意义，列不等式求解即可。
【解析】
∵ 长方形的周长为16m，其中一边长为x m
∴ 与x相邻的另一边的长度为 $\frac{16}{2} - x = (8 - x)$ m
根据长方形面积=长×宽，可得：
$y = x(8 - x) = -x^2 + 8x$
∵ 长方形的边长均为正数
∴ 列不等式组：$\begin{cases}x ＞ 0 \\ 8 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得：$0 ＜ x ＜ 8$
【答案】
$y=-x^2+8x$，$0＜x＜8$
【知识点】
二次函数的实际应用，长方形周长与面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础应用题，核心考查根据实际情境列函数解析式的能力，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，不能仅根据解析式的代数意义判断。
【难度系数】
0.8
10.圆的半径为6，若半径增加x，则面积增加y，y与x的函数解析式为
$y=π x^2+12π x(x≥0)$
.答案
10.$y=π x^2+12π x(x≥0)$
解析
【分析】
要确定y与x的函数解析式，首先需明确面积增加量的计算逻辑：增加的面积=半径增加后的新圆面积 - 原圆面积。解题时先根据圆的面积公式分别求出原圆面积和半径增加x后的新圆面积，再作差化简，最后结合x的实际意义写出自变量取值范围即可。
【解析】
已知原圆半径为6，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 原圆面积$S_原=π × 6^2=36π$；
2. 半径增加x后，新圆半径为$6+x$，新圆面积$S_新=π (6+x)^2$；
3. 面积增加量$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=π(6+x)^2 - 36π$
展开并化简：
$y=π(36+12x+x^2) - 36π$
$y=36π + 12π x + π x^2 - 36π$
$y=π x^2 + 12π x$
又因为x是半径的增加量，不能为负数，所以自变量取值范围为$x≥0$。
【答案】
$y=π x^2+12π x(x≥0)$
【知识点】
圆的面积计算；列二次函数解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是抓住“增量=变化后量 - 原有量”的关系列式，易错点是容易遗漏自变量x的实际取值范围，解题时要注意结合实际问题判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.8
要确定y与x的函数解析式，首先需明确面积增加量的计算逻辑：增加的面积=半径增加后的新圆面积 - 原圆面积。解题时先根据圆的面积公式分别求出原圆面积和半径增加x后的新圆面积，再作差化简，最后结合x的实际意义写出自变量取值范围即可。
【解析】
已知原圆半径为6，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 原圆面积$S_原=π × 6^2=36π$；
2. 半径增加x后，新圆半径为$6+x$，新圆面积$S_新=π (6+x)^2$；
3. 面积增加量$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=π(6+x)^2 - 36π$
展开并化简：
$y=π(36+12x+x^2) - 36π$
$y=36π + 12π x + π x^2 - 36π$
$y=π x^2 + 12π x$
又因为x是半径的增加量，不能为负数，所以自变量取值范围为$x≥0$。
【答案】
$y=π x^2+12π x(x≥0)$
【知识点】
圆的面积计算；列二次函数解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是抓住“增量=变化后量 - 原有量”的关系列式，易错点是容易遗漏自变量x的实际取值范围，解题时要注意结合实际问题判断自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.8
