1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,且AD交BC于点D,AD=4 cm,则BC的长为().

A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.14 cm

1.C

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C=30°，再结合三角形内角和算出∠BAC的度数；接着根据AB⊥AD得到∠BAD=90°，进而算出∠DAC的度数，判断出△ADC也是等腰三角形，得到DC=AD；最后在Rt△ABD中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度，将BD与DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=4cm，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=4cm，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BD=2AD=2×4=8cm，
∴BC=BD+DC=8+4=12cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查等腰三角形边角关系和直角三角形特殊角度的性质应用，解题的关键是通过角度推导得到边的等量关系，只要熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

2.下列命题中,正确的个数是().
①等腰三角形的一边长为4 cm,另一边长为9 cm,则它的周长为17 cm或22 cm;
②三边分别相等的两个三角形全等;
③等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴;
④如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.

A.1
B.2
C.3
D.4

2.C

【分析】
本题需要逐个判断4个几何命题的正误，统计正确命题的个数。解题时要逐一分析每个命题：①涉及等腰三角形周长计算，需先结合三角形三边关系判断边长组合是否成立；②考查全等三角形的判定定理；③考查等边三角形的轴对称性质；④可结合平行线性质、角平分线定义推导三角形是否为等腰三角形，最终统计正确个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断命题的正确性：
1. 分析命题①：
等腰三角形两边长为4cm和9cm，分两种情况讨论：
若腰长为4cm，底边长为9cm，此时三边长为4cm、4cm、9cm，因为$4+4=8＜9$，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，该情况舍去；
若腰长为9cm，底边长为4cm，此时三边长为9cm、9cm、4cm，满足三边关系，周长为$9+9+4=22\mathrm{cm}$。
因此周长只能是22cm，命题①错误。
2. 分析命题②：
根据全等三角形的“边边边（SSS）”判定定理，三边分别相等的两个三角形全等，命题②正确。
3. 分析命题③：
等边三角形是轴对称图形，它的三条对称轴分别是三条边上的高（或顶角平分线、底边中线）所在的直线，共3条对称轴，命题③正确。
4. 分析命题④：
已知△ABC的外角∠ACD的平分线CE平行于AB，根据平行线性质：
同位角相等：$∠ ECD=∠ B$
内错角相等：$∠ ACE=∠ A$
因为CE平分∠ACD，所以$∠ ACE=∠ ECD$，因此可得$∠ A=∠ B$，所以$AC=BC$，△ABC是等腰三角形，命题④正确。
综上，正确的命题是②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定，轴对称图形
【点评】
本题属于几何基础综合题，易错点是计算等腰三角形周长时容易忽略三边关系的验证，解题时需要对每个命题逐一验证，熟练掌握三角形相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3.如图，$△ ABC$是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，$BD=3$，$DE⊥ BC$，且DE交AB于点E，则$AE=$。

3.2

【分析】
首先从已知条件入手，△ABC是等边三角形，可推出三边相等、每个内角均为60°；再结合DE⊥BC，可知△EDB是直角三角形，结合∠B=60°可推出∠BED=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出BE的长度，最后用AB的长度减去BE的长度即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为8的等边三角形
∴AB=8，∠B=60°
∵DE⊥BC
∴∠EDB=90°
∴∠BED=90°-∠B=90°-60°=30°
在Rt△EDB中，∠BED=30°，30°角所对的直角边为BD
∴BE=2BD
∵BD=3
∴BE=2×3=6
∴AE=AB-BE=8-6=2
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握等边三角形的内角特征和特殊直角三角形的边角关系，结合线段和差运算即可快速求解，是三角形性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$是$△ ABC$内的两点,$AE$平分$∠ BAC$,$∠ D=∠ DBC=60°$,若$BD=5\ \mathrm{cm}$,$DE=3\ \mathrm{cm}$,则$BC$的长是$\mathrm{cm}$.

4.8

【分析】
解题可按以下思路展开：① 首先结合等腰△ABC和角平分线AE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知AE垂直平分BC，得到BN=NC、AN⊥BC，为后续求BC长度铺垫；② 看到∠D=∠DBC=60°，通过延长DE交BC于M，可得到等边△BDM，从而将已知BD的长度转化为BM、DM的长度；③ 最后在Rt△ENM中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出NM的长度，进而算出BN，最终得到BC的长度。
【解析】
延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N。
1.
∵AB=AC，AE平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AN⊥BC，且$BN=NC=\frac{1}{2}BC$。
2.
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴$BD=BM=DM=5\mathrm{cm}$，∠BMD=60°。
3. 已知$DE=3\mathrm{cm}$，
∴$EM=DM-DE=5-3=2\mathrm{cm}$。
4.
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
在Rt△ENM中，∠NEM=90°-∠BMD=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，得$NM=\frac{1}{2}EM=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
5.
∴$BN=BM-NM=5-1=4\mathrm{cm}$，
∴$BC=2BN=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，将已知线段关系通过等边三角形、直角三角形的性质进行转化，这类题需要学生熟练掌握特殊三角形的性质，具备一定的辅助线构造意识。
【难度系数】
0.6

5.如图,上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北方向航行,上午10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求海岛B与灯塔C之间的距离.
(2)这条船继续向正北方向航行,在什么时间船与灯塔C之间的距离最短?

5.解:(1)
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=60°−30°=30°.
∴AB=BC.
∵AB=15×2=30(海里),
∴BC=30海里,即海岛B与灯塔C之间的距离为30海里.
(2)过点C作CP⊥AB的延长线于点P(图略),则线段CP的长为船与灯塔C之间的最短距离.
∵∠NBC=60°,∠BPC=90°,
∴∠BCP=90°−60°=30°.
∴PB=$\frac{1}{2}$BC=15(海里).
∵15÷15=1(小时),10+1=11(时),
∴这条船继续向正北方向航行,在上午11时船与灯塔C之间的距离最短.

【分析】
(1) 先计算AB的路程：船从A到B的航行时间为10-8=2小时，结合速度可求出AB长度。再利用三角形外角性质，∠NBC是△ABC的外角，等于不相邻两个内角和，代入已知角度可推出∠ACB=∠NAC，根据等角对等边即可得到BC=AB，求出B到C的距离。
(2) 根据点到直线的距离中垂线段最短，过C作AN的垂线，垂足即为距离最短时船的位置。在直角三角形中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出需要继续航行的路程，结合速度算出航行时间，加上10时即可得到对应的时刻。
【解析】
(1)
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=60°−30°=30°,
∴∠ACB=∠NAC,
∴AB=BC.
∵AB=15×(10-8)=30(海里),
∴BC=30海里，即海岛B与灯塔C之间的距离为30海里。
(2) 过点C作CP⊥AB的延长线于点P，则线段CP的长为船与灯塔C之间的最短距离。
∵∠NBC=60°,∠BPC=90°,
∴∠BCP=90°−60°=30°,
∴PB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×30=15(海里).
∵航行时间为15÷15=1(小时),10+1=11(时),
∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时船与灯塔C之间的距离最短。
【答案】
(1) 30海里；(2) 上午11时
【知识点】
等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形性质，垂线段最短
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题时需要先理清方位角对应的角度关系，再结合等腰三角形、直角三角形的性质推导边长，最后结合行程公式计算时间，属于几何与实际结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7