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1. 如图,已知$△ ABC ∽ △ DEF$, $AB: DE=1: 2$, 则下列等式一定成立的是 (
A.$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{∠ A\mathrm{的度数}}{∠ D\mathrm{的度数}}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{△ ABC\mathrm{的面积}}{△ DEF\mathrm{的面积}}=\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{△ ABC\mathrm{的周长}}{△ DEF\mathrm{的周长}}=\dfrac{1}{2}$
D
)A.$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{∠ A\mathrm{的度数}}{∠ D\mathrm{的度数}}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{△ ABC\mathrm{的面积}}{△ DEF\mathrm{的面积}}=\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{△ ABC\mathrm{的周长}}{△ DEF\mathrm{的周长}}=\dfrac{1}{2}$
答案
1.D 解析:根据相似三角形的性质可知,A. BC 和 DF 不是对应边,故错;B. 对应角相等,故错;C. 面积比应该是 1 : 4,故错;D. 周长比等于相似比,故正确.故选 D.
2.（连云港中考）△ABC的三边长分别为2,3,4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（
A.54
B.36
C.27
D.21
C
）A.54
B.36
C.27
D.21
答案
2. C 解析:
∵ △ABC 与 △DEF 相似,△ABC 的最长边为 4,△DEF 的最长边为 12,
∴ 两个相似三角形的相似比为 1 : 3,
∴ △ABC 的周长与 △DEF 的周长比为 1 : 3,
∴ △DEF 的周长为 3×(2+3+4)= 27.故选 C.
∵ △ABC 与 △DEF 相似,△ABC 的最长边为 4,△DEF 的最长边为 12,
∴ 两个相似三角形的相似比为 1 : 3,
∴ △ABC 的周长与 △DEF 的周长比为 1 : 3,
∴ △DEF 的周长为 3×(2+3+4)= 27.故选 C.
3.（巴中中考）如图，已知$□ ABCD$，F为BC的中点，延长AD至点E，使$DE:AD=1:3$，连接EF交DC于点G，则$S_{△ DEG}:S_{△ CFG}=$（
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$9:4$
D.$4:9$
D
）A.$2:3$
B.$3:2$
C.$9:4$
D.$4:9$
答案
3. D 解析:设 $DE = x$,
∵ $DE : AD = 1 : 3$,
∴ $AD = 3x$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD // BC, BC = AD = 3x$.
∵ 点 $F$ 是$BC$ 的中点,
∴ $CF = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}x$.
∵ $AD // BC$,
∴ $△ DEG ∽ △ CFG$,
∴ $\frac{S_{△ DEG}}{S_{△ CFG}} = (\frac{DE}{CF})^2 = (\frac{x}{\frac{3}{2}x})^2 = \frac{4}{9}$.故选 D.
∵ $DE : AD = 1 : 3$,
∴ $AD = 3x$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD // BC, BC = AD = 3x$.
∵ 点 $F$ 是$BC$ 的中点,
∴ $CF = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}x$.
∵ $AD // BC$,
∴ $△ DEG ∽ △ CFG$,
∴ $\frac{S_{△ DEG}}{S_{△ CFG}} = (\frac{DE}{CF})^2 = (\frac{x}{\frac{3}{2}x})^2 = \frac{4}{9}$.故选 D.
4. 一个长5 cm，宽3 cm的长方形，按4：1放大后得到的图形的面积为
240
$\mathrm{cm}^2$答案
4. 240 解析:长方形按 4 : 1 放大后得到的图形与原来的图形相似,面积比为 16 : 1,故按 4 : 1 放大后得到的图形的面积= 16×3×5 = 240($\mathrm{cm}^2$).故答案为 240.
5. (1)已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$是它们的对应中线，若$AD=10$，$A'D'=6$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$对应的角平分线的比为________，周长之比为________，面积之比为________。
(2)两个相似三角形的面积比为$9:4$，它们的周长的差是25，那么较小三角形的周长为________。
(2)两个相似三角形的面积比为$9:4$，它们的周长的差是25，那么较小三角形的周长为________。
答案
5. (1)$5:3$ $5:3$ $25:9$ 解析:
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$,AD 和 $A'D'$ 是它们的对应中线,且 $AD : A'D' = 10 : 6 = 5 : 3$,
∴ 对应的角平分线的比和对应周长之比也为 5 : 3,对应面积之比为 $5^2 : 3^2 = 25 : 9$.
(2)50 解析:
∵ 两个相似三角形的面积比为 9 : 4,
∴ 它们的周长比为 3 : 2.
∵ 3-2 = 1,周长差为 25,
∴ 较小三角形的周长为 25×2 = 50.
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$,AD 和 $A'D'$ 是它们的对应中线,且 $AD : A'D' = 10 : 6 = 5 : 3$,
∴ 对应的角平分线的比和对应周长之比也为 5 : 3,对应面积之比为 $5^2 : 3^2 = 25 : 9$.
(2)50 解析:
∵ 两个相似三角形的面积比为 9 : 4,
∴ 它们的周长比为 3 : 2.
∵ 3-2 = 1,周长差为 25,
∴ 较小三角形的周长为 25×2 = 50.
6. (1)在$△ ABC$中，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上.若$△ ADE$与$△ ABC$相似，且$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，求$AD$的长.
(2)如图，已知$AB// CD$，且$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ADE}}=\frac{2}{3}$，试求$△ ABE$与$△ DCE$的周长比与面积比.
(2)如图，已知$AB// CD$，且$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ADE}}=\frac{2}{3}$，试求$△ ABE$与$△ DCE$的周长比与面积比.
答案
6. (1)
∵ $S_{△ ADE} : S_{\mathrm{四边形}BCED} = 1 : 8$,
∴ $S_{△ ADE} : S_{△ ABC} = 1 : 9$,
∴ $△ ADE$与$△ ABC$ 的相似比为 1 : 3. ①当 $∠ AED = ∠ B$ 时,$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{3}$.
∵ $AC = 5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AD = \frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$. ②当 $∠ ADE = ∠ B$ 时,$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$.
∵ $AB = 6\ \mathrm{cm}$,
∴ $AD = 2\ \mathrm{cm}$. 综上所述,$AD$ 的长为 $2\ \mathrm{cm}$ 或 $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$.
(2)由题图可知,$△ ADE$ 底边 $DE$ 上的高与 $△ ABE$ 底边 $BE$ 上的高相等,
∵ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ADE}} = \frac{2}{3}$,
∴ $\frac{BE}{DE} = \frac{2}{3}$.
∵ $AB // CD$,
∴ $∠ B = ∠ EDC, ∠ BAE = ∠ C$,
∴ $△ ABE ∽ △ CDE$,
∴ $△ ABE$ 与 $△ DCE$ 的周长比为 2 : 3,面积比为 4 : 9.
∵ $S_{△ ADE} : S_{\mathrm{四边形}BCED} = 1 : 8$,
∴ $S_{△ ADE} : S_{△ ABC} = 1 : 9$,
∴ $△ ADE$与$△ ABC$ 的相似比为 1 : 3. ①当 $∠ AED = ∠ B$ 时,$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{3}$.
∵ $AC = 5\ \mathrm{cm}$,
∴ $AD = \frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$. ②当 $∠ ADE = ∠ B$ 时,$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$.
∵ $AB = 6\ \mathrm{cm}$,
∴ $AD = 2\ \mathrm{cm}$. 综上所述,$AD$ 的长为 $2\ \mathrm{cm}$ 或 $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$.
(2)由题图可知,$△ ADE$ 底边 $DE$ 上的高与 $△ ABE$ 底边 $BE$ 上的高相等,
∵ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ADE}} = \frac{2}{3}$,
∴ $\frac{BE}{DE} = \frac{2}{3}$.
∵ $AB // CD$,
∴ $∠ B = ∠ EDC, ∠ BAE = ∠ C$,
∴ $△ ABE ∽ △ CDE$,
∴ $△ ABE$ 与 $△ DCE$ 的周长比为 2 : 3,面积比为 4 : 9.
7. (2026·西安月考)如图，D,E分别是$△ ABC$的边AB,BC上的点，且$DE// AC$，AE,CD相交于点O，若$S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:16$，则$S_{△ BDE}:S_{△ CDE}$是 (
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:16$
B
)A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:16$
答案
7. B 解析:
∵ $DE // AC$,
∴ $∠ EDO = ∠ ACO, ∠ DEO = ∠ CAO$,
∴ $△ DOE ∽ △ COA$.
∵ $S_{△ DOE} : S_{△ COA} = 1 : 16$,
∴ $\frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$.
∵ $DE // AC$,
∴ $∠ EDB = ∠ CAB$. 又
∵ $∠ EBD = ∠ CBA$,
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$,
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$,
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{1}{3}$.
∵ $△ BDE$ 与 $△ CDE$ 的高相等,
∴ $\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ CDE}} = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}$.故选 B.
技法点拨 理解“同高三角形的面积比等于底的比”是解题的关键,由三角形相似得到比例关系.
∵ $DE // AC$,
∴ $∠ EDO = ∠ ACO, ∠ DEO = ∠ CAO$,
∴ $△ DOE ∽ △ COA$.
∵ $S_{△ DOE} : S_{△ COA} = 1 : 16$,
∴ $\frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$.
∵ $DE // AC$,
∴ $∠ EDB = ∠ CAB$. 又
∵ $∠ EBD = ∠ CBA$,
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$,
∴ $\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$,
∴ $\frac{BE}{EC} = \frac{1}{3}$.
∵ $△ BDE$ 与 $△ CDE$ 的高相等,
∴ $\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ CDE}} = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}$.故选 B.
技法点拨 理解“同高三角形的面积比等于底的比”是解题的关键,由三角形相似得到比例关系.
8. 如图,已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a＜b＜c,若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分,设图中的小三角形①,②,③的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1,S_2,S_3$的大小关系是 (
A.$S_3 ＜ S_1 ＜ S_2$
B.$S_1 = S_2 = S_3$
C.$S_2 ＜ S_3 ＜ S_1$
D.$S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$
D
)A.$S_3 ＜ S_1 ＜ S_2$
B.$S_1 = S_2 = S_3$
C.$S_2 ＜ S_3 ＜ S_1$
D.$S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$
答案
8. D 解析:设$△ ABC$ 的面积为 $S$,周长为 $C_{△ ABC}$,①中有 $l // BC$,设 $l$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $D$ 与点 $E$,
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD+AE}{AB+AC} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{c+b}$;②中有 $l // AB$,同理可知 $\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{b+a}$;③中有 $l // AC$,同理可知 $\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{a+c}$.
∵ $0 ＜ a ＜ b ＜ c$,
∴ $0 ＜ a+b ＜ a+c ＜ b+c$,
∴ $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}} ＜ \frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} ＜ \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}$,
∴ $S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$.故选 D.
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD+AE}{AB+AC} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{c+b}$;②中有 $l // AB$,同理可知 $\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{b+a}$;③中有 $l // AC$,同理可知 $\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} = \frac{\frac{1}{2}C_{△ ABC}}{a+c}$.
∵ $0 ＜ a ＜ b ＜ c$,
∴ $0 ＜ a+b ＜ a+c ＜ b+c$,
∴ $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}} ＜ \frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} ＜ \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}$,
∴ $S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$.故选 D.
