8[2026浙江丽水期末]已知点A,B,C是直线l上互不重合的三个点,设$AB=3a$,$AC=na+2$,$BC=a+6$,其中n是正整数,a是正数,则下列说法正确的是 ()

A.若$n=1$,则点B在点A,C之间
B.若$n=2$,则点A在点B,C之间
C.若$n=3$,则点C在点A,B之间
D.若$n＞2$,则点B在点A,C之间

8.B 【解析】A 选项,当 $n=1$ 时,若点 B 在点A,C 之间,则 $AB+BC=AC$,所以 $3a+(a+6)=a+2$,解得 $a=-\frac{4}{3}$. 因为 a 是正数,所以不符合题意,故选项 A 错误. B 选项,当 $n=2$ 时,若点A 在点 B,C 之间,则 $AB+AC=BC$,所以 $3a+(2a+2)=a+6$,解得 $a=1$,符合题意;若点 C在点 A,B 之间,则 $AC+BC=AB$,所以 $(2a+2)+(a+6)=3a$,方程无解;若点 B 在点 A,C 之间,则 $AB+BC=AC$,所以 $3a+(a+6)=2a+2$,解得 $a=-2$. 因为 a 是正数,所以不符合题意. 故只有点 A 在点 B,C 之间成立,故选项 B 正确.C 选项,当 $n=3$ 时,若点 C 在点 A,B 之间,则$AC+BC=AB$,所以 $(3a+2)+(a+6)=3a$,解得$a=-8$. 因为 a 是正数,所以不符合题意,故选项 C 错误. D 选项,若点 B 在点 A,C 之间,则 $AB+BC=AC$,所以 $3a+(a+6)=na+2$,所以 $(n-4)a=4$. 当 $n≠4$ 时,$a=\frac{4}{n-4}$,所以 $n＞4$ 时,a 为正数,此时点 B 在点 A,C 之间,故选项 D错误.

二、填空题(每小题4分,共16分)
9 钟表上的时间显示为10:10,此时时针和分针之间形成的角(小于平角)的度数为.

9.$115°$ 【解析】如图,由钟面角的定义可知,$∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=\frac{360°}{12}=30°$,$∠AOC=30°×\frac{10}{60}=5°$,$∠AOB=30°×4-5°=115°$.故答案为 $115°$.

10 线段$AB=30\ \mathrm{cm}$，$O$是$AB$中点，$C$是$AB$的三等分点，则线段$OC$的长度为$\mathrm{cm}.$

10.5 【解析】因为 $AB=30$ cm, $O$ 是 $AB$ 中点,所以 $OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$ (cm).又因为 $C$ 是 $AB$ 的三等分点,所以 $AC=\frac{1}{3}AB$或 $BC=\frac{1}{3}AB$,所以 $OC=OA-\frac{1}{3}AB=15-\frac{1}{3}×30=15-10=5$ (cm),故答案为 5.

11 如图,已知$∠ AOB=60°$,从点$O$引出一条射线$OC$,使得$∠ AOC:∠ COB=1:2$,则$OC$与$∠ AOB$的平分线所成的角的度数为.

(第11题图)
(第12题图)

11.$10°或90°$ 【解析】如图,令 OD 为 $∠AOB$ 的平分线,所以 $∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=30°$. ①当OC 在 $∠AOB$ 的内部时,如图 (1). 因为$∠AOB=60°,∠AOC:∠COB=1:2$,所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=20°$,所以 OC 与 $∠AOB$ 的平分线所成的角的度数为 $∠AOD-∠AOC=30°-20°=10°$. ②当 OC 在 $∠AOB$ 的外部时,如图 (2). 因为 $∠AOB=60°,∠AOC:∠COB=1:2$,所以 $∠AOC=∠AOB=60°$,所以 OC 与$∠AOB$ 的平分线所成的角的度数为 $∠AOD+∠AOC=30°+60°=90°$. 综上所述, OC 与$∠AOB$ 的平分线所成的角的度数为 $10°$或$90°$. 故答案为 $10°或90°$.


关键点：分OC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论即可.

12[2025浙江湖州期末]如图,点C,D在线段BE上,平面内有一点A,连结AB,AC,AD,AE.下列说法:①直线CD上以B,C,D,E为端点的线段共有6条;②若$∠ BAE=108°$,且AC,AD把$∠ BAE$三等分,则图中只能确定4对互补的角;③若$∠ BAE=x°$,$∠ DAC=y°$(其中$0＜x＜180,x＞y$),则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为$(2x+y)°$;④若线段BE上再增加n个点$P_1,P_2,\dots,P_n$,并连结$AP_1,AP_2,\dots,AP_n$,当$n=10$时,图中一共有91条线段.其中说法正确的是.(填序号)

12.①② 【解析】①直线 CD 上以 B,C,D,E 为端点的线段有 BC,BD,BE,CD,CE,DE,共 6条,故①正确;②因为 $∠BAE=108°$,且 AC,AD 把 $∠BAE$ 三等分,所以 $∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°$,所以 $∠BAD=∠CAE=72°$,所以$∠BCA+∠ACD=180°,∠ADE+∠ADC=180°,∠BAE+∠BAD=180°,∠BAE+∠CAE=180°$,共 4 对,故②正确;③因为 $∠BAE=x°$,$∠DAC=y°$,所以设 $∠BAC=m°,∠DAE=n°$,则 $(m+n)°=(x-y)°$,则以 A 为顶点的所有小于平角的角为 $∠EAB=x°,∠EAD=n°$,$∠EAC=(y+n)°,∠BAD=(m+y)°,∠BAC=m°,∠CAD=y°$,则它们的和为 $x°+n°+(y+n)°+(m+y)°+m°+y°=[x+3y+2(m+n)]°=[x+3y+2(x-y)]°=(3x+y)°$,故③不正确;④由题意得,当 $n=10$ 时,与点 A 连结的线段有 14 条,线段 BE 上共有 14 个点,则一共有线段 $1+2+3+4+\dots+13+14=105$ (条),故④不正确. 故答案为 ①②.
关键点：3)设旋转时间为t秒,用含t的式子表示出∠BPN和∠CPD的度数,即可分别列式计算,进而判断结论.

三、解答题(共52分)
13 计算:(1)$85°16'-18°47'-(35°22'-26°52')$.
(2)$53°40'30''×2-72°57'28''÷2$.

13.【解】(1)$85°16'-18°47'-(35°22'-26°52')$
$=85°16'-18°47'-8°30'$
$=66°29'-8°30'$
$=57°59'$.
(2)$53°40'30''×2-72°57'28''÷2$
$=107°21'-36°28'44''$
$=70°52'16''$.

14[2026浙江台州调研]如图,已知线段AB.
(1)尺规作图(不写画法,但要保留画图痕迹):
①延长线段AB到C,使B点为线段AC的中点;
②延长线段BA到D,使AD是CD的三分之一.
(2)如果AB=3,求线段BD和CD的长.

14.【解】(1)①如图,线段 BC 即为所求作.
②如图,线段 AD 即为所求作.

(2)由作图可得 $AD=AB=BC$. 因为 $AB=3$,所以 $AD=AB=BC=3$,所以 $BD=3+3=6$, $CD=3+3+3=9$.

15[2026浙江绍兴期末]如图,两个形状、大小完全相同的含$30°$角的直角三角板如图(1)放置,$∠ DPB = ∠ PCA = 30°$,PA,PB与直线MN重合,且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
(1)图(1)中,$∠ DPC =$ .
(2)如图(2),三角板PAC绕点P逆时针旋转一定度数后,作PF平分$∠ APD$,PE平分$∠ CPD$,求$∠ EPF$的度数.
(3)如图(3),若三角板PAC绕点P逆时针旋转,转速为每秒$3°$,同时三角板PBD绕点P逆时针旋转,转速为每秒$2°$,当PC与PM重合时,两三角板都停止旋转.在旋转过程中,设$∠ CPD = x°$,$∠ BPN = y°$,以下两个结论:①$\frac{x}{y}$为定值;②$x+y$为定值,请选择你认为对的结论加以说明.

15.【解】(1)因为 $∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB$,$∠CPA=90°-∠PCA=60°$,$∠DPB=30°$,所以$∠DPC=180°-30°-60°=90°$. 故答案为 $90°$.
(2)因为 PE 平分 $∠CPD$,所以设 $∠CPE=∠DPE=α$, $∠CPF=β$,则 $∠DPF=2α+β$.
因为 PF 平分 $∠APD$,所以 $∠APF=∠DPF=2α+β$. 因为 $∠CPA=60°$,所以 $β+2α+β=60°$,所以 $α+β=30°$,所以 $∠EPF=α+β=30°$.
(3)①正确,说明如下:
设旋转时间为 t 秒,则 $∠BPM=(2t)°$,$∠APN=(3t)°$,所以 $∠BPN=y°=(180-2t)°$, 所以 $∠CPD=x°=360°-∠DPB-∠BPN-∠CPA-∠APN=(90-t)°$.
①$\frac{x}{y}=\frac{90-t}{180-2t}=\frac{1}{2}$,为定值;
②$x+y=90-t+180-2t=270-3t$,不为定值. 即①正确.