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1. [2025 天津] $\tan 45° - \sqrt{2}\cos 45°$的值等于 （
A.0
B.1
C.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
A
）A.0
B.1
C.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
答案
1.A
2.如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以点B为圆心,BO长为半径画弧,若两弧交于点C,画射线OC,则$\sin∠AOC$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
2.C
3. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A:∠ B=1:2$，则
$\tan A+\sin B=$
$\tan A+\sin B=$
$\frac{5\sqrt{3}}{6}$
.答案
3.$\frac{5\sqrt{3}}{6}$
4. 计算:(1)$\cos 60° + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 45° + \sqrt{3}\tan 30°$；
(2)$\tan 45° - \sin 30° · \tan 60° + \cos^2 45°$。
(2)$\tan 45° - \sin 30° · \tan 60° + \cos^2 45°$。
答案
4.【解】(1)原式$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2.$
(2)原式$=1-\frac{1}{2}×\sqrt{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$
(2)原式$=1-\frac{1}{2}×\sqrt{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$
5.若锐角A满足$2\sin(A - 15°) = \sqrt{2}$，则$∠ A$的度数是
$60°$
.答案
5.$60°$
6. 已知α为锐角，若$\sqrt{3}\tan^2α -4\tanα +\sqrt{3}=0$，则α的度数为
$60°$或$30°$
。答案
6.$60°$或$30°$ 【点拨】原式可化为$(\tan α -\sqrt{3})·(\sqrt{3}\tan α -1)=0$,则$\tan α =\sqrt{3}$或$\tan α =\frac{\sqrt{3}}{3}.\because α$为锐角,$\therefore α =60°$或$30°$.故答案为$60°$或$30°$.
7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$(\sin A - \frac{1}{2})^2 + \left|\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B\right| = 0$，则$△ ABC$的形状是（
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
B
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
答案
7.B
8. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，下列式子不一定成立的是（
A.$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos B}$
B.$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
C.$\sin^2 A+\sin^2 B=1$
D.$\tan A · \tan B=1$
A
）A.$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos B}$
B.$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
C.$\sin^2 A+\sin^2 B=1$
D.$\tan A · \tan B=1$
答案
8.A
9.已知α,β都是锐角,如果$\sinα=\cosβ$,那么α与β之间满足的关系是（
A.$α=β$
B.$α+β=90°$
C.$α-β=90°$
D.$β-α=90°$
B
）A.$α=β$
B.$α+β=90°$
C.$α-β=90°$
D.$β-α=90°$
答案
9.B 【点拨】若$α,β$互余,则$\sin α =\cos β,\cos α =\sin β.$
10. 若$α,β$是直角三角形的两个锐角，则$\frac{\sin α}{\cos β} - \tan \frac{α+β}{2}$的值为（
A.$0$
B.$1$
C.$1-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
A
）A.$0$
B.$1$
C.$1-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
答案
10.A 【点拨】由题意可得,$α+β=90°,\therefore \sin α =\cos β,\therefore$原式$=\frac{\cos β}{\cos β}-\tan 45°=1-1=0.$故选A.
11. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，那么$\cos \dfrac{A}{2}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
11.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 【点拨】由勾股定理可知$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=1$,则$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2},\therefore ∠ A=60°.\therefore \cos \frac{A}{2}=\cos \frac{60°}{2}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$熟记特殊角的余弦值,注意余弦值的一半并不等于半角的余弦值.
12. 新考法 类比计算法 定义一种运算：
$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ,$
$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ.$
例如：当$α=45°,β=30°$时，$\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$则$\sin15°$的值为
$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ,$
$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ.$
例如：当$α=45°,β=30°$时，$\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$则$\sin15°$的值为
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
。答案
12.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 【点拨】$\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$
