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13. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},0),(\frac{\sqrt{3}}{2},1)$,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC,则线段BC所在直线的函数表达式为
$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}$
。答案
13.$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}$ 【点拨】过点B作$BH⊥ x$轴于点H.$\because$点A,B的坐标分别为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},0),(\frac{\sqrt{3}}{2},1),\therefore BH=1$,$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$在$Rt△ ABH$中,根据勾股定理,得$AB=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$,$\therefore \sin ∠ BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}.\therefore ∠ BAH=30°.$在等边三角形ABC中,$AC=AB=2,∠ CAB=60°$,$\therefore ∠ CAH=90°.$
∴点C的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},2).$设线段BC所在直线的函数表达式为$y=kx+b$,代入点B和点C的坐标,得$\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=1,\\-\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴线段BC所在直线的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}.$
∴点C的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},2).$设线段BC所在直线的函数表达式为$y=kx+b$,代入点B和点C的坐标,得$\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=1,\\-\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴线段BC所在直线的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}.$
14. 根据图①和图②完成下列各题.
(1) $\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1 = $
(2) 观察上述等式,猜想:在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°$,总有 $\sin^2 A + \cos^2 A = $
(3) 如图②,在 $Rt△ ABC$ 中证明(2)题的猜想;
(4) 已知$∠ A$ 为锐角,且 $\sin A = \frac{12}{13}$,求 $\cos A$.
(1) $\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1 = $
$1$
, $\sin^2 A_2 + \cos^2 A_2 = $ $1$
, $\sin^2 A_3 + \cos^2 A_3 = $ $1$
;(2) 观察上述等式,猜想:在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°$,总有 $\sin^2 A + \cos^2 A = $
$1$
;(3) 如图②,在 $Rt△ ABC$ 中证明(2)题的猜想;
(4) 已知$∠ A$ 为锐角,且 $\sin A = \frac{12}{13}$,求 $\cos A$.
答案
14.(1)$1;1;1$ (2)$1$
(3)【证明】$\because \sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c}$,且$a^2+b^2=c^2$,
$\therefore \sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$,即$\sin^2 A+\cos^2 A=1.$
(4)【解】$\because ∠ A$为锐角,$\therefore \cos A＞0.$
$\because \sin^2 A+\cos^2 A=1,\therefore (\frac{12}{13})^2+\cos^2 A=1,$
解得$\cos A=\frac{5}{13}$或$\cos A=-\frac{5}{13}$(舍去).$\therefore \cos A=\frac{5}{13}.$
(3)【证明】$\because \sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c}$,且$a^2+b^2=c^2$,
$\therefore \sin^2 A+\cos^2 A=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$,即$\sin^2 A+\cos^2 A=1.$
(4)【解】$\because ∠ A$为锐角,$\therefore \cos A＞0.$
$\because \sin^2 A+\cos^2 A=1,\therefore (\frac{12}{13})^2+\cos^2 A=1,$
解得$\cos A=\frac{5}{13}$或$\cos A=-\frac{5}{13}$(舍去).$\therefore \cos A=\frac{5}{13}.$
15. 初高衔接 规定：$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，$\sin(x+y)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$.
(1)据此判断下列等式成立的是________（填序号）.
①$\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$；
②$\sin 2x=2\sin x·\cos x$；
③$\sin(x-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$.
(2)利用上面的规定求①$\sin 75°$；②$\sin 15°$.
(1)据此判断下列等式成立的是________（填序号）.
①$\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$；
②$\sin 2x=2\sin x·\cos x$；
③$\sin(x-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$.
(2)利用上面的规定求①$\sin 75°$；②$\sin 15°$.
答案
15.【解】(1)②③ 【点拨】①$\cos(-60°)=\cos 60°=\frac{1}{2}$,等式不成立；
②$\sin 2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$,等式成立；
③$\sin(x-y)=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$,等式成立.
故答案为②③.
(2)①$\sin 75°=\sin(30°+45°)=\sin 30°·\cos 45°+\cos 30°·\sin 45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$
②$\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°·\cos 30°-\cos 45°·\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$
②$\sin 2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$,等式成立；
③$\sin(x-y)=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$,等式成立.
故答案为②③.
(2)①$\sin 75°=\sin(30°+45°)=\sin 30°·\cos 45°+\cos 30°·\sin 45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$
②$\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°·\cos 30°-\cos 45°·\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$
