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1 新考向传统文化 [2025 甘肃武威中考]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”. 风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录. 为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝. 风筝的形状如图所示，其中对角线 $ AC ⊥ BD $. 已知大、小风筝的对应边之比为 $ 3:1 $，如果小风筝两条对角线的长分别为 $ 30 \ \mathrm{cm} $ 和 $ 35 \ \mathrm{cm} $，那么大风筝两条对角线长的和为
195
cm. 答案
1. 195 【解析】
∵ 小风筝两条对角线的长分别为 30 cm 和 35 cm,
∴ 小风筝两条对角线长的和为 30+35=65(cm).
∵ 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,大、小风筝的对应边之比为 3:1,
∴ 大风筝和小风筝相似,相似比为 3:1,
∴ 大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和=3:1,
∴ 大风筝两条对角线长的和为 3×65 = 195(cm),故答案为 195.
∵ 小风筝两条对角线的长分别为 30 cm 和 35 cm,
∴ 小风筝两条对角线长的和为 30+35=65(cm).
∵ 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,大、小风筝的对应边之比为 3:1,
∴ 大风筝和小风筝相似,相似比为 3:1,
∴ 大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和=3:1,
∴ 大风筝两条对角线长的和为 3×65 = 195(cm),故答案为 195.
解析
【分析】
解题时首先抓取题目关键信息：①两个风筝形状相同，说明二者是相似多边形；②大、小风筝对应边之比为3:1，即大风筝与小风筝的相似比为3:1；③已知小风筝两条对角线的长度。接下来回忆相似多边形的性质：相似多边形的所有对应线段的比等于相似比，对应线段的和的比也等于相似比。因此我们可以先计算小风筝两条对角线的长度和，再结合相似比即可求出大风筝两条对角线的长度和。
【解析】
第一步：计算小风筝两条对角线的长度和：
$30 + 35 = 65\ \mathrm{cm}$
第二步：判定相似关系，明确相似比
∵ 两个风筝形状相同，且对应边之比为3:1，
∴ 大风筝与小风筝是相似多边形，相似比（大:小）为$3:1$。
第三步：利用相似性质计算大风筝对角线和
根据相似多边形的性质，相似多边形对应线段的和的比等于相似比，即大风筝对角线长的和:小风筝对角线长的和$=3:1$，
因此大风筝两条对角线长的和为$65 × 3 = 195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似多边形判定、相似多边形性质、比例计算
【点评】
本题以传统风筝制作的生活场景为背景，结合传统文化考查相似多边形的相关知识，将数学知识与实际应用结合，解题的核心是掌握相似多边形对应线段的比等于相似比的性质。
【难度系数】
0.85
解题时首先抓取题目关键信息：①两个风筝形状相同，说明二者是相似多边形；②大、小风筝对应边之比为3:1，即大风筝与小风筝的相似比为3:1；③已知小风筝两条对角线的长度。接下来回忆相似多边形的性质：相似多边形的所有对应线段的比等于相似比，对应线段的和的比也等于相似比。因此我们可以先计算小风筝两条对角线的长度和，再结合相似比即可求出大风筝两条对角线的长度和。
【解析】
第一步：计算小风筝两条对角线的长度和：
$30 + 35 = 65\ \mathrm{cm}$
第二步：判定相似关系，明确相似比
∵ 两个风筝形状相同，且对应边之比为3:1，
∴ 大风筝与小风筝是相似多边形，相似比（大:小）为$3:1$。
第三步：利用相似性质计算大风筝对角线和
根据相似多边形的性质，相似多边形对应线段的和的比等于相似比，即大风筝对角线长的和:小风筝对角线长的和$=3:1$，
因此大风筝两条对角线长的和为$65 × 3 = 195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似多边形判定、相似多边形性质、比例计算
【点评】
本题以传统风筝制作的生活场景为背景，结合传统文化考查相似多边形的相关知识，将数学知识与实际应用结合，解题的核心是掌握相似多边形对应线段的比等于相似比的性质。
【难度系数】
0.85
2[2025黑龙江哈尔滨中考]如图，$AB// CD// EF$，若$BC=5$，$CE=8$，则$\frac{AD}{DF}=$（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{8}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
（第2题图）
（第3题图）
D
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{8}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
（第2题图）
（第3题图）
答案
2. D 【解析】
∵ AB//CD//EF,
∴ $\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$.
∵ BC = 5,CE=8,
∴ $\frac{BC}{CE}=\frac{5}{8}$,
∴ $\frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$. 故选 D.
∵ AB//CD//EF,
∴ $\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$.
∵ BC = 5,CE=8,
∴ $\frac{BC}{CE}=\frac{5}{8}$,
∴ $\frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$. 故选 D.
解析
【分析】
首先观察题目已知条件：$AB// CD// EF$，我们可以联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中AD、DF和BC、CE是对应的成比例线段，因此只要将已知的BC、CE的长度代入比例式，就能求出$\frac{AD}{DF}$的比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
已知$BC=5$，$CE=8$，将数值代入得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题时只要准确匹配对应线段，即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.85
首先观察题目已知条件：$AB// CD// EF$，我们可以联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中AD、DF和BC、CE是对应的成比例线段，因此只要将已知的BC、CE的长度代入比例式，就能求出$\frac{AD}{DF}$的比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
已知$BC=5$，$CE=8$，将数值代入得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题时只要准确匹配对应线段，即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.85
3[2025河南中考]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点均在网格线的交点上，点$D,E$分别是边$BA,CA$与网格线的交点，连接$DE$，则$DE$的长为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
3. B 【解析】
∵ 题图中四周网格线构成的四边形是矩形,AC 是其对角线,DE 所在的直线是其对称轴,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∵ $DE// BC$,
∴ 易得 $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$,即 $\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$,
∴ $DE=1$. 故选 B.
∵ 题图中四周网格线构成的四边形是矩形,AC 是其对角线,DE 所在的直线是其对称轴,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∵ $DE// BC$,
∴ 易得 $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$,即 $\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$,
∴ $DE=1$. 故选 B.
解析
【分析】
求解本题首先观察网格中线段的位置关系，可发现DE与BC互相平行，由此可联想到利用相似三角形的知识解题：先证明△ADE与△ABC相似，再通过网格特征确定相似比以及BC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质计算DE的长度即可。
【解析】
由网格的特征可得$DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B，∠ AED=∠ C$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
观察网格可知$BC=2$，且由网格对称性可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
代入数值得$\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$，解得$DE=1$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，网格识图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是快速识别出平行关系，结合网格得到对应线段的比例，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
求解本题首先观察网格中线段的位置关系，可发现DE与BC互相平行，由此可联想到利用相似三角形的知识解题：先证明△ADE与△ABC相似，再通过网格特征确定相似比以及BC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质计算DE的长度即可。
【解析】
由网格的特征可得$DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B，∠ AED=∠ C$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
观察网格可知$BC=2$，且由网格对称性可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
代入数值得$\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$，解得$DE=1$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，网格识图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是快速识别出平行关系，结合网格得到对应线段的比例，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
4[2025黑龙江绥化中考]两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 (
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
B
)A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
答案
4. B 【解析】设较小三角形的周长为 x cm,则较大三角形的周长为 (48-x) cm.
∵ 两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm,
∴ $x:(48-x) = 6:10$,解得 $x=18$,即较小三角形的周长为 18 cm. 故选 B.
∵ 两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm,
∴ $x:(48-x) = 6:10$,解得 $x=18$,即较小三角形的周长为 18 cm. 故选 B.
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：两个相似三角形的对应最长边分别为10cm和6cm，周长之和为48cm，要求较小三角形的周长。解题时先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比值，本题中两个三角形的最长边为对应边，可直接得到周长比为6:10。接下来设较小三角形的周长为未知数，用周长之和表示出较大三角形的周长，根据周长比列比例方程求解即可。
【解析】
设较小三角形的周长为$x\ \mathrm{cm}$，则较大三角形的周长为$(48 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且两个三角形的最长边为对应边，相似比为$6:10$
∴ 可得比例式：$\frac{x}{48 - x} = \frac{6}{10}$
交叉相乘得：$10x = 6×(48 - x)$
展开计算：$10x = 288 - 6x$
移项合并同类项：$16x = 288$
解得：$x = 18$
即较小三角形的周长为18cm。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形周长性质，相似比，一元一次方程应用
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是找准相似三角形的相似比，结合周长的数量关系列比例式求解，掌握相似三角形周长与相似比的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：两个相似三角形的对应最长边分别为10cm和6cm，周长之和为48cm，要求较小三角形的周长。解题时先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比值，本题中两个三角形的最长边为对应边，可直接得到周长比为6:10。接下来设较小三角形的周长为未知数，用周长之和表示出较大三角形的周长，根据周长比列比例方程求解即可。
【解析】
设较小三角形的周长为$x\ \mathrm{cm}$，则较大三角形的周长为$(48 - x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且两个三角形的最长边为对应边，相似比为$6:10$
∴ 可得比例式：$\frac{x}{48 - x} = \frac{6}{10}$
交叉相乘得：$10x = 6×(48 - x)$
展开计算：$10x = 288 - 6x$
移项合并同类项：$16x = 288$
解得：$x = 18$
即较小三角形的周长为18cm。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形周长性质，相似比，一元一次方程应用
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是找准相似三角形的相似比，结合周长的数量关系列比例式求解，掌握相似三角形周长与相似比的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5[2025河北中考]如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 (
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
(第5题图)
(第6题图)
D
)A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
(第5题图)
(第6题图)
答案
5. D 【解析】
|选项|分析|
|----|----|
|A|
∵ ∠B + ∠4 = 180°,
∴ CD // BM,
∴ ∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴ ∠AEM= ∠CND,
∴ $△MAE∽△DCN$,故不符合题意|
|B|
∵ CD//AB,
∴ ∠CDN = ∠AME.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM = ∠CND,
∴ $△MAE∽△DCN$,故不符合题意|
|C|
∵ AE//BC,
∴ ∠1+∠B = 180°.
∵ ∠1 = ∠4,
∴ ∠B + ∠4 = 180°. 由 A 可知 $△MAE ∽△DCN$,故不符合题意|
|D|根据∠2 = ∠3, 再结合已知条件不能证明$△MAE∽△DCN$,故符合题意|
故选 D.
|选项|分析|
|----|----|
|A|
∵ ∠B + ∠4 = 180°,
∴ CD // BM,
∴ ∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴ ∠AEM= ∠CND,
∴ $△MAE∽△DCN$,故不符合题意|
|B|
∵ CD//AB,
∴ ∠CDN = ∠AME.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM = ∠CND,
∴ $△MAE∽△DCN$,故不符合题意|
|C|
∵ AE//BC,
∴ ∠1+∠B = 180°.
∵ ∠1 = ∠4,
∴ ∠B + ∠4 = 180°. 由 A 可知 $△MAE ∽△DCN$,故不符合题意|
|D|根据∠2 = ∠3, 再结合已知条件不能证明$△MAE∽△DCN$,故符合题意|
故选 D.
解析
【分析】
首先由已知AE//BC，根据平行线的同位角相等性质，可推出∠AEM=∠CND，即△MAE和△DCN已经有一组对应角相等。要判定两个三角形相似，只需再找到一组对应角相等即可。接下来逐个分析每个选项添加后能否推出另一组对应角相等，不能推出的即为所求选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得∠AEM=∠CND。
选项A：若∠B+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD//BM，因此∠CDN=∠AME。此时△MAE和△DCN有两组对应角分别相等，可判定相似，不符合题意。
选项B：若CD//AB，根据平行线的性质可得∠CDN=∠AME，结合已知的∠AEM=∠CND，两组对应角分别相等，可判定相似，不符合题意。
选项C：若∠1=∠4，由AE//BC可得∠1+∠B=180°，等量代换得∠B+∠4=180°，和选项A的条件一致，可推出CD//BM，进而得到∠CDN=∠AME，可判定相似，不符合题意。
选项D：若∠2=∠3，仅能得到与AE、CD位置相关的结论，无法推出△MAE和△DCN的另一组对应角相等，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何条件探究类基础题，需要结合已知条件和相似三角形的判定定理逐一验证选项，解题时要注意审题，明确要求选择的是“无法判定”的条件，主要考查学生的基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
首先由已知AE//BC，根据平行线的同位角相等性质，可推出∠AEM=∠CND，即△MAE和△DCN已经有一组对应角相等。要判定两个三角形相似，只需再找到一组对应角相等即可。接下来逐个分析每个选项添加后能否推出另一组对应角相等，不能推出的即为所求选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得∠AEM=∠CND。
选项A：若∠B+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD//BM，因此∠CDN=∠AME。此时△MAE和△DCN有两组对应角分别相等，可判定相似，不符合题意。
选项B：若CD//AB，根据平行线的性质可得∠CDN=∠AME，结合已知的∠AEM=∠CND，两组对应角分别相等，可判定相似，不符合题意。
选项C：若∠1=∠4，由AE//BC可得∠1+∠B=180°，等量代换得∠B+∠4=180°，和选项A的条件一致，可推出CD//BM，进而得到∠CDN=∠AME，可判定相似，不符合题意。
选项D：若∠2=∠3，仅能得到与AE、CD位置相关的结论，无法推出△MAE和△DCN的另一组对应角相等，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何条件探究类基础题，需要结合已知条件和相似三角形的判定定理逐一验证选项，解题时要注意审题，明确要求选择的是“无法判定”的条件，主要考查学生的基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
6[2025 山东威海中考]如图，$△ ABC$ 的中线 $BE,CD$ 交于点 $F$，连接 $DE$. 下列结论错误的是 $(\quad)$
A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
答案
6. B 【解析】因为△ABC 的中线 BE,CD 交于点 F,所以点 F 为△ABC 的重心,$DE// BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$,所以易得$△DEF∽△CBF$,所以 $\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}$,所以 $S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$,故 A 选项不符合题意. 因为 $DE// BC$,所以易得$△ADE∽△ABC$,所以 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}$,所以 $S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED}$,故 B 选项符合题意. 因为点 F 为△ABC 的重心,所以 $DF=\frac{1}{2}CF$,所以 $S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$,故 C 选项不符合题意. 因为 $DE// BC$,所以 $S_{△ DBE}=S_{△ DCE}$,所以 $S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$,故 D 选项不符合题意. 故选 B.
思路分析：根据重心的性质及相似三角形的判定与性质,依次判断各个选项即可.
思路分析：根据重心的性质及相似三角形的判定与性质,依次判断各个选项即可.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“△ABC的中线BE、CD交于点F”入手挖掘隐含信息：①D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，即DE//BC且$DE=\frac{1}{2}BC$；②F是△ABC的重心，重心分中线的比为1:2（即$DF:FC=1:2$，$EF:FB=1:2$）。接下来结合相似三角形的判定与性质、三角形面积的相关规律，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D是AB中点，E是AC中点，F为△ABC的重心，DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
对选项A：
∵$DE// BC$，
∴$∠EDF=∠BCF$，$∠DEF=∠CBF$，可得$△ DEF ∽ △ CBF$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。由相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$，A结论正确，不符合题意。
对选项B：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$。那么$S_{\mathrm{四边形}BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=\frac{3}{4}S_{△ ABC}$，因此$S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED}$，不是$\frac{1}{2}$，B结论错误，符合题意。
对选项C：
∵F是△ABC的重心，
∴$DF:FC=1:2$。$△ DBF$和$△ BCF$同高（过B作CD边上的高），同高三角形面积比等于底的比，因此$S_{△ DBF}:S_{△ BCF}=DF:FC=1:2$，即$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$，C结论正确，不符合题意。
对选项D：
∵CD、BE是△ABC的中线，中线分三角形为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$，D结论正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、重心、中位线以及相似三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系、同高/同底三角形的面积规律，对每个选项逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“△ABC的中线BE、CD交于点F”入手挖掘隐含信息：①D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，即DE//BC且$DE=\frac{1}{2}BC$；②F是△ABC的重心，重心分中线的比为1:2（即$DF:FC=1:2$，$EF:FB=1:2$）。接下来结合相似三角形的判定与性质、三角形面积的相关规律，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D是AB中点，E是AC中点，F为△ABC的重心，DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
对选项A：
∵$DE// BC$，
∴$∠EDF=∠BCF$，$∠DEF=∠CBF$，可得$△ DEF ∽ △ CBF$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。由相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$，A结论正确，不符合题意。
对选项B：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$。那么$S_{\mathrm{四边形}BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=\frac{3}{4}S_{△ ABC}$，因此$S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED}$，不是$\frac{1}{2}$，B结论错误，符合题意。
对选项C：
∵F是△ABC的重心，
∴$DF:FC=1:2$。$△ DBF$和$△ BCF$同高（过B作CD边上的高），同高三角形面积比等于底的比，因此$S_{△ DBF}:S_{△ BCF}=DF:FC=1:2$，即$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$，C结论正确，不符合题意。
对选项D：
∵CD、BE是△ABC的中线，中线分三角形为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，因此$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$，D结论正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、重心、中位线以及相似三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系、同高/同底三角形的面积规律，对每个选项逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.6
7[2025江西中考]如图，$△ ABC$是面积为1的等边三角形，分别取$AC$，$BC$，$AB$的中点得到$△ A_1B_1C_1$；再分别取$A_1C$，$B_1C$，$A_1B_1$的中点得到$△ A_2B_2C_2$；…，依此类推，则$△ A_nB_nC_n$的面积为（
A.$(\dfrac{1}{2})^{n+1}$
B.$(\dfrac{1}{3})^n$
C.$(\dfrac{1}{4})^n$
D.$(\dfrac{1}{4})^{n-1}$
（第7题图） （第8题图）
C
）A.$(\dfrac{1}{2})^{n+1}$
B.$(\dfrac{1}{3})^n$
C.$(\dfrac{1}{4})^n$
D.$(\dfrac{1}{4})^{n-1}$
（第7题图） （第8题图）
答案
7. C 【解析】由题知,点$A_1,B_1,C_1$分别是$AC$,$BC$,$AB$的中点,所以$A_1B_1// AB$,$B_1C_1// AC$,$A_1C_1// BC$,$A_1B_1=\frac{1}{2}AB$,$B_1C_1=\frac{1}{2}AC$,$A_1C_1=\frac{1}{2}BC$,所以易得$△A_1B_1C_1∽△BAC$,则 $\frac{S_{△ A_1B_1C_1}}{S_{△ ABC}}=(\frac{A_1B_1}{AB})^2=\frac{1}{4}$. 又因为△ABC 的面积为 1,所以$△A_1B_1C_1$ 的面积为 $\frac{1}{4}$. 同理可得,$△A_2B_2C_2$ 的面积为 $(\frac{1}{4})^2$,$△A_3B_3C_3$ 的面积为 $(\frac{1}{4})^3$ ,…,所以$△A_nB_nC_n$ 的面积为 $(\frac{1}{4})^n$. 故选 C.
关键点拨：根据题意,依次求出$△A_1B_1C_1$,$△A_2B_2C_2$,$△A_3B_3C_3$ 的面积,发现规律即可解决问题.
关键点拨：根据题意,依次求出$△A_1B_1C_1$,$△A_2B_2C_2$,$△A_3B_3C_3$ 的面积,发现规律即可解决问题.
解析
【分析】
解题时先结合三角形中位线的性质，判断每次得到的新三角形与上一级三角形的相似关系，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，依次求出前几个小三角形的面积，最后归纳得到第n个三角形面积的规律即可。首先利用中位线性质得到新三角形和原三角形的相似比为$\frac{1}{2}$，再由相似三角形面积比是相似比的平方，得到新三角形面积是上一级三角形面积的$\frac{1}{4}$，最后通过前几次的面积结果推导通用规律。
【解析】
已知△ABC是面积为1的等边三角形：
1. 点$A_1,B_1,C_1$分别是$AC,BC,AB$的中点，根据三角形中位线性质，$A_1B_1=\frac{1}{2}AB$，$B_1C_1=\frac{1}{2}AC$，$A_1C_1=\frac{1}{2}BC$，可得$△A_1B_1C_1∽△BAC$，相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ A_1B_1C_1}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此$S_{△A_1B_1C_1}=1×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^1$。
2. 同理，取$A_1C,B_1C,A_1B_1$的中点得到$△A_2B_2C_2$，$△A_2B_2C_2$与$△A_1B_1C_1$的相似比也为$\frac{1}{2}$，因此$S_{△A_2B_2C_2}=\frac{1}{4}S_{△A_1B_1C_1}=(\frac{1}{4})^2$。
3. 依此类推，可得第n个三角形$△A_nB_nC_n$的面积为$(\frac{1}{4})^n$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质；图形规律探究
【点评】
本题结合几何性质考查规律探究，解题核心是掌握相似三角形面积比与相似比的关系，通过计算前几项的结果归纳得到通用规律，是几何规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先结合三角形中位线的性质，判断每次得到的新三角形与上一级三角形的相似关系，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，依次求出前几个小三角形的面积，最后归纳得到第n个三角形面积的规律即可。首先利用中位线性质得到新三角形和原三角形的相似比为$\frac{1}{2}$，再由相似三角形面积比是相似比的平方，得到新三角形面积是上一级三角形面积的$\frac{1}{4}$，最后通过前几次的面积结果推导通用规律。
【解析】
已知△ABC是面积为1的等边三角形：
1. 点$A_1,B_1,C_1$分别是$AC,BC,AB$的中点，根据三角形中位线性质，$A_1B_1=\frac{1}{2}AB$，$B_1C_1=\frac{1}{2}AC$，$A_1C_1=\frac{1}{2}BC$，可得$△A_1B_1C_1∽△BAC$，相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ A_1B_1C_1}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此$S_{△A_1B_1C_1}=1×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^1$。
2. 同理，取$A_1C,B_1C,A_1B_1$的中点得到$△A_2B_2C_2$，$△A_2B_2C_2$与$△A_1B_1C_1$的相似比也为$\frac{1}{2}$，因此$S_{△A_2B_2C_2}=\frac{1}{4}S_{△A_1B_1C_1}=(\frac{1}{4})^2$。
3. 依此类推，可得第n个三角形$△A_nB_nC_n$的面积为$(\frac{1}{4})^n$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质；图形规律探究
【点评】
本题结合几何性质考查规律探究，解题核心是掌握相似三角形面积比与相似比的关系，通过计算前几项的结果归纳得到通用规律，是几何规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
8[2025山西中考]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连接DF.若DF=DC,则线段CF的长为
$\frac{18}{5}$
.答案
8. $\frac{18}{5}$ 【解析】如图,延长 CE 交 DA 的延长线于 N,过点 D 作 $DM ⊥ BF$ 于 M,则$∠ DMB=90°$.
$\because AB=8,AE=3,\therefore BE=8-3=5$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ N= ∠ ECB$,$∠ B=∠ EAN=90°$,$\therefore △ AEN∽△ BEC$,$\therefore \frac{AN}{BC}=\frac{AE}{BE}$,$\therefore \frac{AN}{4}=\frac{3}{5}$,$\therefore AN=\frac{12}{5}$.
$\because ∠ DCN=∠ BCE$,$\therefore ∠ N=∠ DCN$,$\therefore DN = DC$.
$\because ∠ DMB = ∠ B = ∠ BAD = 90°$, $\therefore$ 四边形 ABMD 为矩形,$\therefore DM=AB=8$,$AD=BM$,$\therefore CM=AD-BC=AD-4$.
在$\mathrm{Rt}△ CDM$ 中,$DC^2=CM^2+DM^2$,$\therefore (AD+\frac{12}{5})^2=(AD-4)^2+8^2$,$\therefore AD=BM=\frac{29}{5}$,$\therefore CM=\frac{29}{5} -4=\frac{9}{5}$.
$\because DC=DF$,$DM⊥ BF$,$\therefore CF=2CM=\frac{18}{5}$,故答案为$\frac{18}{5}$.
解析
【分析】
本题要求CF的长，已知DF=DC，可利用等腰三角形三线合一的性质，过D作DM⊥BF于M，可得CF=2CM，因此只需计算CM的长度即可。结合已知条件AD//BC、∠DCE=∠BCE，可延长CE交DA的延长线于N，利用平行线性质得到∠N=∠BCE，进而推出∠N=∠DCE，得到DN=DC，将DC的长度转化为含AD的表达式；再证明△AEN∽△BEC求出AN的长度，结合矩形ABMD的性质得到DM=AB、CM=AD-BC，最后在Rt△DCM中利用勾股定理列方程求出AD，即可得到CM的长度，进而求出CF。
【解析】
如图，延长 CE 交 DA 的延长线于 N，过点 D 作 $DM ⊥ BF$ 于 M，则$∠ DMB=90°$.
$\because AB=8,AE=3,\therefore BE=8-3=5$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ N= ∠ ECB$,$∠ B=∠ EAN=90°$,
$\therefore △ AEN∽△ BEC$,$\therefore \frac{AN}{BC}=\frac{AE}{BE}$,
代入得$\frac{AN}{4}=\frac{3}{5}$，解得$AN=\frac{12}{5}$.
$\because ∠ DCN=∠ BCE$,$\therefore ∠ N=∠ DCN$,$\therefore DN = DC$.
$\because ∠ DMB = ∠ B = ∠ BAD = 90°$, $\therefore$ 四边形 ABMD 为矩形,
$\therefore DM=AB=8$,$AD=BM$,$\therefore CM=BM-BC=AD-4$.
在$\mathrm{Rt}△ CDM$ 中，由勾股定理得$DC^2=CM^2+DM^2$,
又$\because DN=AD+AN=AD+\frac{12}{5}=DC$，代入得：
$(AD+\frac{12}{5})^2=(AD-4)^2+8^2$,
解得$AD=\frac{29}{5}$,
$\therefore CM=\frac{29}{5} -4=\frac{9}{5}$.
$\because DC=DF$,$DM⊥ BF$，由等腰三角形三线合一得$CF=2CM=\frac{18}{5}$.
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线、相似三角形、等腰三角形、矩形、勾股定理相关知识，需要合理构造辅助线建立已知量和未知量的联系，通过列方程求解，侧重考查几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题要求CF的长，已知DF=DC，可利用等腰三角形三线合一的性质，过D作DM⊥BF于M，可得CF=2CM，因此只需计算CM的长度即可。结合已知条件AD//BC、∠DCE=∠BCE，可延长CE交DA的延长线于N，利用平行线性质得到∠N=∠BCE，进而推出∠N=∠DCE，得到DN=DC，将DC的长度转化为含AD的表达式；再证明△AEN∽△BEC求出AN的长度，结合矩形ABMD的性质得到DM=AB、CM=AD-BC，最后在Rt△DCM中利用勾股定理列方程求出AD，即可得到CM的长度，进而求出CF。
【解析】
如图，延长 CE 交 DA 的延长线于 N，过点 D 作 $DM ⊥ BF$ 于 M，则$∠ DMB=90°$.
$\because AB=8,AE=3,\therefore BE=8-3=5$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ N= ∠ ECB$,$∠ B=∠ EAN=90°$,
$\therefore △ AEN∽△ BEC$,$\therefore \frac{AN}{BC}=\frac{AE}{BE}$,
代入得$\frac{AN}{4}=\frac{3}{5}$，解得$AN=\frac{12}{5}$.
$\because ∠ DCN=∠ BCE$,$\therefore ∠ N=∠ DCN$,$\therefore DN = DC$.
$\because ∠ DMB = ∠ B = ∠ BAD = 90°$, $\therefore$ 四边形 ABMD 为矩形,
$\therefore DM=AB=8$,$AD=BM$,$\therefore CM=BM-BC=AD-4$.
在$\mathrm{Rt}△ CDM$ 中，由勾股定理得$DC^2=CM^2+DM^2$,
又$\because DN=AD+AN=AD+\frac{12}{5}=DC$，代入得：
$(AD+\frac{12}{5})^2=(AD-4)^2+8^2$,
解得$AD=\frac{29}{5}$,
$\therefore CM=\frac{29}{5} -4=\frac{9}{5}$.
$\because DC=DF$,$DM⊥ BF$，由等腰三角形三线合一得$CF=2CM=\frac{18}{5}$.
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线、相似三角形、等腰三角形、矩形、勾股定理相关知识，需要合理构造辅助线建立已知量和未知量的联系，通过列方程求解，侧重考查几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
