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1 [2026 山东烟台期中,较难]【教材呈现】我们可以发现,两条直线被一组平行线所截得的线段存在一定的比例关系:如图(1),直线 m,n 被一组平行线所截,则$\frac{AD}{DB}=\frac{FE}{EC}$. 这就是如下的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(简称“平行线分线段成比例”).
【问题原型】如图(2),在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AB 的中点,过 E 作 EF//AD 交边 DC 于点 F,点 P,Q 分别在矩形的边 AD,BC 上,连接 PQ 交 EF 于点 M. 求证:PM=QM.
【结论应用】如图(3),在【问题原型】的条件下,点 R 在边 BC 上(不与点 Q 重合),连接 PR 交 EF 于点 N.
(1)若 MN=4,则线段 QR 的长为
(2)当点 Q 与点 B 重合,点 R 与点 C 重合时,如图(4),若 BC=10,且△PMN 周长的最小值为12,则边 AB 的长为
【问题原型】如图(2),在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AB 的中点,过 E 作 EF//AD 交边 DC 于点 F,点 P,Q 分别在矩形的边 AD,BC 上,连接 PQ 交 EF 于点 M. 求证:PM=QM.
【结论应用】如图(3),在【问题原型】的条件下,点 R 在边 BC 上(不与点 Q 重合),连接 PR 交 EF 于点 N.
(1)若 MN=4,则线段 QR 的长为
8
;(2)当点 Q 与点 B 重合,点 R 与点 C 重合时,如图(4),若 BC=10,且△PMN 周长的最小值为12,则边 AB 的长为
2√6
.答案
【问题原型】证明：
∵ 点 E 为边 AB 的中点,
∴ AE=BE.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AD//BC. 又
∵ EF//AD,
∴ AD//EF//BC,
∴ $\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$,
∴ PM=QM.
【结论应用】(1)由【问题原型】可得 AD//EF//BC,
∴ $\frac{PM}{QM}=\frac{PN}{NR}=1$,
∴ $\frac{PM}{PQ}=\frac{PN}{PR}=\frac{1}{2}$.
∵ ∠MPN=∠QPR,
∴ △PMN ∽ △PQR,
∴ $\frac{MN}{QR}=\frac{PM}{PQ}=\frac{1}{2}$,
∴ QR=2MN=8.
(2)作点 C 关于 AD 的对称点 G,连接 PG,BG,
∴ PB+PC=PB+PG≥BG,
∴ 当 P 在 BG 上时,PB+PC 取得最小值,最小值为 BG 的长.
由(1)易得 $MN=\frac{1}{2}QR=\frac{1}{2}BC=5$. 当△PMN 的周长为 12 时,PM+PN=12-5=7.
∵ $\frac{PM}{QM}=\frac{PN}{NR}=1$,
∴ PB+PC=2(PM+PN)=14,即 BG=14. 在△BCG 中,∠BCG=90°,
∴ 由勾股定理得 $CG=\sqrt{BG^2-BC^2}=\sqrt{14^2-10^2}=4\sqrt{6}$.
∵ 点 G 与点 C 关于 AD 对称,
∴ $CD=\frac{1}{2}CG=2\sqrt{6}$,
∴ $AB=2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
解题时先从问题原型入手：要证PM=QM，已知EF平行于矩形的上下边AD、BC，且E是AB中点，可直接用平行线分线段成比例的基本事实，得到PM与QM的比值等于AE与BE的比值，由AE=BE即可证得PM=QM。
结论应用(1)：由问题原型的结论可推出M是PQ中点、N是PR中点，进而可证△PMN与△PQR相似，相似比为1:2，即可推出QR=2MN，代入数值计算即可。
结论应用(2)：先由(1)的中位线结论算出MN的长度，结合△PMN的最小周长可推出PM+PN的最小值，再转化为PB+PC的最小值，利用轴对称找最短路径的方法确定PB+PC的最小值为BG的长，最后用勾股定理计算即可得到AB的长度。
【解析】
【问题原型】证明：
∵ 点E为边AB的中点，
∴ AE=BE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
又
∵ EF//AD，
∴ AD//EF//BC，
根据平行线分线段成比例可得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴ PM=QM。
【结论应用】
(1) 由问题原型的结论可得AD//EF//BC，
∴ $\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，$\frac{PN}{NR}=\frac{AE}{BE}=1$，
即M是PQ中点，N是PR中点，
∴ $\frac{PM}{PQ}=\frac{PN}{PR}=\frac{1}{2}$，
又
∵ ∠MPN=∠QPR，
∴ △PMN∽△PQR，
∴ $\frac{MN}{QR}=\frac{PM}{PQ}=\frac{1}{2}$，
∴ QR=2MN=2×4=8。
(2) 作点C关于AD的对称点G，连接PG、BG，
由对称的性质可得PC=PG，CD=DG，
∴ PB+PC=PB+PG≥BG，当且仅当B、P、G三点共线时，PB+PC取得最小值，最小值为BG的长。
此时Q与B重合，R与C重合，QR=BC=10，由(1)的结论可得$MN=\frac{1}{2}QR=\frac{1}{2}×10=5$，
∵ △PMN周长的最小值为12，
∴ PM+PN=12-MN=12-5=7，
∵ M是PB中点，N是PC中点，
∴ PB=2PM，PC=2PN，
∴ PB+PC=2(PM+PN)=2×7=14，即BG=14，
在Rt△BCG中，∠BCG=90°，BC=10，BG=14，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BG^2-BC^2}=\sqrt{14^2-10^2}=4\sqrt{6}$，
∵ G是C关于AD的对称点，
∴ $CD=\frac{1}{2}CG=2\sqrt{6}$，
∵ 矩形ABCD中AB=CD，
∴ $AB=2\sqrt{6}$。
【答案】
【问题原型】证明见解析；
(1) $\boldsymbol{8}$；
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 相似三角形的判定与性质
3. 轴对称最短路径问题
【点评】
本题以教材基本事实为背景逐步拓展，综合考查了相似三角形、最短路径、勾股定理等核心知识，需要学生具备较强的知识迁移能力和逻辑推理能力，能帮助学生加深对几何综合问题解题思路的理解。
【难度系数】
0.3
解题时先从问题原型入手：要证PM=QM，已知EF平行于矩形的上下边AD、BC，且E是AB中点，可直接用平行线分线段成比例的基本事实，得到PM与QM的比值等于AE与BE的比值，由AE=BE即可证得PM=QM。
结论应用(1)：由问题原型的结论可推出M是PQ中点、N是PR中点，进而可证△PMN与△PQR相似，相似比为1:2，即可推出QR=2MN，代入数值计算即可。
结论应用(2)：先由(1)的中位线结论算出MN的长度，结合△PMN的最小周长可推出PM+PN的最小值，再转化为PB+PC的最小值，利用轴对称找最短路径的方法确定PB+PC的最小值为BG的长，最后用勾股定理计算即可得到AB的长度。
【解析】
【问题原型】证明：
∵ 点E为边AB的中点，
∴ AE=BE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
又
∵ EF//AD，
∴ AD//EF//BC，
根据平行线分线段成比例可得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，
∴ PM=QM。
【结论应用】
(1) 由问题原型的结论可得AD//EF//BC，
∴ $\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{BE}=1$，$\frac{PN}{NR}=\frac{AE}{BE}=1$，
即M是PQ中点，N是PR中点，
∴ $\frac{PM}{PQ}=\frac{PN}{PR}=\frac{1}{2}$，
又
∵ ∠MPN=∠QPR，
∴ △PMN∽△PQR，
∴ $\frac{MN}{QR}=\frac{PM}{PQ}=\frac{1}{2}$，
∴ QR=2MN=2×4=8。
(2) 作点C关于AD的对称点G，连接PG、BG，
由对称的性质可得PC=PG，CD=DG，
∴ PB+PC=PB+PG≥BG，当且仅当B、P、G三点共线时，PB+PC取得最小值，最小值为BG的长。
此时Q与B重合，R与C重合，QR=BC=10，由(1)的结论可得$MN=\frac{1}{2}QR=\frac{1}{2}×10=5$，
∵ △PMN周长的最小值为12，
∴ PM+PN=12-MN=12-5=7，
∵ M是PB中点，N是PC中点，
∴ PB=2PM，PC=2PN，
∴ PB+PC=2(PM+PN)=2×7=14，即BG=14，
在Rt△BCG中，∠BCG=90°，BC=10，BG=14，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BG^2-BC^2}=\sqrt{14^2-10^2}=4\sqrt{6}$，
∵ G是C关于AD的对称点，
∴ $CD=\frac{1}{2}CG=2\sqrt{6}$，
∵ 矩形ABCD中AB=CD，
∴ $AB=2\sqrt{6}$。
【答案】
【问题原型】证明见解析；
(1) $\boldsymbol{8}$；
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 相似三角形的判定与性质
3. 轴对称最短路径问题
【点评】
本题以教材基本事实为背景逐步拓展，综合考查了相似三角形、最短路径、勾股定理等核心知识，需要学生具备较强的知识迁移能力和逻辑推理能力，能帮助学生加深对几何综合问题解题思路的理解。
【难度系数】
0.3
2[2026广东阳江质检,中]综合与实践
【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度.
【实践工具】标杆、皮尺、激光仪等.
【实践操作】如图(1),实践小组在路灯AB旁的水平空地上直立一根高2米的标杆CD,将激光仪放至地面上的点E处,使从点E处发出的激光束恰好同时经过点D,A(图中各点均在同一竖直平面内),此时测得$CE=3$米,$BC=5.7$米.
【问题解决】(1)根据实践小组的测量数据,计算路灯AB的高度;
【反思交流】(2)在交流中,一位同学对实践小组的方案提出质疑:如果路灯AB底部不可以直接到达,该方案将无法测得线段BC的长,最后不能求得路灯AB的高度,所以实践小组在此基础上对原有方案进行补充改进:如图(2),在点E处再直立一根高2米的标杆EF,将激光仪放至地面上的点G处,使从点G处发出的激光束恰好同时经过点F,A(图中各点均在同一竖直平面内).若$GE=m$米,请你根据实践小组改进后的方案用含$m$的代数式表示路灯AB的高度.
【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度.
【实践工具】标杆、皮尺、激光仪等.
【实践操作】如图(1),实践小组在路灯AB旁的水平空地上直立一根高2米的标杆CD,将激光仪放至地面上的点E处,使从点E处发出的激光束恰好同时经过点D,A(图中各点均在同一竖直平面内),此时测得$CE=3$米,$BC=5.7$米.
【问题解决】(1)根据实践小组的测量数据,计算路灯AB的高度;
【反思交流】(2)在交流中,一位同学对实践小组的方案提出质疑:如果路灯AB底部不可以直接到达,该方案将无法测得线段BC的长,最后不能求得路灯AB的高度,所以实践小组在此基础上对原有方案进行补充改进:如图(2),在点E处再直立一根高2米的标杆EF,将激光仪放至地面上的点G处,使从点G处发出的激光束恰好同时经过点F,A(图中各点均在同一竖直平面内).若$GE=m$米,请你根据实践小组改进后的方案用含$m$的代数式表示路灯AB的高度.
答案
(1)
∵ AB//CD,
∴ 易得△ECD∽△EBA,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$.
∵ CE=3 米,BC=5.7 米,CD=2 米,
∴ EB=EC+BC=3+5.7=8.7(米),
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{8.7}$,
∴ AB=5.8 米.
(2)
∵ AB//CD,
∴ 易得△ECD∽△EBA,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$.
∵ CE=3 米,CD=2 米,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{3+BC}$,
整理得 $3+BC=\frac{3}{2}AB$.
∵ AB//EF,
∴ 易得△EFG∽△BAG,
∴ $\frac{GE}{GB}=\frac{EF}{AB}$.
又
∵ CE = 3 米,EF = 2 米,GE = m 米,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+3+BC}$,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+\frac{3}{2}AB}$,
∴ $AB=\frac{2m}{m-3}$米.
∵ AB//CD,
∴ 易得△ECD∽△EBA,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$.
∵ CE=3 米,BC=5.7 米,CD=2 米,
∴ EB=EC+BC=3+5.7=8.7(米),
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{8.7}$,
∴ AB=5.8 米.
(2)
∵ AB//CD,
∴ 易得△ECD∽△EBA,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$.
∵ CE=3 米,CD=2 米,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{3+BC}$,
整理得 $3+BC=\frac{3}{2}AB$.
∵ AB//EF,
∴ 易得△EFG∽△BAG,
∴ $\frac{GE}{GB}=\frac{EF}{AB}$.
又
∵ CE = 3 米,EF = 2 米,GE = m 米,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+3+BC}$,
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+\frac{3}{2}AB}$,
∴ $AB=\frac{2m}{m-3}$米.
解析
【分析】
(1) 求解路灯AB高度时，首先由AB、CD均垂直于水平地面可得AB//CD，进而可判定△ECD∽△EBA，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CE、BC、CD的长度，即可计算出AB的高度。
(2) 当路灯底部B不可直接到达时，BC为未知量，首先通过△ECD∽△EBA得到BC与AB的数量关系；再由EF⊥地面、AB⊥地面得EF//AB，判定△GEF∽△GBA，得到第二组比例关系，将BC用含AB的式子代入该比例，消去未知量BC，整理后即可得到用含m的代数式表示的AB高度。
【解析】
(1)
∵ AB⊥BE，CD⊥BE，
∴ AB//CD，
∴ △ECD∽△EBA，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$。
∵ CE=3 米，BC=5.7 米，CD=2 米，
∴ EB=EC+BC=3+5.7=8.7(米)，
代入比例式得 $\frac{2}{AB}=\frac{3}{8.7}$，
解得 AB=5.8 米。
(2)
∵ AB//CD，
∴ △ECD∽△EBA，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$。
∵ CE=3 米，CD=2 米，EB=3+BC，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{3+BC}$，
整理得 $3+BC=\frac{3}{2}AB$。
∵ AB⊥BG，EF⊥BG，
∴ AB//EF，
∴ △GEF∽△GBA，
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{GE}{GB}$。
∵ EF=2 米，GE=m 米，GB=GE+EC+CB=m+3+BC，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+3+BC}$，
将$3+BC=\frac{3}{2}AB$代入上式得：
$\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+\frac{3}{2}AB}$，
交叉相乘整理得 $2(m+\frac{3}{2}AB)=m· AB$，
即 $2m+3AB=mAB$，
移项得 $AB(m-3)=2m$，
∴ $AB=\frac{2m}{m-3}$米。
【答案】
(1) 路灯AB的高度为$\boldsymbol{5.8}$米；
(2) 路灯AB的高度为$\boldsymbol{\frac{2m}{m-3}}$米。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查相似三角形在高度测量中的应用，解题核心是利用平行线得到相似三角形，通过对应边成比例建立等量关系，对于底部不可直接到达的物体高度测量问题，可通过多组相似关系消去中间未知量完成求解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解路灯AB高度时，首先由AB、CD均垂直于水平地面可得AB//CD，进而可判定△ECD∽△EBA，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CE、BC、CD的长度，即可计算出AB的高度。
(2) 当路灯底部B不可直接到达时，BC为未知量，首先通过△ECD∽△EBA得到BC与AB的数量关系；再由EF⊥地面、AB⊥地面得EF//AB，判定△GEF∽△GBA，得到第二组比例关系，将BC用含AB的式子代入该比例，消去未知量BC，整理后即可得到用含m的代数式表示的AB高度。
【解析】
(1)
∵ AB⊥BE，CD⊥BE，
∴ AB//CD，
∴ △ECD∽△EBA，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$。
∵ CE=3 米，BC=5.7 米，CD=2 米，
∴ EB=EC+BC=3+5.7=8.7(米)，
代入比例式得 $\frac{2}{AB}=\frac{3}{8.7}$，
解得 AB=5.8 米。
(2)
∵ AB//CD，
∴ △ECD∽△EBA，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{EC}{EB}$。
∵ CE=3 米，CD=2 米，EB=3+BC，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{3}{3+BC}$，
整理得 $3+BC=\frac{3}{2}AB$。
∵ AB⊥BG，EF⊥BG，
∴ AB//EF，
∴ △GEF∽△GBA，
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{GE}{GB}$。
∵ EF=2 米，GE=m 米，GB=GE+EC+CB=m+3+BC，
∴ $\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+3+BC}$，
将$3+BC=\frac{3}{2}AB$代入上式得：
$\frac{2}{AB}=\frac{m}{m+\frac{3}{2}AB}$，
交叉相乘整理得 $2(m+\frac{3}{2}AB)=m· AB$，
即 $2m+3AB=mAB$，
移项得 $AB(m-3)=2m$，
∴ $AB=\frac{2m}{m-3}$米。
【答案】
(1) 路灯AB的高度为$\boldsymbol{5.8}$米；
(2) 路灯AB的高度为$\boldsymbol{\frac{2m}{m-3}}$米。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查相似三角形在高度测量中的应用，解题核心是利用平行线得到相似三角形，通过对应边成比例建立等量关系，对于底部不可直接到达的物体高度测量问题，可通过多组相似关系消去中间未知量完成求解。
【难度系数】
0.6
