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1[中]如图,将边长为12 cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E,F分别在边AB,CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P.若AM=5 cm,则折痕EF的长为
13
cm.答案
1. 13
【解析】如图,过点 F 作 FG ⊥ AB,垂足为 G,连接 BM.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=BC. 易知四边形 BCFG 是矩形,
∴ FG=BC,
∴ AB=FG.
∵ 由折叠易知 BM ⊥ FE,
∴ ∠EBM + ∠BEF = 90°.
∵ ∠BMA + ∠EBM = 90°,
∴ ∠BEF = ∠BMA.又
∵ ∠A = ∠EGF=90°,
∴ △ABM ≌ △GFE,
∴ EF = BM = √(AB²+AM²) = √(12²+5²) = 13 ( cm ). 故答案为 13.
解析
【分析】
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应点的连线与折痕垂直，结合正方形的边、角性质，考虑通过构造辅助线将折痕EF转化为易求的线段。首先连接对应点B、M，过点F作FG⊥AB，可得FG等于正方形边长，再通过同角的余角相等得到一组角相等，证明△ABM和△GFE全等，即可得到EF=BM，最后利用勾股定理计算BM的长度就是EF的长度。
【解析】
如图，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
易知四边形BCFG是矩形，
∴ FG=BC，
∴ AB=FG。
由折叠的性质可知，点B与点M关于EF对称，因此BM⊥FE，
∴ ∠EBM + ∠BEF = 90°。
∵ 在Rt△ABM中，∠BMA + ∠EBM = 90°，
∴ ∠BEF = ∠BMA。
又
∵ ∠A = ∠EGF=90°，
∴ △ABM ≌ △GFE（AAS），
∴ EF = BM。
在Rt△ABM中，AB=12cm，AM=5cm，由勾股定理得：
BM = √(AB²+AM²) = √(12²+5²) = 13 (cm)，
即EF的长为13cm。
【答案】
13
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠问题的典型题型，解题的核心是利用折叠的对称性得到折痕与对应点连线垂直的关系，通过构造直角三角形证明全等，将未知折痕转化为已知边构成的直角三角形的斜边，考查了几何性质的综合运用和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应点的连线与折痕垂直，结合正方形的边、角性质，考虑通过构造辅助线将折痕EF转化为易求的线段。首先连接对应点B、M，过点F作FG⊥AB，可得FG等于正方形边长，再通过同角的余角相等得到一组角相等，证明△ABM和△GFE全等，即可得到EF=BM，最后利用勾股定理计算BM的长度就是EF的长度。
【解析】
如图，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
易知四边形BCFG是矩形，
∴ FG=BC，
∴ AB=FG。
由折叠的性质可知，点B与点M关于EF对称，因此BM⊥FE，
∴ ∠EBM + ∠BEF = 90°。
∵ 在Rt△ABM中，∠BMA + ∠EBM = 90°，
∴ ∠BEF = ∠BMA。
又
∵ ∠A = ∠EGF=90°，
∴ △ABM ≌ △GFE（AAS），
∴ EF = BM。
在Rt△ABM中，AB=12cm，AM=5cm，由勾股定理得：
BM = √(AB²+AM²) = √(12²+5²) = 13 (cm)，
即EF的长为13cm。
【答案】
13
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠问题的典型题型，解题的核心是利用折叠的对称性得到折痕与对应点连线垂直的关系，通过构造直角三角形证明全等，将未知折痕转化为已知边构成的直角三角形的斜边，考查了几何性质的综合运用和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
2[2025浙江金华质检,中]如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,沿EF翻折后,点B落在边CD上的G处,若EG⊥CD,BE=4,DG=3,则AE的长为
(第2题图)
(第3题图)
9/14
.(第2题图)
(第3题图)
答案
2. 9/14
【解析】如图,作 BH ⊥ CD 交 DC 的延长线于点 H,则 ∠H=90°.
∵ EG ⊥ CD,
∴ BH//EG.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB//CD,AB=BC=CD,
∴ BE//GH,
∴ 四边形 BEGH 是平行四边形,
∴ BH=GE,GH=BE=4. 由翻折得 GE=BE=4,
∴ BH=GE=4.
∵ DG=3,
∴ DH=DG+GH=3+4=7.
∵ BH²+CH²=BC²,CH=7-CD=7-AB,
∴ 4²+(7-AB)²=AB²,解得 AB=65/14,
∴ AE=AB-BE=65/14 -4=9/14,故答案为9/14.
解析
【分析】
本题是菱形中的折叠问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边相等，即GE=BE；再结合已知EG⊥CD和菱形对边平行的性质，通过作BH⊥DC的延长线构造平行四边形，将已知的BE、DG转化为直角三角形的相关边长；最后设菱形边长为未知数，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解菱形边长，用AB减去BE即可得到AE的长度。
【解析】
解：如图，作 $ BH ⊥ CD $，交 $ DC $ 的延长线于点 $ H $，则 $ ∠ H = 90° $。
∵ $ EG ⊥ CD $，
∴ $ BH// EG $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AB// CD $，$ AB=BC=CD $，
∴ $ BE// GH $，
∴ 四边形 $ BEGH $ 是平行四边形，
∴ $ BH=GE $，$ GH=BE=4 $。
由翻折的性质可得 $ GE=BE=4 $，
∴ $ BH=GE=4 $。
∵ $ DG=3 $，
∴ $ DH=DG+GH=3+4=7 $。
设菱形边长 $ AB=x $，则 $ BC=CD=x $，$ CH=7-CD=7-x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCH $ 中，由勾股定理得 $ BH^2+CH^2=BC^2 $，
代入得 $ 4^2+(7-x)^2=x^2 $，
解得 $ x=\frac{65}{14} $，
∴ $ AE=AB-BE=\frac{65}{14}-4=\frac{9}{14} $。
【答案】
$\frac{9}{14}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠问题的典型考法，解题关键是结合图形性质合理构造辅助线转化边长，再利用勾股定理建立方程求解，考查了几何综合分析能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题是菱形中的折叠问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边相等，即GE=BE；再结合已知EG⊥CD和菱形对边平行的性质，通过作BH⊥DC的延长线构造平行四边形，将已知的BE、DG转化为直角三角形的相关边长；最后设菱形边长为未知数，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解菱形边长，用AB减去BE即可得到AE的长度。
【解析】
解：如图，作 $ BH ⊥ CD $，交 $ DC $ 的延长线于点 $ H $，则 $ ∠ H = 90° $。
∵ $ EG ⊥ CD $，
∴ $ BH// EG $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ AB// CD $，$ AB=BC=CD $，
∴ $ BE// GH $，
∴ 四边形 $ BEGH $ 是平行四边形，
∴ $ BH=GE $，$ GH=BE=4 $。
由翻折的性质可得 $ GE=BE=4 $，
∴ $ BH=GE=4 $。
∵ $ DG=3 $，
∴ $ DH=DG+GH=3+4=7 $。
设菱形边长 $ AB=x $，则 $ BC=CD=x $，$ CH=7-CD=7-x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCH $ 中，由勾股定理得 $ BH^2+CH^2=BC^2 $，
代入得 $ 4^2+(7-x)^2=x^2 $，
解得 $ x=\frac{65}{14} $，
∴ $ AE=AB-BE=\frac{65}{14}-4=\frac{9}{14} $。
【答案】
$\frac{9}{14}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠问题的典型考法，解题关键是结合图形性质合理构造辅助线转化边长，再利用勾股定理建立方程求解，考查了几何综合分析能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
3[2025上海浦东新区质检，中]如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE = 2，则△CDF的面积是
3√2+4
。答案
3. 3√2+4
【解析】如图,连接 BD 交 AC 于 O.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ ∠ABC=90°,AB=BC,AC ⊥ BD,DO=BO,
∴ ∠BAC=45°.
∵ △BCE 沿 CE 翻折,
∴ BE=EF=2,BC=CF,∠EFC=∠ABC=90°,
∴ ∠AEF=45°,
∴ AF=EF=2,
∴ AE=2√2,
∴ AB=2√2+2=BC=CF=CD,
∴ BD=4+2√2,
∴ OD=2+√2,
∴ S△CDF=1/2 × CF × DO=3√2+4. 故答案为3√2+4.
解析
【分析】
要计算△CDF的面积，我们可以选择CF为底，点D到AC的距离为高求解。首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形对角线平分内角为45°的特征，可判断△AEF为等腰直角三角形，求出AE的长度，进而得到正方形的边长，即CF的长度；再利用正方形对角线互相垂直且平分的性质，求出点D到AC的距离OD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，连接BD交AC于点O。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，AB=BC=CD，AC⊥BD，DO=BO，∠BAC=45°。
∵ △BCE沿CE翻折，点B与点F重合，
∴ BE=EF=2，BC=CF，∠EFC=∠ABC=90°，
∴ ∠EFA=90°，结合∠BAC=45°可得∠AEF=45°，
∴ AF=EF=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$AB=AE+BE=2\sqrt{2}+2$，即$CF=BC=2\sqrt{2}+2$，
正方形对角线$BD=\sqrt{2}· AB=\sqrt{2}×(2\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$，
∴ $OD=\frac{1}{2}BD=2+\sqrt{2}$，
∴ $S_{△ CDF}=\frac{1}{2} × CF × OD = \frac{1}{2} × (2\sqrt{2}+2) × (2+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+4$。
【答案】
3√2+4
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，综合考查了图形折叠的特性、正方形的基本性质以及三角形面积的计算，解题的关键是结合折叠性质与正方形的角度特征求出相关线段的长度，理清所求三角形的底和对应高。
【难度系数】
0.6
要计算△CDF的面积，我们可以选择CF为底，点D到AC的距离为高求解。首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形对角线平分内角为45°的特征，可判断△AEF为等腰直角三角形，求出AE的长度，进而得到正方形的边长，即CF的长度；再利用正方形对角线互相垂直且平分的性质，求出点D到AC的距离OD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，连接BD交AC于点O。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，AB=BC=CD，AC⊥BD，DO=BO，∠BAC=45°。
∵ △BCE沿CE翻折，点B与点F重合，
∴ BE=EF=2，BC=CF，∠EFC=∠ABC=90°，
∴ ∠EFA=90°，结合∠BAC=45°可得∠AEF=45°，
∴ AF=EF=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$AB=AE+BE=2\sqrt{2}+2$，即$CF=BC=2\sqrt{2}+2$，
正方形对角线$BD=\sqrt{2}· AB=\sqrt{2}×(2\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$，
∴ $OD=\frac{1}{2}BD=2+\sqrt{2}$，
∴ $S_{△ CDF}=\frac{1}{2} × CF × OD = \frac{1}{2} × (2\sqrt{2}+2) × (2+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+4$。
【答案】
3√2+4
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，综合考查了图形折叠的特性、正方形的基本性质以及三角形面积的计算，解题的关键是结合折叠性质与正方形的角度特征求出相关线段的长度，理清所求三角形的底和对应高。
【难度系数】
0.6
4[2025江苏徐州调研,中]如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使C,A两点重合,点D落在点G处.已知AB=4,BC=8.
(1)求证:$△ AEF$是等腰三角形；
(2)求线段FD的长.
(1)求证:$△ AEF$是等腰三角形；
(2)求线段FD的长.
答案
4.(1)【证明】由折叠可知,∠AEF=∠CEF. 由矩形性质可得 AD//BC,
∴ ∠AFE=∠CEF,
∴ ∠AEF=∠AFE,
∴ AE=AF,
∴ △AEF 为等腰三角形.
(2)【解】由折叠可得 AE=CE. 设 CE=x=AE,则 BE=BC-CE=8-x.
∵ ∠B=90°,
∴ 在 Rt△ABE 中,AB²+BE²=AE²,即 4²+(8-x)²=x²,解得 x=5. 由(1)可得 AF=AE=5,
∴ FD=AD-AF=BC-AF=8-5=3.
∴ ∠AFE=∠CEF,
∴ ∠AEF=∠AFE,
∴ AE=AF,
∴ △AEF 为等腰三角形.
(2)【解】由折叠可得 AE=CE. 设 CE=x=AE,则 BE=BC-CE=8-x.
∵ ∠B=90°,
∴ 在 Rt△ABE 中,AB²+BE²=AE²,即 4²+(8-x)²=x²,解得 x=5. 由(1)可得 AF=AE=5,
∴ FD=AD-AF=BC-AF=8-5=3.
解析
【分析】
(1) 要证明△AEF是等腰三角形，可通过“等角对等边”判定。首先利用折叠的性质得到一组等角∠AEF=∠CEF，再结合矩形对边平行的性质，得到内错角∠AFE=∠CEF，等量代换即可得到△AEF的两个底角相等，进而推出两边相等，完成证明。
(2) 求FD的长度，已知AD=BC=8，只需先求出AF的长度即可。由折叠性质可知AE=CE，结合(1)的结论AF=AE，因此AF=CE。设CE=x，则AE=x，BE=8-x，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解出x的值，即可得到AF的长度，再用AD减去AF即可得到FD的长。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质可知，$∠ AEF=∠ CEF$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ AFE=∠ CEF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ AEF=∠ AFE$，
∴ $AE=AF$，
∴ $△ AEF$是等腰三角形。
(2) 解：由折叠的性质可得$AE=CE$。
设$CE=x$，则$AE=x$，$BE=BC-CE=8-x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数值：$4^2+(8-x)^2=x^2$，
展开化简：$16+64-16x+x^2=x^2$，即$80-16x=0$，
解得$x=5$。
由(1)可知$AF=AE=5$，
∵ 矩形ABCD中$AD=BC=8$，
∴ $FD=AD-AF=8-5=3$。
【答案】
(1) 已证$△ AEF$是等腰三角形；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应角、对应边相等的性质，结合矩形的性质完成等腰三角形的判定，再利用勾股定理列方程求解未知线段，考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△AEF是等腰三角形，可通过“等角对等边”判定。首先利用折叠的性质得到一组等角∠AEF=∠CEF，再结合矩形对边平行的性质，得到内错角∠AFE=∠CEF，等量代换即可得到△AEF的两个底角相等，进而推出两边相等，完成证明。
(2) 求FD的长度，已知AD=BC=8，只需先求出AF的长度即可。由折叠性质可知AE=CE，结合(1)的结论AF=AE，因此AF=CE。设CE=x，则AE=x，BE=8-x，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解出x的值，即可得到AF的长度，再用AD减去AF即可得到FD的长。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质可知，$∠ AEF=∠ CEF$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ AFE=∠ CEF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ AEF=∠ AFE$，
∴ $AE=AF$，
∴ $△ AEF$是等腰三角形。
(2) 解：由折叠的性质可得$AE=CE$。
设$CE=x$，则$AE=x$，$BE=BC-CE=8-x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入数值：$4^2+(8-x)^2=x^2$，
展开化简：$16+64-16x+x^2=x^2$，即$80-16x=0$，
解得$x=5$。
由(1)可知$AF=AE=5$，
∵ 矩形ABCD中$AD=BC=8$，
∴ $FD=AD-AF=8-5=3$。
【答案】
(1) 已证$△ AEF$是等腰三角形；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应角、对应边相等的性质，结合矩形的性质完成等腰三角形的判定，再利用勾股定理列方程求解未知线段，考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
5[2026湖北武汉期中,中]如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,点C,D分别落在点$C'$,$D'$处,$D'E$与AB的交点为M.若$∠ EFC=114°$,则$∠ D'MB$的大小是 (
A.$24°$
B.$42°$
C.$48°$
D.$52°$
(第5题图)
(第6题图)
B
)A.$24°$
B.$42°$
C.$48°$
D.$52°$
(第5题图)
(第6题图)
答案
5. B
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠A=90°,AD//BC,
∴ ∠DEF+∠EFC=180°.
∵ ∠EFC=114°,
∴ ∠DEF=66°.
∵ 将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,点 C,D 分别落在点 C',D' 处,
∴ ∠D'EF=∠DEF=66°,
∴ ∠AED'=180°-66°-66°=48°,
∴ ∠D'MB=∠AME=90°-48°=42°. 故选 B.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠A=90°,AD//BC,
∴ ∠DEF+∠EFC=180°.
∵ ∠EFC=114°,
∴ ∠DEF=66°.
∵ 将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,点 C,D 分别落在点 C',D' 处,
∴ ∠D'EF=∠DEF=66°,
∴ ∠AED'=180°-66°-66°=48°,
∴ ∠D'MB=∠AME=90°-48°=42°. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形对边平行且四个内角均为直角；再结合折叠的核心性质“折叠前后对应角相等”逐步推导：第一步，利用AD与BC平行、同旁内角互补的特点，结合已知∠EFC的度数求出∠DEF的度数；第二步，根据折叠性质得到∠D'EF=∠DEF，结合平角为180°求出∠AED'的度数；第三步，在直角三角形AEM中利用两锐角互余求出∠AME的度数，最后根据对顶角相等即可得到∠D'MB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，AD//BC，
∴ ∠DEF + ∠EFC = 180°。
∵ ∠EFC=114°，
∴ ∠DEF=180°-114°=66°。
∵ 矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，
∴ ∠D'EF=∠DEF=66°，
∴ ∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=180°-66°-66°=48°。
在Rt△AEM中，∠AME=90°-∠AED'=90°-48°=42°，
又
∵ ∠D'MB与∠AME是对顶角，
∴ ∠D'MB=∠AME=42°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合矩形的边角性质推导角度关系，解题时要注意梳理清楚各角之间的位置、数量关系，避免找错折叠对应的相等角。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆矩形的性质：矩形对边平行且四个内角均为直角；再结合折叠的核心性质“折叠前后对应角相等”逐步推导：第一步，利用AD与BC平行、同旁内角互补的特点，结合已知∠EFC的度数求出∠DEF的度数；第二步，根据折叠性质得到∠D'EF=∠DEF，结合平角为180°求出∠AED'的度数；第三步，在直角三角形AEM中利用两锐角互余求出∠AME的度数，最后根据对顶角相等即可得到∠D'MB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，AD//BC，
∴ ∠DEF + ∠EFC = 180°。
∵ ∠EFC=114°，
∴ ∠DEF=180°-114°=66°。
∵ 矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，
∴ ∠D'EF=∠DEF=66°，
∴ ∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=180°-66°-66°=48°。
在Rt△AEM中，∠AME=90°-∠AED'=90°-48°=42°，
又
∵ ∠D'MB与∠AME是对顶角，
∴ ∠D'MB=∠AME=42°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合矩形的边角性质推导角度关系，解题时要注意梳理清楚各角之间的位置、数量关系，避免找错折叠对应的相等角。
【难度系数】
0.7
6[2026辽宁丹东质检,较难]如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,点E是AB的中点,点F为AD上一动点,将△AEF沿EF折叠,得到△A'EF.若A'E与菱形ABCD的对角线平行,则DF的长为
3-√3或3
.答案
6. 3-√3或3
【解析】①当A'E//AC时,如图(1),过点 E 作 EG ⊥ AF,垂足为 G.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,
∴ AD=AB=4,AC 平分 ∠BAD,
∴ ∠BAC=1/2 × 60°=30°.
∵ A'E//AC,
∴ ∠A'EB=∠BAC=30°. 由折叠的性质得 ∠AEF=∠A'EF,
∴ ∠AEF=1/2 (180°-∠A'EB)=75°,
∴ ∠AFE=180°-60°-75°=45°.
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ AE=1/2 AB=2.
∵ ∠BAD=60°,∠AGE=90°,
∴ ∠AEG=30°,
∴ AG=1/2 AE=1,
∴ GE=√(AE²-AG²)=√3. 在 Rt△EFG 中,∠AFE=45°,
∴ ∠GEF=∠AFE=45°,
∴ GF=GE=√3,
∴ AF=1+√3,
∴ DF=AD-AF=4-(1+√3)=3-√3. ②当 A'E//BD 时,如图(2).
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=AD. 又
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 是等边三角形,
∴ ∠ABD=60°.
∵ A'E//BD,
∴ ∠AEA'=∠ABD=60°. 由折叠的性质得 AE=A'E,
∴ △AEA' 是等边三角形,点 A' 落在 AD 上,
∴ AA'=AE=2,
∴ AF=1,
∴ DF=3. 综上所述,DF 的长为 3-√3 或 3. 故答案为 3-√3 或 3.
解析
【分析】
本题是菱形背景下的折叠问题，需分两种情况讨论：①A'E与对角线AC平行；②A'E与对角线BD平行。解题时先利用菱形的性质得到相关边、角的关系，再结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，通过特殊三角形（直角三角形、等边三角形）的边角关系计算AF的长度，最后用AD的长度减去AF的长度即可得到DF的长，注意不要遗漏任意一种平行情况。
【解析】
①当A'E//AC时，如图(1)，过点E作EG⊥AF，垂足为G。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AD=AB=4，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵A'E//AC，
∴∠A'EB=∠BAC=30°。
由折叠的性质得∠AEF=∠A'EF，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$(180°-∠A'EB)=75°，
∴∠AFE=180°-60°-75°=45°。
∵点E是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵∠BAD=60°，∠AGE=90°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴GE=$\sqrt{AE^2-AG^2}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△EFG中，∠AFE=45°，
∴∠GEF=∠AFE=45°，
∴GF=GE=$\sqrt{3}$，
∴AF=1+$\sqrt{3}$，
∴DF=AD-AF=4-(1+$\sqrt{3}$)=3-$\sqrt{3}$。
②当A'E//BD时，如图(2)。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD。
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
∵A'E//BD，
∴∠AEA'=∠ABD=60°。
由折叠的性质得AE=A'E，
∴△AEA'是等边三角形，点A'落在AD上，
∴AA'=AE=2，
∴AF=$\frac{1}{2}$AA'=1，
∴DF=4-1=3。
综上所述，DF的长为3-$\sqrt{3}$或3。
【答案】
3-√3或3
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；特殊三角形边角计算
【点评】
本题属于折叠类综合题，解题核心是结合分类讨论思想，考虑A'E与两条对角线分别平行的两种情况，再结合菱形、折叠的性质以及特殊三角形的相关性质计算即可，解题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.4
本题是菱形背景下的折叠问题，需分两种情况讨论：①A'E与对角线AC平行；②A'E与对角线BD平行。解题时先利用菱形的性质得到相关边、角的关系，再结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，通过特殊三角形（直角三角形、等边三角形）的边角关系计算AF的长度，最后用AD的长度减去AF的长度即可得到DF的长，注意不要遗漏任意一种平行情况。
【解析】
①当A'E//AC时，如图(1)，过点E作EG⊥AF，垂足为G。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AD=AB=4，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵A'E//AC，
∴∠A'EB=∠BAC=30°。
由折叠的性质得∠AEF=∠A'EF，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$(180°-∠A'EB)=75°，
∴∠AFE=180°-60°-75°=45°。
∵点E是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵∠BAD=60°，∠AGE=90°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴GE=$\sqrt{AE^2-AG^2}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△EFG中，∠AFE=45°，
∴∠GEF=∠AFE=45°，
∴GF=GE=$\sqrt{3}$，
∴AF=1+$\sqrt{3}$，
∴DF=AD-AF=4-(1+$\sqrt{3}$)=3-$\sqrt{3}$。
②当A'E//BD时，如图(2)。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD。
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
∵A'E//BD，
∴∠AEA'=∠ABD=60°。
由折叠的性质得AE=A'E，
∴△AEA'是等边三角形，点A'落在AD上，
∴AA'=AE=2，
∴AF=$\frac{1}{2}$AA'=1，
∴DF=4-1=3。
综上所述，DF的长为3-$\sqrt{3}$或3。
【答案】
3-√3或3
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；特殊三角形边角计算
【点评】
本题属于折叠类综合题，解题核心是结合分类讨论思想，考虑A'E与两条对角线分别平行的两种情况，再结合菱形、折叠的性质以及特殊三角形的相关性质计算即可，解题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.4
7 [2026 黑龙江牡丹江期末,中]如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A,B分别落在点A',B'的位置,再沿AD边将∠A'折叠到∠H的位置,若∠1=50°,则∠FEH的度数为
15°
. 答案
7. 15°
【解析】如图,延长 FE 到点 M. 由折叠的性质得 ∠BFE=∠B'FE,∠AEF=∠A'EF,
∴ ∠AEM=∠A'EM.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠AEM=∠BFE,
∴ ∠BFE=∠B'FE=∠AEM=∠A'EM,
∴ ∠BFB'=∠AEA',
∴ 180°-∠BFB'=180°-∠AEA',
∴ ∠1=∠A'EG.
∵ ∠1=50°,
∴ ∠BFE=∠B'FE=(180°-∠1)/2=65°,∠A'EG=50°.
∵ AD//BC,
∴ ∠BFE=∠FEG=65°. 根据折叠的性质得 ∠GEH=∠A'EG=50°,
∴ ∠FEH=∠FEG-∠GEH=15°,故答案为 15°.
解析
【分析】
本题是矩形中的折叠角度计算问题，解题时首先抓住折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，先结合平角为180°，利用已知的∠1求出∠BFE的度数；再结合矩形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等得到∠FEG的度数；然后根据第二次折叠的性质得到∠GEH的度数，最后通过角度作差即可求出∠FEH的度数。
【解析】
如图，延长FE到点M。
由折叠的性质得：$∠ BFE=∠ B'FE$，$∠ AEF=∠ A'EF$，$\therefore ∠ AEM=∠ A'EM$。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AEM=∠ BFE$，$\therefore ∠ BFE=∠ B'FE=∠ AEM=∠ A'EM$，
$\therefore ∠ BFB'=∠ AEA'$，$\therefore 180°-∠ BFB'=180°-∠ AEA'$，即$∠ 1=∠ A'EG$。
∵$∠ 1=50°$，$\therefore ∠ BFE=∠ B'FE=\frac{180°-∠1}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，$∠ A'EG=50°$。
∵$AD// BC$，$\therefore ∠ BFE=∠ FEG=65°$。
根据第二次折叠的性质得：$∠ GEH=∠ A'EG=50°$，
$\therefore ∠ FEH=∠ FEG-∠ GEH=65°-50°=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合矩形对边平行的角度关系进行推导，考查了学生的角度转化和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是矩形中的折叠角度计算问题，解题时首先抓住折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，先结合平角为180°，利用已知的∠1求出∠BFE的度数；再结合矩形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等得到∠FEG的度数；然后根据第二次折叠的性质得到∠GEH的度数，最后通过角度作差即可求出∠FEH的度数。
【解析】
如图，延长FE到点M。
由折叠的性质得：$∠ BFE=∠ B'FE$，$∠ AEF=∠ A'EF$，$\therefore ∠ AEM=∠ A'EM$。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ AEM=∠ BFE$，$\therefore ∠ BFE=∠ B'FE=∠ AEM=∠ A'EM$，
$\therefore ∠ BFB'=∠ AEA'$，$\therefore 180°-∠ BFB'=180°-∠ AEA'$，即$∠ 1=∠ A'EG$。
∵$∠ 1=50°$，$\therefore ∠ BFE=∠ B'FE=\frac{180°-∠1}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，$∠ A'EG=50°$。
∵$AD// BC$，$\therefore ∠ BFE=∠ FEG=65°$。
根据第二次折叠的性质得：$∠ GEH=∠ A'EG=50°$，
$\therefore ∠ FEH=∠ FEG-∠ GEH=65°-50°=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合矩形对边平行的角度关系进行推导，考查了学生的角度转化和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
