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1[2025河北衡水质检,中]如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P从点B出发,沿着BD往点D移动,若过点P分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F,则EF的最小值为 (
A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{18}{5}$
C.$4$
D.$5$
A
)A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{18}{5}$
C.$4$
D.$5$
答案
1. A 【解析】如图,连接 AP.
∵ PE⊥AB,PF⊥AD,
∴ ∠AEP=∠AFP=90°.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=90°,
∴ 四边形AEPF为矩形,
∴ AP = EF,
∴ 求 EF 的最小值就是求 AP 的最小值.
∵ 点 P 从点 B出发,沿着 BD 往点 D 移动,
∴ 当AP⊥BD时,AP取最小值. 在 Rt△BAD 中,∠BAD=90°,AB=3,AD=4,
∴ BD= $\sqrt{AB^2+AD^2}$ = $\sqrt{3^2+4^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5.
∵ 当 AP ⊥ BD 时,$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · AD=\frac{1}{2}AP · BD$,
∴ AP=$\frac{AB · AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$,
∴ EF 的最小值为$\frac{12}{5}$. 故选 A.
解析
【分析】
求解线段最小值问题，首先考虑对未知线段进行转化：观察到PE⊥AB、PF⊥AD，且矩形ABCD中∠BAD为直角，因此四边形AEPF四个内角均为直角，可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得EF=AP，由此将求EF的最小值转化为求AP的最小值。接下来分析AP的特征：点A为定点，点P是定线段BD上的动点，根据“垂线段最短”的性质，当AP与BD垂直时，AP的长度最小，即EF取得最小值。最后通过勾股定理计算BD长度，再利用直角三角形的等面积法即可求出AP的最小值，也就是EF的最小值。
【解析】
解：如图，连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ ∠AEP=∠AFP=90°，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，
∴ 四边形AEPF为矩形，
∴ AP = EF，即求EF的最小值等价于求AP的最小值。
∵ 点P在BD上运动，根据垂线段最短，当AP⊥BD时，AP取最小值。
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
此时△ABD的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}AP·BD$，
代入数值得：$AP=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
即EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中的典型最值问题，解题核心是利用矩形对角线相等的性质完成线段转化，将动线段EF的最值问题转化为定点到定直线的最短距离问题，结合等面积法求解，有效考察了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
求解线段最小值问题，首先考虑对未知线段进行转化：观察到PE⊥AB、PF⊥AD，且矩形ABCD中∠BAD为直角，因此四边形AEPF四个内角均为直角，可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得EF=AP，由此将求EF的最小值转化为求AP的最小值。接下来分析AP的特征：点A为定点，点P是定线段BD上的动点，根据“垂线段最短”的性质，当AP与BD垂直时，AP的长度最小，即EF取得最小值。最后通过勾股定理计算BD长度，再利用直角三角形的等面积法即可求出AP的最小值，也就是EF的最小值。
【解析】
解：如图，连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ ∠AEP=∠AFP=90°，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，
∴ 四边形AEPF为矩形，
∴ AP = EF，即求EF的最小值等价于求AP的最小值。
∵ 点P在BD上运动，根据垂线段最短，当AP⊥BD时，AP取最小值。
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
此时△ABD的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}AP·BD$，
代入数值得：$AP=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
即EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中的典型最值问题，解题核心是利用矩形对角线相等的性质完成线段转化，将动线段EF的最值问题转化为定点到定直线的最短距离问题，结合等面积法求解，有效考察了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
2[中]如图，$∠ MON=90°$,矩形$ABCD$的顶点$C$,$D$分别在射线$ON$,$OM$上滑动,$AB=9$,$BC=6$,在滑动过程中,点$A$到点$O$的最大距离为
小心踩坑鸭
12
.小心踩坑鸭
答案
2. 12 【解析】如图,取 CD 的中点 E,连接 OE,AE,OA.
∵ AB= 9,BC = 6,
∴ CD = 9,AD = 6,
∴ OE = DE = $\frac{1}{2}CD=\frac{9}{2},AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{(\frac{9}{2})^2+6^2} = \frac{15}{2}$.
∵ OA≤OE+AE,
∴ 当 O,A,E 三点共线时,点 A 到点 O 的距离最大,
∴ OA 的最大值为 $\frac{9}{2}+\frac{15}{2}=12$.
故答案为 12.
解析
【分析】
本题为动态几何中的最值问题，可按以下思路求解：首先，观察到∠MON始终为直角，滑动过程中△OCD恒为直角三角形，取CD中点E，由直角三角形斜边中线性质可知OE为定值；其次，矩形边长固定，可通过勾股定理求出点A到点E的距离，AE也为定值；最后根据三角形三边关系，OA的长度不超过OE与AE的和，当O、A、E三点共线时OA取得最大值，即两定值线段的和。
【解析】
解：如图，取CD的中点E，连接OE、AE、OA。
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=9，BC=6，
∴ CD=AB=9，AD=BC=6，∠ADE=90°。
∵ ∠MON=90°，E为CD的中点，
∴ 在Rt△OCD中，$OE=DE=\frac{1}{2}CD=\frac{9}{2}$。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$。
根据三角形三边关系可得$OA≤ OE+AE$，
∴ 当O、A、E三点共线时，点A到点O的距离最大，最大值为$\frac{9}{2}+\frac{15}{2}=12$。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形三边关系
【点评】
本题是特殊平行四边形最值问题的典型考法，解题核心是构造两条长度固定的线段，结合三边关系确定最值的取等条件，这种取斜边中点构造定值线段的技巧在动态几何最值问题中十分常用，要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
本题为动态几何中的最值问题，可按以下思路求解：首先，观察到∠MON始终为直角，滑动过程中△OCD恒为直角三角形，取CD中点E，由直角三角形斜边中线性质可知OE为定值；其次，矩形边长固定，可通过勾股定理求出点A到点E的距离，AE也为定值；最后根据三角形三边关系，OA的长度不超过OE与AE的和，当O、A、E三点共线时OA取得最大值，即两定值线段的和。
【解析】
解：如图，取CD的中点E，连接OE、AE、OA。
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=9，BC=6，
∴ CD=AB=9，AD=BC=6，∠ADE=90°。
∵ ∠MON=90°，E为CD的中点，
∴ 在Rt△OCD中，$OE=DE=\frac{1}{2}CD=\frac{9}{2}$。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$。
根据三角形三边关系可得$OA≤ OE+AE$，
∴ 当O、A、E三点共线时，点A到点O的距离最大，最大值为$\frac{9}{2}+\frac{15}{2}=12$。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形三边关系
【点评】
本题是特殊平行四边形最值问题的典型考法，解题核心是构造两条长度固定的线段，结合三边关系确定最值的取等条件，这种取斜边中点构造定值线段的技巧在动态几何最值问题中十分常用，要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
3[较难]如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，DC上两个动点，满足AE=DF，连接AF，BE交于点H，连接DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值为
2√5-2
。答案
3. $2\sqrt{5}-2$ 【解析】如图所示,取 AB 的中点 O,连接 OH,OD.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=DA, ∠BAE = ∠ADF = 90°. 在△BAE 和△ADF 中,
∵ $\begin{cases} AE=DF, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ $△ BAE ≌ △ ADF$ ( SAS ),
∴ ∠ABE=∠DAF.
∵ ∠DAF+∠BAF=90°,
∴ ∠ABE+∠BAF=90°,
∴ ∠AHB=90°,
∴ $OH=\frac{1}{2}AB=2$.
∵ $OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ 当 O,D,H 三点在一条直线上时, DH 长度最小,此时 DH = OD-OH=$2\sqrt{5}-2$. 故答案为 $2\sqrt{5}-2$.
解析
【分析】
解决本题的核心是先确定动点H的运动轨迹，再计算最短距离：①首先利用正方形的性质和已知AE=DF，证明△BAE≌△ADF，通过角的等量代换推导出∠AHB=90°；②由直角三角形斜边中线的性质可得，H到AB中点O的距离恒为AB长度的一半，因此H的轨迹是以O为圆心，AB长的一半为半径的圆弧；③求DH的最小值可转化为圆外一点D到圆上点的最短距离，根据两点之间线段最短，当O、H、D三点共线时，DH最短，代入数值计算即可。
【解析】
取AB的中点O，连接OH、OD。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。
在△BAE和△ADF中：
$\begin{cases} AE=DF \\ ∠BAE=∠ADF \\ AB=AD \end{cases}$
∴ △BAE ≌ △ADF（SAS），
∴ ∠ABE=∠DAF。
∵ ∠DAF+∠BAF=90°，
∴ ∠ABE+∠BAF=90°，
∴ ∠AHB=90°。
∵ O为AB的中点，在Rt△AHB中，斜边中线等于斜边的一半，
∴ $OH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
在Rt△OAD中，OA=2，AD=4，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
根据两点之间线段最短，当O、H、D三点共线时，DH的长度最小，
此时$DH=OD-OH=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；动点最值计算
【点评】
本题是特殊平行四边形中的常见最值题型，解题关键是通过全等推导角的关系确定动点的轨迹为圆弧，再结合几何性质求最短距离，能够很好地考查学生的几何综合分析能力和模型应用能力。
【难度系数】
0.3
解决本题的核心是先确定动点H的运动轨迹，再计算最短距离：①首先利用正方形的性质和已知AE=DF，证明△BAE≌△ADF，通过角的等量代换推导出∠AHB=90°；②由直角三角形斜边中线的性质可得，H到AB中点O的距离恒为AB长度的一半，因此H的轨迹是以O为圆心，AB长的一半为半径的圆弧；③求DH的最小值可转化为圆外一点D到圆上点的最短距离，根据两点之间线段最短，当O、H、D三点共线时，DH最短，代入数值计算即可。
【解析】
取AB的中点O，连接OH、OD。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。
在△BAE和△ADF中：
$\begin{cases} AE=DF \\ ∠BAE=∠ADF \\ AB=AD \end{cases}$
∴ △BAE ≌ △ADF（SAS），
∴ ∠ABE=∠DAF。
∵ ∠DAF+∠BAF=90°，
∴ ∠ABE+∠BAF=90°，
∴ ∠AHB=90°。
∵ O为AB的中点，在Rt△AHB中，斜边中线等于斜边的一半，
∴ $OH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
在Rt△OAD中，OA=2，AD=4，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
根据两点之间线段最短，当O、H、D三点共线时，DH的长度最小，
此时$DH=OD-OH=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；动点最值计算
【点评】
本题是特殊平行四边形中的常见最值题型，解题关键是通过全等推导角的关系确定动点的轨迹为圆弧，再结合几何性质求最短距离，能够很好地考查学生的几何综合分析能力和模型应用能力。
【难度系数】
0.3
4[2026山东济宁质检,中]如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点,则PA+PG的最小值是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4. B 【解析】如图,连接 DG.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°.
∵ EF=2,点 G 为 EF 的中点,
∴ DG = $\frac{1}{2}EF=1$. 作点 A 关于 BC 的对称点 A',连接 A'D,交 BC 于点 P,则 PA'=PA,
∴ PA+PG=PA'+PG,
∴ 当点 A',P,G,D 共线时,PA+PG 的值最小,最小值为 A'G 的长.
∵ AB=2,AD=3,
∴ AA'=4,
∴ A'D= $\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴ A'G=A'D-DG=5-1=4,
∴ PA+PG 的最小值为 4. 故选 B.
解析
【分析】
本题是特殊平行四边形中的线段和最值问题，解题思路可分为两步：①先确定动点G的运动规律：矩形中∠EDF=90°，G是直角三角形EDF斜边EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DG的长度恒为1，即G点在以D为圆心、半径为1的圆上运动；②利用轴对称转化线段求最小值：作点A关于BC的对称点A'，由轴对称性质可知PA=PA'，因此PA+PG可转化为PA'+PG，当A'、P、G、D四点共线时，PA'+PG的值最小，最小值为A'D的长度减去DG的长度，最后代入数值计算即可。
【解析】
如图，连接DG。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°。
∵ EF=2，点G为EF的中点，
∴ $DG = \frac{1}{2}EF=1$。
作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P，根据轴对称的性质可得$PA'=PA$，
∴ $PA+PG=PA'+PG$，
∴ 当点A'、P、G、D共线时，PA+PG的值最小，最小值为$A'G$的长。
∵ AB=2，
∴ $AA'=2AB=4$，又AD=3，
在$Rt△ A'AD$中，由勾股定理得：
$A'D= \sqrt{AA'^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ $A'G=A'D-DG=5-1=4$，
即PA+PG的最小值为4。
【答案】B
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；轴对称最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，综合考查了矩形、直角三角形、轴对称的相关性质，解题的核心是通过性质分析确定动点轨迹，再利用轴对称转化线段和，能够很好地考查学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是特殊平行四边形中的线段和最值问题，解题思路可分为两步：①先确定动点G的运动规律：矩形中∠EDF=90°，G是直角三角形EDF斜边EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DG的长度恒为1，即G点在以D为圆心、半径为1的圆上运动；②利用轴对称转化线段求最小值：作点A关于BC的对称点A'，由轴对称性质可知PA=PA'，因此PA+PG可转化为PA'+PG，当A'、P、G、D四点共线时，PA'+PG的值最小，最小值为A'D的长度减去DG的长度，最后代入数值计算即可。
【解析】
如图，连接DG。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°。
∵ EF=2，点G为EF的中点，
∴ $DG = \frac{1}{2}EF=1$。
作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P，根据轴对称的性质可得$PA'=PA$，
∴ $PA+PG=PA'+PG$，
∴ 当点A'、P、G、D共线时，PA+PG的值最小，最小值为$A'G$的长。
∵ AB=2，
∴ $AA'=2AB=4$，又AD=3，
在$Rt△ A'AD$中，由勾股定理得：
$A'D= \sqrt{AA'^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴ $A'G=A'D-DG=5-1=4$，
即PA+PG的最小值为4。
【答案】B
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；轴对称最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，综合考查了矩形、直角三角形、轴对称的相关性质，解题的核心是通过性质分析确定动点轨迹，再利用轴对称转化线段和，能够很好地考查学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025河南洛阳质检,中]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=10,BD=24,点E,F分别是线段OD,AD上的动点,连接AE,EF,则AE+EF的最小值为
$\frac{120}{13}$
.答案
5. $\frac{120}{13}$ 【解析】如图,连接 CE,过点 C 作 $CF' ⊥ AD$ 于 $F'$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ 点 A 与点 C 关于直线 BD 对称,
∴ AE = CE,
∴ AE+EF = CE+EF ≥ CF',
∴ AE+EF 的最小值为 CF' 的长.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 10,BD = 24,
∴ AC ⊥ BD,OA = $\frac{1}{2}AC=5,OD=\frac{1}{2}BD=12$,
∴ 由勾股定理,得 $AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,
∴ $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD=AD · CF'$,
∴ $\frac{1}{2}×10×24=13CF'$, 解得 $CF'=\frac{120}{13}$, 即 AE+EF 的最小值为 $\frac{120}{13}$. 故答案为 $\frac{120}{13}$.
解析
【分析】
本题为特殊平行四边形中的线段和最值问题，解题思路可分为三步：第一步，利用菱形的轴对称性，对角线BD是菱形的一条对称轴，点A和点C关于BD对称，因此可将AE转化为相等的CE，把求AE+EF的最小值转化为求CE+EF的最小值；第二步，根据“垂线段最短”，可知当C、E、F三点共线且该线段垂直于AD时，CE+EF的长度最小，即最小值为点C到AD的垂线段长度；第三步，先借助菱形对角线的性质和勾股定理求出菱形的边长，再用菱形面积的两种计算方法求出该垂线段的长度即可。
【解析】
解：连接CE，过点C作$CF' ⊥ AD$于$F'$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 点A与点C关于直线BD对称，
∴ $AE = CE$，
∴ $AE+EF = CE+EF$，根据垂线段最短可得$CE+EF ≥ CF'$，即AE+EF的最小值为$CF'$的长。
∵ 四边形ABCD是菱形，$AC = 10$，$BD = 24$，
∴ $AC ⊥ BD$，$OA = \frac{1}{2}AC=5$，$OD=\frac{1}{2}BD=12$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵ $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD=AD · CF'$，
∴ $\frac{1}{2}×10×24=13CF'$，解得$CF'=\frac{120}{13}$。
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
菱形的性质，轴对称求最值，等积法计算
【点评】
本题是特殊平行四边形最值问题的典型考法，解题关键是利用轴对称性质将待求线段和进行转化，结合垂线段最短确定最小值对应的线段，再通过面积法计算求解，很好地体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.6
本题为特殊平行四边形中的线段和最值问题，解题思路可分为三步：第一步，利用菱形的轴对称性，对角线BD是菱形的一条对称轴，点A和点C关于BD对称，因此可将AE转化为相等的CE，把求AE+EF的最小值转化为求CE+EF的最小值；第二步，根据“垂线段最短”，可知当C、E、F三点共线且该线段垂直于AD时，CE+EF的长度最小，即最小值为点C到AD的垂线段长度；第三步，先借助菱形对角线的性质和勾股定理求出菱形的边长，再用菱形面积的两种计算方法求出该垂线段的长度即可。
【解析】
解：连接CE，过点C作$CF' ⊥ AD$于$F'$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 点A与点C关于直线BD对称，
∴ $AE = CE$，
∴ $AE+EF = CE+EF$，根据垂线段最短可得$CE+EF ≥ CF'$，即AE+EF的最小值为$CF'$的长。
∵ 四边形ABCD是菱形，$AC = 10$，$BD = 24$，
∴ $AC ⊥ BD$，$OA = \frac{1}{2}AC=5$，$OD=\frac{1}{2}BD=12$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵ $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD=AD · CF'$，
∴ $\frac{1}{2}×10×24=13CF'$，解得$CF'=\frac{120}{13}$。
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
菱形的性质，轴对称求最值，等积法计算
【点评】
本题是特殊平行四边形最值问题的典型考法，解题关键是利用轴对称性质将待求线段和进行转化，结合垂线段最短确定最小值对应的线段，再通过面积法计算求解，很好地体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.6
6[较难]如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为
$4+3\sqrt{3}$
.答案
6. $4+3\sqrt{3}$ 【解析】如图(1),将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM'D',连接 MM',DD'. 由旋转的性质可知,MD = M'D',AM = AM',AD = AD',∠MAM' = ∠DAD' = 60°,
∴ △ADD' 和△AMM' 均为等边三角形,
∴ AM = MM',
∴ MA+MD+ME = D'M'+MM'+ME.
∵ 点 E 为动点,
∴ 当 D',M',M,E 共线,且 D'E ⊥ BC 时,MA+MD+ME 的值最小,如图(2),设 D'E 交 AD 于 G,此时易求得 D'E = D'G+GE = $4+3\sqrt{3}$,
∴ MA+MD+ME 的最小值为 $4+3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题是求三条共端点线段和的最小值，属于费马点类最短路径问题，解题思路如下：首先可通过旋转60°的几何变换，将分散的三条线段转化为首尾相接的线段：将△AMD绕点A逆时针旋转60°，结合旋转性质和等边三角形的判定，可把MA转化为MM'，MD转化为M'D'，此时MA+MD+ME就转化为D'M'+MM'+ME；其次根据“两点之间线段最短”，要让这个和最小，需D'、M'、M、E四点共线，又因为E是BC边上的动点，结合“垂线段最短”，共线后的线段还需垂直于BC，此时的长度就是最小值；最后计算该垂线段的长度即可得到结果。
【解析】
如图(1)，将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM'D'，连接 MM',DD'。
由旋转的性质可知：$MD = M'D'$，$AM = AM'$，$AD = AD'$，$∠ MAM' = ∠ DAD' = 60°$，
∴ $△ ADD'$ 和$△ AMM'$ 均为等边三角形，
∴ $AM = MM'$，
∴ $MA+MD+ME = D'M'+MM'+ME$。
∵ 点 E 为BC边上的动点，
∴ 当 $D',M',M,E$ 共线，且 $D'E ⊥ BC$ 时，$MA+MD+ME$ 的值最小，如图(2)。
设 $D'E$ 交 $AD$ 于 $G$，此时$EG⊥ AD$，$EG=AB=4$，$D'G$是等边$△ ADD'$的高，$AD=BC=6$，故$D'G=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ $D'E = D'G+GE = 4+3\sqrt{3}$。
【答案】
$4+3\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径问题，旋转的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题考查几何变换在最值问题中的应用，解题核心是通过旋转构造等边三角形，将三条共端点的线段转化为可共线的线段链，再结合垂线段最短的性质求最小值，对学生的辅助线构造能力和几何模型应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题是求三条共端点线段和的最小值，属于费马点类最短路径问题，解题思路如下：首先可通过旋转60°的几何变换，将分散的三条线段转化为首尾相接的线段：将△AMD绕点A逆时针旋转60°，结合旋转性质和等边三角形的判定，可把MA转化为MM'，MD转化为M'D'，此时MA+MD+ME就转化为D'M'+MM'+ME；其次根据“两点之间线段最短”，要让这个和最小，需D'、M'、M、E四点共线，又因为E是BC边上的动点，结合“垂线段最短”，共线后的线段还需垂直于BC，此时的长度就是最小值；最后计算该垂线段的长度即可得到结果。
【解析】
如图(1)，将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM'D'，连接 MM',DD'。
由旋转的性质可知：$MD = M'D'$，$AM = AM'$，$AD = AD'$，$∠ MAM' = ∠ DAD' = 60°$，
∴ $△ ADD'$ 和$△ AMM'$ 均为等边三角形，
∴ $AM = MM'$，
∴ $MA+MD+ME = D'M'+MM'+ME$。
∵ 点 E 为BC边上的动点，
∴ 当 $D',M',M,E$ 共线，且 $D'E ⊥ BC$ 时，$MA+MD+ME$ 的值最小，如图(2)。
设 $D'E$ 交 $AD$ 于 $G$，此时$EG⊥ AD$，$EG=AB=4$，$D'G$是等边$△ ADD'$的高，$AD=BC=6$，故$D'G=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴ $D'E = D'G+GE = 4+3\sqrt{3}$。
【答案】
$4+3\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径问题，旋转的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题考查几何变换在最值问题中的应用，解题核心是通过旋转构造等边三角形，将三条共端点的线段转化为可共线的线段链，再结合垂线段最短的性质求最小值，对学生的辅助线构造能力和几何模型应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
7 [2025 新疆乌鲁木齐校级期中，较难]如图，四边形ABCD是菱形，AB = 6，且∠ABC = 60°，M是菱形内任意一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为
$6\sqrt{3}$
。答案
7. $6\sqrt{3}$ 【解析】如图,将△ABM 绕点 B 逆时针旋转60°得到△EBN,连接 MN,EC,作 EF⊥CB 交 CB 的延长线于点 F. 由旋转得 AB = BE,MB = NB,AM = EN,∠MBN = ∠ABE = 60°,
∴ △BMN 是等边三角形,
∴ BM = MN,
∴ AM+BM+CM = EN+MN+CM,
∴ 当 E,N,M,C 共线时,EN+MN+CM 的值最小,即 EN+MN+CM 的最小值为 CE 的长.
∵ ∠ABE = ∠ABC = 60°,
∴ ∠EBF = 60°.
∵ BC = AB = BE = 6,
∴ 易得 BF = 3,EF = $3\sqrt{3}$. 在 Rt△EFC 中,
∵ $EF^2+FC^2=EC^2$,
∴ $EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=6\sqrt{3}$,即 AM+BM+CM 的最小值为 $6\sqrt{3}$. 故答案为 $6\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题属于共端点线段和的最值问题，解题思路如下：首先观察到菱形邻边相等且∠ABC=60°，我们可以通过旋转法转化线段：将△ABM绕点B逆时针旋转60°，即可构造等边△BMN，把BM转化为等长的MN，AM转化为等长的EN，此时AM+BM+CM就转化为EN+MN+CM，根据两点之间线段最短，当E、N、M、C四点共线时，三条线段的和取得最小值，即为线段EC的长度，最后构造直角三角形，利用勾股定理计算EC的长度即可得到结果。
【解析】
将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN，连接MN、EC，作EF⊥CB交CB的延长线于点F。
由旋转的性质可知：AB=BE，MB=NB，AM=EN，∠MBN=∠ABE=60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM。
根据两点之间线段最短，当E、N、M、C四点共线时，EN+MN+CM的值最小，最小值为CE的长度。
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=BE=6，
又
∵∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=60°。
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，则∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=3，EF=$\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴FC=BF+BC=3+6=9。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+9^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，
即AM+BM+CM的最小值为$6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中的典型最值问题，核心是利用旋转法将分散的线段转化为可直接求最值的折线，结合等边三角形性质和两点之间线段最短确定最值位置，对几何转化思维的要求较高，掌握旋转法处理此类线段和最值问题是解题关键。
【难度系数】
0.3
本题属于共端点线段和的最值问题，解题思路如下：首先观察到菱形邻边相等且∠ABC=60°，我们可以通过旋转法转化线段：将△ABM绕点B逆时针旋转60°，即可构造等边△BMN，把BM转化为等长的MN，AM转化为等长的EN，此时AM+BM+CM就转化为EN+MN+CM，根据两点之间线段最短，当E、N、M、C四点共线时，三条线段的和取得最小值，即为线段EC的长度，最后构造直角三角形，利用勾股定理计算EC的长度即可得到结果。
【解析】
将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN，连接MN、EC，作EF⊥CB交CB的延长线于点F。
由旋转的性质可知：AB=BE，MB=NB，AM=EN，∠MBN=∠ABE=60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM。
根据两点之间线段最短，当E、N、M、C四点共线时，EN+MN+CM的值最小，最小值为CE的长度。
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=BE=6，
又
∵∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=60°。
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，则∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=3，EF=$\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴FC=BF+BC=3+6=9。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+9^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，
即AM+BM+CM的最小值为$6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中的典型最值问题，核心是利用旋转法将分散的线段转化为可直接求最值的折线，结合等边三角形性质和两点之间线段最短确定最值位置，对几何转化思维的要求较高，掌握旋转法处理此类线段和最值问题是解题关键。
【难度系数】
0.3
