登录
1.(海南中考节选)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$($a＞0$)经过$A(4,0)$,$B(-2,6)$两点.点$P(x_0,y_0)$是线段$AB$上的动点,过点$P$作$PQ⊥ x$轴交抛物线于点$Q$.若$c=-4$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段$PQ$长度的最大值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段$PQ$长度的最大值.
答案
1. 解:(1)
∵$c=-4$,
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx-4$.
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过A(4,0),B(-2,6)两点,
∴$\begin{cases}0=16a+4b-4,\\6=4a-2b-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-3.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-3x-4$.
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,将点A,B代入,得$\begin{cases}0=4k+b,\\6=-2k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$
∴$y=-x+4$.
∵点$P(x_0,y_0)$是线段AB上的动点,过点P作$PQ⊥x$轴交抛物线于点Q,
∴$P(x_0,-x_0+4)$,$Q(x_0,x_0^2-3x_0-4)$.
∴$|PQ|=-x_0+4-(x_0^2-3x_0-4)=-(x_0-1)^2+9$,由题意,得$-2≤x_0≤4$.
∴当$x_0=1$时,$|PQ|$取得最大值9.
∵$c=-4$,
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx-4$.
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过A(4,0),B(-2,6)两点,
∴$\begin{cases}0=16a+4b-4,\\6=4a-2b-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-3.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-3x-4$.
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,将点A,B代入,得$\begin{cases}0=4k+b,\\6=-2k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$
∴$y=-x+4$.
∵点$P(x_0,y_0)$是线段AB上的动点,过点P作$PQ⊥x$轴交抛物线于点Q,
∴$P(x_0,-x_0+4)$,$Q(x_0,x_0^2-3x_0-4)$.
∴$|PQ|=-x_0+4-(x_0^2-3x_0-4)=-(x_0-1)^2+9$,由题意,得$-2≤x_0≤4$.
∴当$x_0=1$时,$|PQ|$取得最大值9.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知常数项$c=-4$，且抛物线经过$A(4,0)$、$B(-2,6)$两个点，我们可以将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定抛物线解析式。
(2) 求线段$PQ$的最大值，首先需要先求出直线$AB$的解析式：由于$PQ$垂直$x$轴，所以$P$、$Q$两点横坐标相同，我们可以分别用直线、抛物线的解析式表示出$P$、$Q$的纵坐标，$PQ$的长度等于上方$P$点的纵坐标减去下方$Q$点的纵坐标，整理后得到关于横坐标$x_0$的二次函数，结合$x_0$的取值范围，通过配方即可求出二次函数的最大值，也就是$PQ$的最大值。
【解析】
(1) $\because c=-4$，$\therefore$ 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx-4$。
$\because$ 抛物线经过$A(4,0)$、$B(-2,6)$两点，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}0=16a+4b-4\\6=4a-2b-4\end{cases}$
解方程组，化简得$\begin{cases}4a+b=1\\2a-b=5\end{cases}$，两式相加得$6a=6$，解得$a=1$，代入$4a+b=1$得$b=-3$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-3x-4$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(-2,6)$代入得：
$\begin{cases}0=4k+b\\6=-2k+b\end{cases}$
解方程组，两式相减得$-6=6k$，解得$k=-1$，代入$0=4k+b$得$b=4$。
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x+4$。
$\because$ 点$P(x_0,y_0)$在线段$AB$上，$PQ⊥ x$轴交抛物线于$Q$，$\therefore P(x_0,-x_0+4)$，$Q(x_0,x_0^2-3x_0-4)$。
线段$PQ$的长度为：
$PQ=(-x_0+4)-(x_0^2-3x_0-4)=-x_0^2+2x_0+8=-(x_0-1)^2+9$
由$P$在线段$AB$上得$x_0$的取值范围为$-2≤ x_0≤4$，二次函数开口向下，顶点横坐标$x_0=1$在取值范围内，因此当$x_0=1$时，$PQ$取得最大值。
【答案】
(1) $y=x^2-3x-4$
(2) $9$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规综合题，重点考查待定系数法求函数解析式的应用，以及二次函数最值的求解方法，解题的核心是将线段长度转化为关于横坐标的二次函数，转化过程中要注意自变量的取值范围，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知常数项$c=-4$，且抛物线经过$A(4,0)$、$B(-2,6)$两个点，我们可以将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定抛物线解析式。
(2) 求线段$PQ$的最大值，首先需要先求出直线$AB$的解析式：由于$PQ$垂直$x$轴，所以$P$、$Q$两点横坐标相同，我们可以分别用直线、抛物线的解析式表示出$P$、$Q$的纵坐标，$PQ$的长度等于上方$P$点的纵坐标减去下方$Q$点的纵坐标，整理后得到关于横坐标$x_0$的二次函数，结合$x_0$的取值范围，通过配方即可求出二次函数的最大值，也就是$PQ$的最大值。
【解析】
(1) $\because c=-4$，$\therefore$ 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx-4$。
$\because$ 抛物线经过$A(4,0)$、$B(-2,6)$两点，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}0=16a+4b-4\\6=4a-2b-4\end{cases}$
解方程组，化简得$\begin{cases}4a+b=1\\2a-b=5\end{cases}$，两式相加得$6a=6$，解得$a=1$，代入$4a+b=1$得$b=-3$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-3x-4$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(-2,6)$代入得：
$\begin{cases}0=4k+b\\6=-2k+b\end{cases}$
解方程组，两式相减得$-6=6k$，解得$k=-1$，代入$0=4k+b$得$b=4$。
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x+4$。
$\because$ 点$P(x_0,y_0)$在线段$AB$上，$PQ⊥ x$轴交抛物线于$Q$，$\therefore P(x_0,-x_0+4)$，$Q(x_0,x_0^2-3x_0-4)$。
线段$PQ$的长度为：
$PQ=(-x_0+4)-(x_0^2-3x_0-4)=-x_0^2+2x_0+8=-(x_0-1)^2+9$
由$P$在线段$AB$上得$x_0$的取值范围为$-2≤ x_0≤4$，二次函数开口向下，顶点横坐标$x_0=1$在取值范围内，因此当$x_0=1$时，$PQ$取得最大值。
【答案】
(1) $y=x^2-3x-4$
(2) $9$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规综合题，重点考查待定系数法求函数解析式的应用，以及二次函数最值的求解方法，解题的核心是将线段长度转化为关于横坐标的二次函数，转化过程中要注意自变量的取值范围，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.7
2.(东营中考节选)如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$,其中$A(-1,0),C(0,5)$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点$P$为对称轴上一点,当$△ ACP$的周长最小时,求点$P$的坐标.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点$P$为对称轴上一点,当$△ ACP$的周长最小时,求点$P$的坐标.
答案
2. 解:(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点A(-1,0),C(0,5),
∴$\begin{cases}0=-1-b+c,\\5=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$.
(2)
∵抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
∴抛物线的对称轴为x=2,点B的坐标为(5,0).连接BC交对称轴于点P,则点P即为所求.设直线BC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$,则$\begin{cases}0=5m+n,\\5=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$
∴直线BC的解析式为$y=-x+5$.当x=2时,y=3.
∴点P的坐标为(2,3).
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点A(-1,0),C(0,5),
∴$\begin{cases}0=-1-b+c,\\5=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$.
(2)
∵抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
∴抛物线的对称轴为x=2,点B的坐标为(5,0).连接BC交对称轴于点P,则点P即为所求.设直线BC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$,则$\begin{cases}0=5m+n,\\5=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$
∴直线BC的解析式为$y=-x+5$.当x=2时,y=3.
∴点P的坐标为(2,3).
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过两个定点A、C，可采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解方程组即可得到参数值，确定解析式。
(2) △ACP的周长为AC+AP+CP，其中AC是定长，因此周长最小等价于AP+CP最小。由于抛物线是轴对称图形，点A和点B关于对称轴对称，故对称轴上的点P满足AP=BP，可将AP+CP转化为BP+CP，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时BP+CP最小，因此只需求出直线BC与对称轴的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 将A(-1,0)、C(0,5)代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}0=-(-1)^2 -b +c\\5=c\end{cases}$
化简得$\begin{cases}0=-1-b+c\\5=c\end{cases}$，把c=5代入第一个方程，解得b=4。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，可得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，解得$x=-1$或$x=5$，故点B坐标为(5,0)。
设直线BC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
$\begin{cases}0=5m+n\\5=n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线BC解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入直线BC解析式，得$y=-2+5=3$，因此点P坐标为(2,3)。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) $(2,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式、轴对称最短路径、二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，第二问需要结合轴对称性质将周长最值问题转化为线段和最值问题，考查转化思想的运用，是二次函数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过两个定点A、C，可采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解方程组即可得到参数值，确定解析式。
(2) △ACP的周长为AC+AP+CP，其中AC是定长，因此周长最小等价于AP+CP最小。由于抛物线是轴对称图形，点A和点B关于对称轴对称，故对称轴上的点P满足AP=BP，可将AP+CP转化为BP+CP，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时BP+CP最小，因此只需求出直线BC与对称轴的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 将A(-1,0)、C(0,5)代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}0=-(-1)^2 -b +c\\5=c\end{cases}$
化简得$\begin{cases}0=-1-b+c\\5=c\end{cases}$，把c=5代入第一个方程，解得b=4。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，可得抛物线对称轴为直线$x=2$。
令$y=0$，解得$x=-1$或$x=5$，故点B坐标为(5,0)。
设直线BC的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
$\begin{cases}0=5m+n\\5=n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线BC解析式为$y=-x+5$。
将$x=2$代入直线BC解析式，得$y=-2+5=3$，因此点P坐标为(2,3)。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) $(2,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式、轴对称最短路径、二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是待定系数法的常规应用，第二问需要结合轴对称性质将周长最值问题转化为线段和最值问题，考查转化思想的运用，是二次函数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
3.(广元中考节选)在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2+bx-4(a＞0)$与$x$轴交于点$A$和点$B(-4,0)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求$b$与$a$的关系；
(2)如图，当$a=\frac{1}{2}$时，点$P$在抛物线上，$S_{△ PBC}=4$，求点$P$的坐标.
(1)求$b$与$a$的关系；
(2)如图，当$a=\frac{1}{2}$时，点$P$在抛物线上，$S_{△ PBC}=4$，求点$P$的坐标.
答案
3. 解:(1)将B(-4,0)代入$y=ax^2+bx-4$,得$b=4a-1$.
(2)
∵$a=\frac{1}{2}$,
∴$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$.
∴C(0,-4).设直线BC的解析式为$y=kx-4$,
∴$-4k-4=0$,解得k=-1.
∴$y=-x-4$.过点P作PG//y轴交直线BC与点G,设$P(t,\frac{1}{2}t^2+t-4)$,则G(t,-t-4),
∴$S_{△PBC}=\frac{1}{2}×4×\left|\frac{1}{2}t^2+t-4+t+4\right|=4$,解得$t_1=-2$,$t_2=2\sqrt{2}-2$,$t_3=-2\sqrt{2}-2$.
∴$P(-2,-4)$或$(2\sqrt{2}-2,-2\sqrt{2})$或$(-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2})$.
(2)
∵$a=\frac{1}{2}$,
∴$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$.
∴C(0,-4).设直线BC的解析式为$y=kx-4$,
∴$-4k-4=0$,解得k=-1.
∴$y=-x-4$.过点P作PG//y轴交直线BC与点G,设$P(t,\frac{1}{2}t^2+t-4)$,则G(t,-t-4),
∴$S_{△PBC}=\frac{1}{2}×4×\left|\frac{1}{2}t^2+t-4+t+4\right|=4$,解得$t_1=-2$,$t_2=2\sqrt{2}-2$,$t_3=-2\sqrt{2}-2$.
∴$P(-2,-4)$或$(2\sqrt{2}-2,-2\sqrt{2})$或$(-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2})$.
解析
【分析】
(1) 已知点B在抛物线上，根据“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”，将点B(-4,0)代入抛物线表达式，整理即可得到b与a的关系。
(2) 先将$a=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，确定抛物线的具体表达式，求出点C的坐标；再用待定系数法求出直线BC的解析式。计算$△ PBC$的面积时，采用常用的“铅垂高法”：过点P作平行于y轴的直线交BC于点G，以PG为铅垂高，$△ PBC$的水平宽度为点B到y轴的水平距离4，利用三角形面积公式列方程，求解得到点P的横坐标，再代入抛物线解析式得到对应纵坐标，注意解方程时绝对值有两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 将点B(-4,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-4$，得：
$a×(-4)^2 + b×(-4) -4 = 0$
整理得：$16a -4b -4 = 0$，化简后可得$b=4a-1$。
(2) 当$a=\frac{1}{2}$时，代入抛物线解析式得：
$y=\frac{1}{2}x^2 +x -4$
当x=0时，y=-4，
∴点C坐标为(0,-4)。
设直线BC的解析式为$y=kx-4$，将B(-4,0)代入得：
$-4k -4 = 0$，解得$k=-1$，即直线BC的解析式为$y=-x-4$。
过点P作PG//y轴，交直线BC于点G，设点P的横坐标为t，则$P(t,\frac{1}{2}t^2 +t -4)$，$G(t,-t-4)$。
$△ PBC$的面积可表示为$\frac{1}{2} × 水平宽度 × |PG|$，其中水平宽度为B、C两点的水平距离4，$|PG|= \left|\frac{1}{2}t^2 +t -4 - (-t -4)\right| = \left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right|$，结合$S_{△ PBC}=4$列方程：
$\frac{1}{2} × 4 × \left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right| =4$
化简得：$\left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right| =2$
分两种情况求解：
① 当$\frac{1}{2}t^2 +2t = 2$时，整理得$t^2 +4t -4 =0$，解得$t=-2\pm2\sqrt{2}$；
② 当$\frac{1}{2}t^2 +2t = -2$时，整理得$t^2 +4t +4=0$，解得$t=-2$。
将t的三个值分别代入抛物线解析式，即可得到对应点P的坐标。
【答案】
(1) $b=4a-1$
(2) 点P的坐标为$(-2,-4)$或$(2\sqrt{2}-2,-2\sqrt{2})$或$(-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2})$
【知识点】
二次函数点坐标特征，待定系数法求解析式，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查函数图像上点的坐标性质，难度较低；第二问用到的铅垂法是求解坐标系中斜三角形面积的常用技巧，解题时注意绝对值方程需要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点B在抛物线上，根据“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”，将点B(-4,0)代入抛物线表达式，整理即可得到b与a的关系。
(2) 先将$a=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，确定抛物线的具体表达式，求出点C的坐标；再用待定系数法求出直线BC的解析式。计算$△ PBC$的面积时，采用常用的“铅垂高法”：过点P作平行于y轴的直线交BC于点G，以PG为铅垂高，$△ PBC$的水平宽度为点B到y轴的水平距离4，利用三角形面积公式列方程，求解得到点P的横坐标，再代入抛物线解析式得到对应纵坐标，注意解方程时绝对值有两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 将点B(-4,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-4$，得：
$a×(-4)^2 + b×(-4) -4 = 0$
整理得：$16a -4b -4 = 0$，化简后可得$b=4a-1$。
(2) 当$a=\frac{1}{2}$时，代入抛物线解析式得：
$y=\frac{1}{2}x^2 +x -4$
当x=0时，y=-4，
∴点C坐标为(0,-4)。
设直线BC的解析式为$y=kx-4$，将B(-4,0)代入得：
$-4k -4 = 0$，解得$k=-1$，即直线BC的解析式为$y=-x-4$。
过点P作PG//y轴，交直线BC于点G，设点P的横坐标为t，则$P(t,\frac{1}{2}t^2 +t -4)$，$G(t,-t-4)$。
$△ PBC$的面积可表示为$\frac{1}{2} × 水平宽度 × |PG|$，其中水平宽度为B、C两点的水平距离4，$|PG|= \left|\frac{1}{2}t^2 +t -4 - (-t -4)\right| = \left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right|$，结合$S_{△ PBC}=4$列方程：
$\frac{1}{2} × 4 × \left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right| =4$
化简得：$\left|\frac{1}{2}t^2 +2t\right| =2$
分两种情况求解：
① 当$\frac{1}{2}t^2 +2t = 2$时，整理得$t^2 +4t -4 =0$，解得$t=-2\pm2\sqrt{2}$；
② 当$\frac{1}{2}t^2 +2t = -2$时，整理得$t^2 +4t +4=0$，解得$t=-2$。
将t的三个值分别代入抛物线解析式，即可得到对应点P的坐标。
【答案】
(1) $b=4a-1$
(2) 点P的坐标为$(-2,-4)$或$(2\sqrt{2}-2,-2\sqrt{2})$或$(-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2})$
【知识点】
二次函数点坐标特征，待定系数法求解析式，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查函数图像上点的坐标性质，难度较低；第二问用到的铅垂法是求解坐标系中斜三角形面积的常用技巧，解题时注意绝对值方程需要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4.(通辽中考)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-\frac{3}{2}x+3$与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k$(k为常数)经过点D且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式;
(2)若点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
(1)求抛物线表示的函数解析式;
(2)若点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
答案
4. 解:(1)在$y=-\frac{3}{2}x+3$中,令x=0,得y=3.
∴D(0,3).
∵抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点D(0,3),
∴$3=-\frac{1}{4}×(0-2)^2+k$,解得k=4.
∴$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
∴抛物线表示的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
(2)连接OP,在$y=-\frac{3}{2}x+3$中,令y=0,得x=2.
∴C(2,0),OC=2.在$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$中,令y=0,得$0=-\frac{1}{4}x^2+x+3$,解得x=6或x=-2.
∴A(-2,0),OA=2.由$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$,得抛物线的顶点P的坐标为(2,4).
∴$S_{四边形ACPD}=S_{△AOD}+S_{△ODP}+S_{△OPC}=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×2×4=10$.
∴D(0,3).
∵抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点D(0,3),
∴$3=-\frac{1}{4}×(0-2)^2+k$,解得k=4.
∴$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
∴抛物线表示的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
(2)连接OP,在$y=-\frac{3}{2}x+3$中,令y=0,得x=2.
∴C(2,0),OC=2.在$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$中,令y=0,得$0=-\frac{1}{4}x^2+x+3$,解得x=6或x=-2.
∴A(-2,0),OA=2.由$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$,得抛物线的顶点P的坐标为(2,4).
∴$S_{四边形ACPD}=S_{△AOD}+S_{△ODP}+S_{△OPC}=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×2×4=10$.
解析
【分析】
(1) 先求出直线与y轴交点D的坐标，再将D点坐标代入抛物线的顶点式，即可求出参数k的值，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 先分别求出点A、点C、顶点P的坐标，四边形ACPD是不规则图形，可采用割补法，将其拆分为3个易求面积的三角形，分别计算三个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{3}{2}x+3$，令$x=0$，解得$y=3$，因此点D的坐标为$(0,3)$。
将$D(0,3)$代入抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k$，得：
$3=-\frac{1}{4}×(0-2)^2+k$
解得$k=4$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$。
(2) 对于直线$y=-\frac{3}{2}x+3$，令$y=0$，解得$x=2$，因此点C的坐标为$(2,0)$，$OC=2$。
对于抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$，令$y=0$，得方程$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=6$，因此点A的坐标为$(-2,0)$，$OA=2$。
由抛物线顶点式$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$，可得顶点P的坐标为$(2,4)$。
连接OP，将四边形ACPD拆分为$△ AOD$、$△ ODP$、$△ OPC$，则：
$S_{四边形ACPD}=S_{△ AOD}+S_{△ ODP}+S_{△ OPC}$
$=\frac{1}{2}× OA× OD+\frac{1}{2}× OD× 点P的横坐标+\frac{1}{2}× OC× 点P的纵坐标$
$=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×2×4$
$=3+3+4=10$
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+x+3}$；
(2) 四边形ACPD的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象与性质；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规题型，解题的核心是先根据函数表达式求出各个关键点的坐标，再利用割补法将不规则四边形转化为若干个规则图形的面积和计算，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 先求出直线与y轴交点D的坐标，再将D点坐标代入抛物线的顶点式，即可求出参数k的值，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 先分别求出点A、点C、顶点P的坐标，四边形ACPD是不规则图形，可采用割补法，将其拆分为3个易求面积的三角形，分别计算三个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\frac{3}{2}x+3$，令$x=0$，解得$y=3$，因此点D的坐标为$(0,3)$。
将$D(0,3)$代入抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k$，得：
$3=-\frac{1}{4}×(0-2)^2+k$
解得$k=4$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$。
(2) 对于直线$y=-\frac{3}{2}x+3$，令$y=0$，解得$x=2$，因此点C的坐标为$(2,0)$，$OC=2$。
对于抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$，令$y=0$，得方程$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=6$，因此点A的坐标为$(-2,0)$，$OA=2$。
由抛物线顶点式$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$，可得顶点P的坐标为$(2,4)$。
连接OP，将四边形ACPD拆分为$△ AOD$、$△ ODP$、$△ OPC$，则：
$S_{四边形ACPD}=S_{△ AOD}+S_{△ ODP}+S_{△ OPC}$
$=\frac{1}{2}× OA× OD+\frac{1}{2}× OD× 点P的横坐标+\frac{1}{2}× OC× 点P的纵坐标$
$=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×2×4$
$=3+3+4=10$
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+x+3}$；
(2) 四边形ACPD的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象与性质；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规题型，解题的核心是先根据函数表达式求出各个关键点的坐标，再利用割补法将不规则四边形转化为若干个规则图形的面积和计算，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
