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12.(洛阳期末)某公司经过市场调查,整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表:
已知该商品的进价为40元/件,设销售该商品的日销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,日销售利润最大?最大日销售利润为多少元?
(3)问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元,请直接写出结果.
已知该商品的进价为40元/件,设销售该商品的日销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,日销售利润最大?最大日销售利润为多少元?
(3)问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元,请直接写出结果.
答案
12. 解:(1)由题意,得$y=(x+60-40)(300-10x)=-10x^2+100x+6000$.
(2)$y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$,
∵-10＜0,故抛物线开口向下,当x=5时,y取得最大值,最大值为6250.
∴销售该商品第5天时,日销售利润最大,最大日销售利润为6250元.
(3)令$y=-10x^2+100x+6000=5440$,解得x=-4(舍去)或x=14.故当月有14天的日销售利润不低于5440元.
(2)$y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$,
∵-10＜0,故抛物线开口向下,当x=5时,y取得最大值,最大值为6250.
∴销售该商品第5天时,日销售利润最大,最大日销售利润为6250元.
(3)令$y=-10x^2+100x+6000=5440$,解得x=-4(舍去)或x=14.故当月有14天的日销售利润不低于5440元.
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数关系式时，首先明确日销售利润的计算逻辑：日销售利润=每件商品的利润×日销售量。其中每件利润=售价-进价，结合表格给出的售价、日销售量关于x的表达式，代入后整理即可得到函数关系式，注意x的取值范围为1≤x≤30。
(2) 求日销售利润最大值时，得到的y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将函数化为顶点式，结合x的取值范围即可找到最大值和对应的x值。
(3) 求日销售利润不低于5440元的天数时，令y≥5440，先解对应的一元二次方程得到方程的根，再结合抛物线开口方向和x的取值范围，确定满足不等式的x的取值区间，统计区间内的正整数个数即可得到天数。
【解析】
(1) 根据题意，每件商品的利润为$(x+60-40)$元，日销售量为$(300-10x)$件，因此：
$y=(x+60-40)(300-10x)$
$=(x+20)(300-10x)$
$=-10x^2+100x+6000$（$1≤ x≤30$，且x为正整数）。
(2) 将二次函数配方得：
$y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$
$\because$二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，且$1≤5≤30$符合x的取值范围，
$\therefore$当$x=5$时，y取得最大值，最大值为6250元。
(3) 令$y=5440$，即$-10x^2+100x+6000=5440$，
整理得$x^2-10x-56=0$，
解得$x_1=-4$（不符合x的取值范围，舍去），$x_2=14$。
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$1≤ x≤14$时，$y≥5440$，满足要求的正整数x共有14个。
【答案】
(1) $y=-10x^2+100x+6000$（$1≤ x≤30$，且x为正整数）
(2) 销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润为6250元
(3) 14天
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，核心是掌握利润的基本计算公式，能将实际问题转化为二次函数模型，结合二次函数的图像性质求最值、判断取值范围，解题时需注意自变量的实际取值范围，筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解y与x的函数关系式时，首先明确日销售利润的计算逻辑：日销售利润=每件商品的利润×日销售量。其中每件利润=售价-进价，结合表格给出的售价、日销售量关于x的表达式，代入后整理即可得到函数关系式，注意x的取值范围为1≤x≤30。
(2) 求日销售利润最大值时，得到的y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将函数化为顶点式，结合x的取值范围即可找到最大值和对应的x值。
(3) 求日销售利润不低于5440元的天数时，令y≥5440，先解对应的一元二次方程得到方程的根，再结合抛物线开口方向和x的取值范围，确定满足不等式的x的取值区间，统计区间内的正整数个数即可得到天数。
【解析】
(1) 根据题意，每件商品的利润为$(x+60-40)$元，日销售量为$(300-10x)$件，因此：
$y=(x+60-40)(300-10x)$
$=(x+20)(300-10x)$
$=-10x^2+100x+6000$（$1≤ x≤30$，且x为正整数）。
(2) 将二次函数配方得：
$y=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$
$\because$二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，且$1≤5≤30$符合x的取值范围，
$\therefore$当$x=5$时，y取得最大值，最大值为6250元。
(3) 令$y=5440$，即$-10x^2+100x+6000=5440$，
整理得$x^2-10x-56=0$，
解得$x_1=-4$（不符合x的取值范围，舍去），$x_2=14$。
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$1≤ x≤14$时，$y≥5440$，满足要求的正整数x共有14个。
【答案】
(1) $y=-10x^2+100x+6000$（$1≤ x≤30$，且x为正整数）
(2) 销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润为6250元
(3) 14天
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，核心是掌握利润的基本计算公式，能将实际问题转化为二次函数模型，结合二次函数的图像性质求最值、判断取值范围，解题时需注意自变量的实际取值范围，筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.7
13. 项目式学习
项目主题:无人机喷洒农药研究
项目背景:无人机喷洒农药高效、便捷,同时可以避免作业人员直接与农药接触,有利于增强喷药作业的安全性.
驱动问题:如何使无人机喷洒农药更高效、经济?
建立模型:
是无人机的示意图,其中点O为无人机的摄像头,A,B是喷药口,A,B,O在同一条水平直线上,AB=60 cm,
,以无人机摄像头所在位置O为坐标原点,竖直方向为y轴,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.喷药口点A和点B到点O的距离相等,每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线,抛物线与y轴的交点为C,OC=300 cm.
(1)依题意,得点A的坐标为:
求出点A所在抛物线的函数解析式;
问题解决:
(2)启动无人机后,无人机摄像头距地面的初始高度为300 cm,为了精准喷药,需要调整无人机的高度到
位置,使相邻田地之间的田埂(宽度为EF的区域,且EF=30 cm时,田埂高度忽略不计)恰好不被喷洒农药,求无人机应该下降的高度;
(3)如图[4],在直线AB上再增加2个喷药口M和N,M在A左侧,N在B右侧,MA=AB=BN,当无人机上升到距地面的高度为480 cm时,请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长.
项目主题:无人机喷洒农药研究
项目背景:无人机喷洒农药高效、便捷,同时可以避免作业人员直接与农药接触,有利于增强喷药作业的安全性.
驱动问题:如何使无人机喷洒农药更高效、经济?
建立模型:
是无人机的示意图,其中点O为无人机的摄像头,A,B是喷药口,A,B,O在同一条水平直线上,AB=60 cm,,以无人机摄像头所在位置O为坐标原点,竖直方向为y轴,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.喷药口点A和点B到点O的距离相等,每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线,抛物线与y轴的交点为C,OC=300 cm.(1)依题意,得点A的坐标为:
(-30,0)
;求出点A所在抛物线的函数解析式;
问题解决:
(2)启动无人机后,无人机摄像头距地面的初始高度为300 cm,为了精准喷药,需要调整无人机的高度到
位置,使相邻田地之间的田埂(宽度为EF的区域,且EF=30 cm时,田埂高度忽略不计)恰好不被喷洒农药,求无人机应该下降的高度;(3)如图[4],在直线AB上再增加2个喷药口M和N,M在A左侧,N在B右侧,MA=AB=BN,当无人机上升到距地面的高度为480 cm时,请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长.
答案
13. 解:(1)(-30,0)
∵OC=300 cm,
∴点C的坐标为(0,-300).设点A所在抛物线的函数解析式为$y=a(x+30)^2$,将点C(0,-300)代入,得$-300=900a$,解得$a=-\frac{1}{3}$.
∴$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$.
(2)
∵EF=30 cm,由题意可知,点E和点F关于y轴对称,
∴设点E的坐标为(-15,k).将点E(-15,k)代入$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$,得$k=-\frac{1}{3}×(-15+30)^2=-75$.
∴点E的坐标为(-15,-75).
∴此时无人机摄像头距离地面的高度为75 cm.300-75=225(cm).答:无人机应该下降的高度为225 cm.
(3)
∵MA=AB=60,A点的坐标为(-30,0),
∴点M的坐标为(-90,0).
∵点M所在抛物线形状与点A所在抛物线相同,二次项系数相同,
∴设点M所在抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$.
∵无人机的高度为480 cm,
∴将$y=-480$代入$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$,得$-\frac{1}{3}(x+90)^2=-480$,解得$x_1=-90-12\sqrt{10}$,$x_2=-90+12\sqrt{10}$.
∴$P(-90-12\sqrt{10},-480)$.
∵PQ关于y轴对称,
∴$PQ=2×(90+12\sqrt{10})$cm.
∴PQ的长为$(180+24\sqrt{10})$cm.
∵OC=300 cm,
∴点C的坐标为(0,-300).设点A所在抛物线的函数解析式为$y=a(x+30)^2$,将点C(0,-300)代入,得$-300=900a$,解得$a=-\frac{1}{3}$.
∴$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$.
(2)
∵EF=30 cm,由题意可知,点E和点F关于y轴对称,
∴设点E的坐标为(-15,k).将点E(-15,k)代入$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$,得$k=-\frac{1}{3}×(-15+30)^2=-75$.
∴点E的坐标为(-15,-75).
∴此时无人机摄像头距离地面的高度为75 cm.300-75=225(cm).答:无人机应该下降的高度为225 cm.
(3)
∵MA=AB=60,A点的坐标为(-30,0),
∴点M的坐标为(-90,0).
∵点M所在抛物线形状与点A所在抛物线相同,二次项系数相同,
∴设点M所在抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$.
∵无人机的高度为480 cm,
∴将$y=-480$代入$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$,得$-\frac{1}{3}(x+90)^2=-480$,解得$x_1=-90-12\sqrt{10}$,$x_2=-90+12\sqrt{10}$.
∴$P(-90-12\sqrt{10},-480)$.
∵PQ关于y轴对称,
∴$PQ=2×(90+12\sqrt{10})$cm.
∴PQ的长为$(180+24\sqrt{10})$cm.
解析
【分析】
(1) 已知AB=60cm，A、B到原点O的距离相等，可得OA=30cm，A在x轴负半轴，即可直接写出A点坐标；A是对应抛物线的顶点，因此设抛物线顶点式，代入已知的C点坐标即可求出解析式。
(2) 田埂EF宽30cm且不被喷洒，说明E、F是两个抛物线的交点，关于y轴对称，因此E点横坐标为-15，将其代入第一问的抛物线解析式求出纵坐标，纵坐标的绝对值就是调整后无人机摄像头距地面的高度，用初始高度减去该高度即可得到下降的高度。
(3) 先根据MA=AB=60cm求出M点坐标，抛物线形状相同则二次项系数不变，设M处抛物线的顶点式，无人机距地面高度480cm即地面处纵坐标为-480，代入解析式求出最左侧交点P的横坐标，利用对称性，PQ长度为P点横坐标绝对值的2倍即可求出结果。
【解析】
(1) 因为AB=60cm，A、B到O的距离相等，所以OA=30cm，A在x轴负半轴，点A的坐标为$(-30,0)$。
由OC=300cm，得点C坐标为$(0,-300)$，设点A所在抛物线的函数解析式为$y=a(x+30)^2$，将$C(0,-300)$代入得：
$-300=900a$，解得$a=-\frac{1}{3}$
因此点A所在抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$。
(2) 因为EF=30cm，E、F关于y轴对称，所以设E点坐标为$(-15,k)$，将其代入$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$得：
$k=-\frac{1}{3}×(-15+30)^2=-75$
即调整后无人机摄像头距地面高度为75cm，下降高度为$300-75=225(\mathrm{cm})$。
(3) 因为MA=AB=60cm，A点坐标为$(-30,0)$，所以M点坐标为$(-90,0)$。
抛物线形状相同，二次项系数相同，设M所在抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$。
无人机距地面高度为480cm，将$y=-480$代入解析式得：
$-\frac{1}{3}(x+90)^2=-480$
解得$x_1=-90-12\sqrt{10}$，$x_2=-90+12\sqrt{10}$，即最左侧交点$P(-90-12\sqrt{10},-480)$。
由对称性可得$PQ=2×(90+12\sqrt{10})=180+24\sqrt{10}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-30,0)}$，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}(x+30)^2}$；
(2) $\boldsymbol{225\ \mathrm{cm}}$；
(3) $\boldsymbol{(180+24\sqrt{10})\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数对称性
【点评】
本题结合生活中无人机喷药的实际场景，将实际问题转化为二次函数模型，既考查了二次函数的基础性质和应用方法，也能锻炼学生的数学建模能力和对实际问题的分析转化能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知AB=60cm，A、B到原点O的距离相等，可得OA=30cm，A在x轴负半轴，即可直接写出A点坐标；A是对应抛物线的顶点，因此设抛物线顶点式，代入已知的C点坐标即可求出解析式。
(2) 田埂EF宽30cm且不被喷洒，说明E、F是两个抛物线的交点，关于y轴对称，因此E点横坐标为-15，将其代入第一问的抛物线解析式求出纵坐标，纵坐标的绝对值就是调整后无人机摄像头距地面的高度，用初始高度减去该高度即可得到下降的高度。
(3) 先根据MA=AB=60cm求出M点坐标，抛物线形状相同则二次项系数不变，设M处抛物线的顶点式，无人机距地面高度480cm即地面处纵坐标为-480，代入解析式求出最左侧交点P的横坐标，利用对称性，PQ长度为P点横坐标绝对值的2倍即可求出结果。
【解析】
(1) 因为AB=60cm，A、B到O的距离相等，所以OA=30cm，A在x轴负半轴，点A的坐标为$(-30,0)$。
由OC=300cm，得点C坐标为$(0,-300)$，设点A所在抛物线的函数解析式为$y=a(x+30)^2$，将$C(0,-300)$代入得：
$-300=900a$，解得$a=-\frac{1}{3}$
因此点A所在抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$。
(2) 因为EF=30cm，E、F关于y轴对称，所以设E点坐标为$(-15,k)$，将其代入$y=-\frac{1}{3}(x+30)^2$得：
$k=-\frac{1}{3}×(-15+30)^2=-75$
即调整后无人机摄像头距地面高度为75cm，下降高度为$300-75=225(\mathrm{cm})$。
(3) 因为MA=AB=60cm，A点坐标为$(-30,0)$，所以M点坐标为$(-90,0)$。
抛物线形状相同，二次项系数相同，设M所在抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+90)^2$。
无人机距地面高度为480cm，将$y=-480$代入解析式得：
$-\frac{1}{3}(x+90)^2=-480$
解得$x_1=-90-12\sqrt{10}$，$x_2=-90+12\sqrt{10}$，即最左侧交点$P(-90-12\sqrt{10},-480)$。
由对称性可得$PQ=2×(90+12\sqrt{10})=180+24\sqrt{10}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-30,0)}$，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}(x+30)^2}$；
(2) $\boldsymbol{225\ \mathrm{cm}}$；
(3) $\boldsymbol{(180+24\sqrt{10})\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数对称性
【点评】
本题结合生活中无人机喷药的实际场景，将实际问题转化为二次函数模型，既考查了二次函数的基础性质和应用方法，也能锻炼学生的数学建模能力和对实际问题的分析转化能力。
【难度系数】
0.6
