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1 下列关于圆的轴对称性的判断，错误的是（
A.圆的对称轴是直线，而非线段
B.过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C.圆有且仅有10条对称轴
D.任意一个圆都具有轴对称性
C
）A.圆的对称轴是直线，而非线段
B.过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C.圆有且仅有10条对称轴
D.任意一个圆都具有轴对称性
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形的定义和圆的轴对称性相关性质。解题时先回忆核心概念：轴对称图形的对称轴是直线，圆作为轴对称图形，所有过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴，再带着这个结论逐一核对每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 轴对称图形的对称轴定义为直线，圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径（线段）本身，该选项说法正确；
B. 沿过圆心的任意一条直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，该选项说法正确；
C. 过圆心的直线有无数条，因此圆有无数条对称轴，而非仅有10条，该选项说法错误；
D. 圆沿任意一条过圆心的直线对折都能完全重合，因此任意一个圆都具有轴对称性，该选项说法正确。
本题要求选出错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性，对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆的轴对称性的理解，需要注意区分“直径”和“直径所在的直线”，避免混淆对称轴的属性，同时牢记圆的对称轴有无数条这一核心结论。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形的定义和圆的轴对称性相关性质。解题时先回忆核心概念：轴对称图形的对称轴是直线，圆作为轴对称图形，所有过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴，再带着这个结论逐一核对每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 轴对称图形的对称轴定义为直线，圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径（线段）本身，该选项说法正确；
B. 沿过圆心的任意一条直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，该选项说法正确；
C. 过圆心的直线有无数条，因此圆有无数条对称轴，而非仅有10条，该选项说法错误；
D. 圆沿任意一条过圆心的直线对折都能完全重合，因此任意一个圆都具有轴对称性，该选项说法正确。
本题要求选出错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性，对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆的轴对称性的理解，需要注意区分“直径”和“直径所在的直线”，避免混淆对称轴的属性，同时牢记圆的对称轴有无数条这一核心结论。
【难度系数】
0.9
2 若一个圆的圆心为点O，则经过点O的任意一条
直线
都是这个圆的对称轴。答案
2. 直线
解析
【分析】
解题时先明确两个核心概念：第一，对称轴的本质是直线，线段、射线都不符合对称轴的定义；第二，圆的轴对称性特征：要让圆沿某条线对折后两侧完全重合，这条线必须经过圆心，只有过圆心的直线能把圆分成完全相等的两部分，对折后可完全重合。注意不要误填“直径”，直径是过圆心的线段，不满足对称轴是直线的要求。
【解析】
首先，对称轴的定义为：能使几何图形成轴对称的直线，沿这条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合。其次，圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线，都能将圆划分为两个可完全重合的半圆，满足对称轴的要求。由于直径是过圆心的线段，不符合对称轴为直线的属性，因此此处应填直线。
【答案】
直线
【知识点】
1. 圆的轴对称性 2. 对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆“直径（线段）”和“直线”的属性，忽略对称轴必须是直线的要求，学习时要注意把握概念的细节。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心概念：第一，对称轴的本质是直线，线段、射线都不符合对称轴的定义；第二，圆的轴对称性特征：要让圆沿某条线对折后两侧完全重合，这条线必须经过圆心，只有过圆心的直线能把圆分成完全相等的两部分，对折后可完全重合。注意不要误填“直径”，直径是过圆心的线段，不满足对称轴是直线的要求。
【解析】
首先，对称轴的定义为：能使几何图形成轴对称的直线，沿这条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合。其次，圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线，都能将圆划分为两个可完全重合的半圆，满足对称轴的要求。由于直径是过圆心的线段，不符合对称轴为直线的属性，因此此处应填直线。
【答案】
直线
【知识点】
1. 圆的轴对称性 2. 对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆“直径（线段）”和“直线”的属性，忽略对称轴必须是直线的要求，学习时要注意把握概念的细节。
【难度系数】
0.8
3 [2024新疆]如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为E。若$CD=8$，$OD=5$，则BE的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据已知条件“直径AB垂直弦CD”，优先想到垂径定理，可得到CD一半的长度；再结合半径OD的长度，在直角三角形ODE中用勾股定理算出OE的长度；最后用半径OB减去OE的长度，就能得到BE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$CD=8$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OD=5$，$DE=4$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OD=5$，
∴$BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，掌握垂径定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件“直径AB垂直弦CD”，优先想到垂径定理，可得到CD一半的长度；再结合半径OD的长度，在直角三角形ODE中用勾股定理算出OE的长度；最后用半径OB减去OE的长度，就能得到BE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$CD=8$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OD=5$，$DE=4$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OD=5$，
∴$BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，掌握垂径定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 如图,在$\odot O$中,AB,AC是互相垂直的两条弦,$OD⊥AB$于点D,$OE⊥AC$于点E,且$AB=8\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,那么$\odot O$的半径$OA=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
4. 5
解析
【分析】
要求圆的半径OA，可将其放在直角三角形中用勾股定理求解，思路如下：第一步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，由OD⊥AB、OE⊥AC，分别算出AD、AE的长度；第二步，结合AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，可判定四边形OEAD是矩形，得到OD与AE相等；第三步，在Rt△OAD中用勾股定理计算OA的长度即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD过圆心O，AB=8cm
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
同理，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，AC=6cm
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠EAD=∠OEA=∠ODA=90°
∴四边形OEAD是矩形
∴OD=AE=3cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用，解题的关键是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，再结合矩形性质得到另一条直角边长度，最后用勾股定理求出半径，掌握相关基础定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要求圆的半径OA，可将其放在直角三角形中用勾股定理求解，思路如下：第一步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，由OD⊥AB、OE⊥AC，分别算出AD、AE的长度；第二步，结合AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，可判定四边形OEAD是矩形，得到OD与AE相等；第三步，在Rt△OAD中用勾股定理计算OA的长度即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD过圆心O，AB=8cm
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
同理，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，AC=6cm
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠EAD=∠OEA=∠ODA=90°
∴四边形OEAD是矩形
∴OD=AE=3cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用，解题的关键是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，再结合矩形性质得到另一条直角边长度，最后用勾股定理求出半径，掌握相关基础定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
5（易错题）下列命题中，错误的是 （
A.弦的垂直平分线必经过圆心
B.弦的中点和弦所对弧的中点的连线垂直于该弦
C.平分弦的直径必垂直于该弦
D.垂直于弦的直径必平分该弦
C
）A.弦的垂直平分线必经过圆心
B.弦的中点和弦所对弧的中点的连线垂直于该弦
C.平分弦的直径必垂直于该弦
D.垂直于弦的直径必平分该弦
答案
5. C
对垂径定理的有关概念理解不透彻而致错.
对垂径定理的有关概念理解不透彻而致错.
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需逐一验证每个选项对应的定理内容，重点关注垂径定理推论的限制条件，避免因忽略前提判断失误。首先回忆相关知识点：垂径定理为垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论中“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，这是本题的核心易错点，结合该知识点逐一分析选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 圆心到弦两个端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必经过圆心，该命题正确，不符合题意。
B. 根据垂径定理，平分弦所对弧的直径垂直平分该弦，因此弦的中点和弦所对弧的中点的连线在过圆心且垂直于弦的直线上，必然垂直于该弦，该命题正确，不符合题意。
C. 平分弦的直径垂直于该弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若被平分的弦本身是直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，该命题缺少前提条件，是错误的，符合题意。
D. 该表述是垂径定理的核心内容，垂直于弦的直径必平分该弦，命题正确，不符合题意。
综上，错误的命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.垂径定理的推论
【点评】
本题是概念类易错题，主要考查对垂径定理及推论的准确理解，解题时要注意定理成立的附加条件，不要漏记推论中“被平分的弦不是直径”的限制，避免因概念理解不透彻出错。
【难度系数】
0.6
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需逐一验证每个选项对应的定理内容，重点关注垂径定理推论的限制条件，避免因忽略前提判断失误。首先回忆相关知识点：垂径定理为垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论中“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，这是本题的核心易错点，结合该知识点逐一分析选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 圆心到弦两个端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必经过圆心，该命题正确，不符合题意。
B. 根据垂径定理，平分弦所对弧的直径垂直平分该弦，因此弦的中点和弦所对弧的中点的连线在过圆心且垂直于弦的直线上，必然垂直于该弦，该命题正确，不符合题意。
C. 平分弦的直径垂直于该弦的前提是“被平分的弦不是直径”，若被平分的弦本身是直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，该命题缺少前提条件，是错误的，符合题意。
D. 该表述是垂径定理的核心内容，垂直于弦的直径必平分该弦，命题正确，不符合题意。
综上，错误的命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.垂径定理的推论
【点评】
本题是概念类易错题，主要考查对垂径定理及推论的准确理解，解题时要注意定理成立的附加条件，不要漏记推论中“被平分的弦不是直径”的限制，避免因概念理解不透彻出错。
【难度系数】
0.6
6 如图，在$\odot O$中，直径$MN$平分非直径的弦$AB$.若$∠ AMN = 25°$，则$∠ OAB$的度数为
（第6题）
40
°（第6题）答案
6. 40
解析
【分析】
解题时先从已知条件“直径MN平分非直径的弦AB”入手，回忆垂径定理的推论，可得到MN与AB垂直的关系；再结合同圆的半径相等，得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出圆心角∠AON的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
设MN与AB的交点为P。
1. 根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于这条弦，已知直径MN平分非直径弦AB，可得$MN⊥ AB$，即$∠ APO=90°$。
2. 因为OA、OM都是$\odot O$的半径，所以$OA=OM$，$△ OAM$为等腰三角形，因此$∠ OAM=∠ AMN=25°$。
3. $∠ AON$是$△ OAM$的外角，根据三角形外角性质，$∠ AON=∠ OAM+∠ AMN=25°+25°=50°$。
4. 在$Rt△ AOP$中，两个锐角互余，因此$∠ OAB=90°-∠ AON=90°-50°=40°$。
【答案】
40
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论得到垂直关系，再结合三角形相关性质计算角度，是圆章节中角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“直径MN平分非直径的弦AB”入手，回忆垂径定理的推论，可得到MN与AB垂直的关系；再结合同圆的半径相等，得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质求出圆心角∠AON的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
设MN与AB的交点为P。
1. 根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于这条弦，已知直径MN平分非直径弦AB，可得$MN⊥ AB$，即$∠ APO=90°$。
2. 因为OA、OM都是$\odot O$的半径，所以$OA=OM$，$△ OAM$为等腰三角形，因此$∠ OAM=∠ AMN=25°$。
3. $∠ AON$是$△ OAM$的外角，根据三角形外角性质，$∠ AON=∠ OAM+∠ AMN=25°+25°=50°$。
4. 在$Rt△ AOP$中，两个锐角互余，因此$∠ OAB=90°-∠ AON=90°-50°=40°$。
【答案】
40
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论得到垂直关系，再结合三角形相关性质计算角度，是圆章节中角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
7 小名同学利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径。如图，假设钢珠的直径是12 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm，则这个小孔的直径AB是（
A.6 mm
B.$6\sqrt{3}$ mm
C.$6\sqrt{5}$ mm
D.8 mm
B
）A.6 mm
B.$6\sqrt{3}$ mm
C.$6\sqrt{5}$ mm
D.8 mm
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为圆的弦长计算问题：首先根据钢珠直径得到圆的半径，再结合钢珠顶端到零件表面的距离求出圆心到弦AB的距离（弦心距），最后利用垂径定理和勾股定理计算弦AB的长度，即为小孔的直径。
【解析】
设钢珠的圆心为$ O $，过点$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $，连接$ OA $。
已知钢珠直径为12mm，因此圆的半径$ OA = 12÷2 = 6\mathrm{mm} $。
由钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，可得圆心$ O $到弦$ AB $的距离$ OC = 9 - 6 = 3\mathrm{mm} $。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $。
在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\mathrm{mm} $
因此$ AB = 2AC = 2×3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\mathrm{mm} $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的应用，核心是将测量问题转化为圆中弦长计算的模型，重点考查垂径定理和勾股定理的结合使用，能有效锻炼学生的建模能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为圆的弦长计算问题：首先根据钢珠直径得到圆的半径，再结合钢珠顶端到零件表面的距离求出圆心到弦AB的距离（弦心距），最后利用垂径定理和勾股定理计算弦AB的长度，即为小孔的直径。
【解析】
设钢珠的圆心为$ O $，过点$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $，连接$ OA $。
已知钢珠直径为12mm，因此圆的半径$ OA = 12÷2 = 6\mathrm{mm} $。
由钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，可得圆心$ O $到弦$ AB $的距离$ OC = 9 - 6 = 3\mathrm{mm} $。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $。
在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\mathrm{mm} $
因此$ AB = 2AC = 2×3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\mathrm{mm} $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的应用，核心是将测量问题转化为圆中弦长计算的模型，重点考查垂径定理和勾股定理的结合使用，能有效锻炼学生的建模能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
8 若$\odot O$的半径是4 cm，弦$AB=4\sqrt{2}$ cm，则弦AB的中点M到弦AB所对的劣弧中点N的距离是
$4-2\sqrt{2}$
cm.答案
8. $4-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题可结合垂径定理求解。首先根据垂径定理的推论可知，弦中点、弧中点与圆心三点共线且该直线垂直于弦，由此可构造直角三角形，先利用勾股定理求出圆心到弦AB的距离，再用半径减去该距离即可得到所求线段的长度。
【解析】
连接OA、ON，
∵M是弦AB的中点，N是AB所对劣弧的中点，
∴根据垂径定理的推论可得：O、M、N三点共线，且ON⊥AB，
∴AM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$ cm，OA=ON=4 cm（均为圆的半径），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入数值：$OM^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2$
计算得：$OM^2 = 16 - 8 = 8$，
∴OM = 2$\sqrt{2}$ cm（线段长度为正，舍去负根），
∴MN = ON - OM = $4 - 2\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，通过构造直角三角形将圆的半径、弦长的一半、弦心距三者建立关联，结合勾股定理计算求解。
【难度系数】
0.7
本题可结合垂径定理求解。首先根据垂径定理的推论可知，弦中点、弧中点与圆心三点共线且该直线垂直于弦，由此可构造直角三角形，先利用勾股定理求出圆心到弦AB的距离，再用半径减去该距离即可得到所求线段的长度。
【解析】
连接OA、ON，
∵M是弦AB的中点，N是AB所对劣弧的中点，
∴根据垂径定理的推论可得：O、M、N三点共线，且ON⊥AB，
∴AM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$ cm，OA=ON=4 cm（均为圆的半径），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入数值：$OM^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2$
计算得：$OM^2 = 16 - 8 = 8$，
∴OM = 2$\sqrt{2}$ cm（线段长度为正，舍去负根），
∴MN = ON - OM = $4 - 2\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，通过构造直角三角形将圆的半径、弦长的一半、弦心距三者建立关联，结合勾股定理计算求解。
【难度系数】
0.7
9 如图，$\odot O$ 的半径为 17 cm，弦 $AB // CD$，$AB=30$ cm，$CD=16$ cm，圆心 $O$ 位于 $AB$，$CD$ 的上方，求 $AB$ 和 $CD$ 之间的距离。
答案
9. 过点O作$OE⊥AB$于点E,延长OE,交CD于点F,连接OA,OC. $\therefore AE=\frac{1}{2}AB=15$ cm. $\because AB// CD,\therefore OF⊥CD.$
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=8$ cm. 在$\mathrm{Rt}△OAE$中,$\because OA=17$ cm,$AE=15$ cm,$\therefore OE=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{cm})$. 同理,可得$OF=15$ cm.
$\because$ 圆心O位于AB,CD的上方,$\therefore EF=OF-OE=15-8=7(\mathrm{cm})$,即AB和CD之间的距离为7 cm
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=8$ cm. 在$\mathrm{Rt}△OAE$中,$\because OA=17$ cm,$AE=15$ cm,$\therefore OE=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{cm})$. 同理,可得$OF=15$ cm.
$\because$ 圆心O位于AB,CD的上方,$\therefore EF=OF-OE=15-8=7(\mathrm{cm})$,即AB和CD之间的距离为7 cm
解析
【分析】
求解本题的核心思路是利用垂径定理结合勾股定理计算：首先，遇到圆中弦长相关的计算，通常过圆心作弦的垂线，借助垂径定理得到半弦长，构造出以半径、半弦长、圆心到弦的垂线段为三边的直角三角形；其次，由于两条弦平行，所作的垂线同时垂直于两条弦，可分别求出圆心到两条弦的距离；最后结合圆心在两条弦上方的位置条件，两个距离的差即为两条弦的间距。
【解析】
过点O作$OE⊥AB$于点E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC。
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$ cm。
$\because AB// CD$，$OE⊥AB$，$\therefore OF⊥CD$，同理可得$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$ cm。
在$\mathrm{Rt}△OAE$中，$OA=17$ cm，$AE=15$ cm，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$ cm。
在$\mathrm{Rt}△OCF$中，$OC=17$ cm，$CF=8$ cm，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$ cm。
$\because$ 圆心O位于AB，CD的上方，$\therefore$ AB和CD的距离$EF=OF-OE=15-8=7$ cm。
【答案】
7 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的基础题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，求解时要注意圆心与两条弦的位置关系，若未给出位置说明时需分情况讨论，本题已明确圆心位置，直接计算距离差即可。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心思路是利用垂径定理结合勾股定理计算：首先，遇到圆中弦长相关的计算，通常过圆心作弦的垂线，借助垂径定理得到半弦长，构造出以半径、半弦长、圆心到弦的垂线段为三边的直角三角形；其次，由于两条弦平行，所作的垂线同时垂直于两条弦，可分别求出圆心到两条弦的距离；最后结合圆心在两条弦上方的位置条件，两个距离的差即为两条弦的间距。
【解析】
过点O作$OE⊥AB$于点E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC。
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$ cm。
$\because AB// CD$，$OE⊥AB$，$\therefore OF⊥CD$，同理可得$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$ cm。
在$\mathrm{Rt}△OAE$中，$OA=17$ cm，$AE=15$ cm，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$ cm。
在$\mathrm{Rt}△OCF$中，$OC=17$ cm，$CF=8$ cm，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$ cm。
$\because$ 圆心O位于AB，CD的上方，$\therefore$ AB和CD的距离$EF=OF-OE=15-8=7$ cm。
【答案】
7 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的基础题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，求解时要注意圆心与两条弦的位置关系，若未给出位置说明时需分情况讨论，本题已明确圆心位置，直接计算距离差即可。
【难度系数】
0.7
