1 如图,抛物线过点$O(0,0),E(10,0)$,矩形$ABCD$的边$AB$在线段$OE$上(点$B$在点$A$的左侧),点$C,D$在抛物线上.设点$B$的坐标为$(t,0)$,当$t=2$时,$BC=4$.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值?最大值是多少?
(3) 保持$t=2$时的矩形$ABCD$不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点$G,H$,且直线$GH$平分矩形$ABCD$的面积时,求抛物线平移的距离.

(1) 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax(x-10).\because$ 当$t=2$时,$BC=4$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(2,-4)$.将$C(2,-4)$代入$y=ax(x-10)$,得$-4=2a×(2-10)$,解得$a=\frac{1}{4}.\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$
(2) 由抛物线的对称性,得$AE=OB=t$,$\therefore AB=10-2t$.当$x=t$时,点$C$的坐标为$(t,\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t)$,$\therefore BC=0-(\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$.
$\therefore$ 矩形$ABCD$的周长为$2(AB+BC)=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]=-\frac{1}{2}t^2+t+20=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}$.
$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$t=1$时,矩形$ABCD$的周长有最大值,最大值是$\frac{41}{2}$.
(3) 如图,连接$AC$,$BD$相交于点$P$,连接$OC$,取$OC$的中点$Q$,连接$PQ$.$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore P$是$AC$的中点.
$\therefore$ 在$△ ACO$中,$PQ=\frac{1}{2}OA$.$\because$ 直线$GH$平分矩形$ABCD$的面积,$\therefore$ 直线$GH$过点$P$.由平移的性质,易得四边形$OCHG$是平行四边形,$PQ=CH$.$\because t=2$,$\therefore AE=2$.$\therefore OA=10-2=8$.
$\therefore PQ=\frac{1}{2}OA=4$.$\therefore$ 抛物线平移的距离是4个单位长度

【分析】
(1) 已知抛物线过原点$O(0,0)$和点$E(10,0)$，可先设抛物线的交点式解析式，再代入$t=2$时得到的$C$点坐标求出参数$a$，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 先利用抛物线的对称性表示出$AB$的长度，再将$x=t$代入抛物线解析式得到$C$点纵坐标，进而表示出$BC$的长度，结合矩形周长公式得到周长关于$t$的二次函数，配方后根据二次函数的性质即可求出最值。
(3) 首先明确平分矩形面积的直线必过矩形的对角线交点（中心），再结合平移的性质和中位线定理求出相关线段长度，即可得到抛物线平移的距离。
【解析】
(1) 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax(x-10)$。
$\because$ 当$t=2$时，$BC=4$，点$B$坐标为$(2,0)$，$BC$垂直于$x$轴向下，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(2,-4)$。
将$C(2,-4)$代入$y=ax(x-10)$，得：
$-4=2a×(2-10)$
解得$a=\frac{1}{4}$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x(x-10)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$。
(2) 由抛物线的对称性可知，抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+10}{2}=5$，点$B$与点$A$关于对称轴对称，$OB=t$，$\therefore AE=OB=t$，
$\therefore AB=OE-OB-AE=10-2t$。
当$x=t$时，代入抛物线解析式得点$C$的纵坐标为$\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t$，
$\because$ 点$C$在$x$轴下方，$\therefore BC=0-(\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$。
矩形$ABCD$的周长$=2(AB+BC)$，代入得：
$\begin{aligned}周长&=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]\\&=-\frac{1}{2}t^2+t+20\\&=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$t=1$时，矩形$ABCD$的周长有最大值，最大值为$\frac{41}{2}$。
(3) 如图，连接$AC$、$BD$相交于点$P$，连接$OC$，取$OC$的中点$Q$，连接$PQ$。

$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore$ 对角线互相平分，$P$是$AC$、$BD$的中点。
在$△ ACO$中，$PQ$是中位线，$\therefore PQ=\frac{1}{2}OA$。
$\because$ 直线$GH$平分矩形$ABCD$的面积，平分矩形面积的直线必过矩形的中心，即直线$GH$过点$P$。
由平移的性质可知，平移前后抛物线的形状不变，$GH$平行于$CD$，四边形$OCHG$是平行四边形，故$PQ=CH$，$CH$即为抛物线平移的距离。
当$t=2$时，$AE=OB=2$，$\therefore OA=OE-AE=10-2=8$，
$\therefore PQ=\frac{1}{2}OA=4$，即抛物线平移的距离是4个单位长度。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$
(2) 当$t=1$时，矩形$ABCD$的周长有最大值，最大值是$\frac{41}{2}$
(3) 抛物线平移的距离是4个单位长度

【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的最值，二次函数的平移
【点评】
本题以二次函数为背景，结合矩形的性质，综合考查了二次函数的解析式求解、最值计算以及平移的相关知识，需要灵活运用数形结合思想，将几何图形的性质与二次函数的代数运算结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6

2 [2024 遂宁]如图,二次函数 $y=ax^2+bx+c$ ($a≠0$)的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A(-1,0)$, $B(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$,$P$,$Q$ 为抛物线上的两点.
(1) 求该二次函数的表达式.
(2) 当 $P$,$C$ 两点关于抛物线的对称轴对称, $△ OPQ$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形时,求点 $Q$ 的坐标.
(3) 设点 $P$ 的横坐标为 $m$,点 $Q$ 的横坐标为 $m+1$.试探究 $△ OPQ$ 的面积 $S$ 是否存在最小值.若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

(1) 由题意,得$y=a(x+1)(x-3)=a(x^2-2x-3)$.将$C(0,-3)$代入,得$-3a=-3$,解得$a=1$.$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2) 由题意,得抛物线的对称轴为直线$x=1$.$\because$ 点$P$,$C$关于抛物线的对称轴对称,$\therefore P(2,-3)$.设$Q(n,n^2-2n-3)$.$\because ∠ OPQ=90°$,$\therefore OP^2+PQ^2=OQ^2$,则$[(0-2)^2+(0+3)^2]+[(2-n)^2+(-3-n^2+2n+3)^2]=n^2+(n^2-2n-3)^2$.整理,得$3n^2-8n+4=0$,解得$n_1=\frac{2}{3}$,$n_2=2$(不合题意,舍去).$\therefore n=\frac{2}{3}$.$\therefore Q(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})$.
(3) 存在 $\because$ 点$P$的横坐标为$m$,点$Q$的横坐标为$m+1$,$\therefore P(m,m^2-2m-3)$,$Q(m+1,(m+1)^2-2(m+1)-3)$.如图,设直线$PQ$交$x$轴于点$H$.由点$P$,$Q$的坐标可知,直线$PQ$对应的函数表达式为$y=(2m-1)(x-m)+m^2-2m-3$.令$y=0$,则$x=m+\frac{m^2-2m-3}{1-2m}$,$\therefore H(m+\frac{m^2-2m-3}{1-2m},0)$.$\therefore$ 易得$S=\frac{1}{2}OH·|y_Q-y_P|=\frac{1}{2}(m+\frac{m^2-2m-3}{1-2m})[(m+1)^2-2(m+1)-3-m^2+2m+3]=\frac{1}{2}(m^2+m+3)=\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{8}≥\frac{11}{8}$.$\therefore S$的最小值为$\frac{11}{8}$.

【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A、B两个交点，优先选用交点式设二次函数表达式，再代入点C的坐标求解参数a，即可得到函数解析式。
(2) 先求出抛物线的对称轴，利用点P与C对称的性质得到点P的坐标；设出点Q的坐标，根据△OPQ的直角顶点为P，用勾股定理列方程求解，舍去与点P重合的解，即可得到Q的坐标。
(3) 先根据P、Q的横坐标表示出两点坐标，求出直线PQ与x轴的交点H，将△OPQ的面积转化为以OH为公共底的两个三角形面积和，整理得到面积S关于m的二次函数，配方即可求出最小值。
【解析】
(1) 由题意，设二次函数表达式为$y=a(x+1)(x-3)$，展开得$y=a(x^2-2x-3)$。将$C(0,-3)$代入得$-3a=-3$，解得$a=1$。
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
$\because$ 点P、C关于对称轴对称，$C(0,-3)$，$\therefore P(2,-3)$。
设$Q(n,n^2-2n-3)$，$\because ∠ OPQ=90°$，由勾股定理得$OP^2+PQ^2=OQ^2$，代入坐标得：
$[(0-2)^2+(0+3)^2]+[(2-n)^2+(-3-n^2+2n+3)^2]=n^2+(n^2-2n-3)^2$
整理得$3n^2-8n+4=0$，解得$n_1=\frac{2}{3}$，$n_2=2$（与P重合，舍去）。
代入得$y=(\frac{2}{3})^2-2×\frac{2}{3}-3=-\frac{35}{9}$，$\therefore Q(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})$。
(3) 存在。
$\because$ P的横坐标为m，Q的横坐标为$m+1$，$\therefore P(m,m^2-2m-3)$，$Q(m+1,(m+1)^2-2(m+1)-3)$。
设直线PQ交x轴于点H，直线PQ的解析式为$y=(2m-1)(x-m)+m^2-2m-3$，令$y=0$，解得$x=m+\frac{m^2-2m-3}{1-2m}$，即$H(m+\frac{m^2-2m-3}{1-2m},0)$。
面积$S=\frac{1}{2}OH·|y_Q-y_P|$，代入化简得：
$S=\frac{1}{2}(m^2+m+3)=\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{8}$
$\because \frac{1}{2}＞0$，$\therefore$ 当$m=-\frac{1}{2}$时，S取得最小值$\frac{11}{8}$。
【答案】
(1) 该二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$；
(2) 点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})}$；
(3) 存在，$S$的最小值为$\boldsymbol{\frac{11}{8}}$。

【知识点】
二次函数解析式求解；勾股定理应用；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合题，梯度设置合理，既考查二次函数基础性质，也结合了几何图形性质、坐标运算和最值探究，解题时要注意根据题意选择合适的方法，求解后需验证解是否符合要求。
【难度系数】
0.5