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1 把$9mn + 6mn^2$分解因式，应提取的公因式为（
A.$3m$
B.$mn$
C.$3mn$
D.$mn^2$
C
）A.$3m$
B.$mn$
C.$3mn$
D.$mn^2$
答案
C
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需遵循两个核心步骤：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，最后将二者相乘就是要提取的公因式，我们可以按照这个思路分析多项式$9mn + 6mn^2$的两项。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：两项的系数分别为9和6，9和6的最大公约数是3；
2. 找相同字母的最低次幂：两项都含有的字母是m和n，其中m在两项中的次数都是1次，取最低次幂$m$；n在第一项的次数是1次，第二项的次数是2次，取最低次幂$n$；
3. 组合得到公因式：将系数最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，得公因式为$3× m× n=3mn$。
因此应提取的公因式为3mn，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式各项的公因式，需遵循两个核心步骤：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，最后将二者相乘就是要提取的公因式，我们可以按照这个思路分析多项式$9mn + 6mn^2$的两项。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：两项的系数分别为9和6，9和6的最大公约数是3；
2. 找相同字母的最低次幂：两项都含有的字母是m和n，其中m在两项中的次数都是1次，取最低次幂$m$；n在第一项的次数是1次，第二项的次数是2次，取最低次幂$n$；
3. 组合得到公因式：将系数最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，得公因式为$3× m× n=3mn$。
因此应提取的公因式为3mn，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2 观察下列各组式子：① $a + b$ 和 $2a + b$；② $5m(a - b)$ 和 $-a + b$；③ $3(a + b)$ 和 $-a - b$；④ $(a + b)^2$ 和 $a^2 + b^2$。其中，有公因式的是（
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
B
）A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案
B
解析
【分析】
要判断每组式子是否有公因式，首先明确公因式的定义：几个多项式共同含有的因式叫做公因式。解题时先对每组中形式不统一的式子进行适当变形（尤其是带负号的式子可提取负号转化），再逐一判断两个式子是否存在公共的因式即可。
【解析】
我们逐个分析4组式子：
① 对$a + b$和$2a + b$：两个多项式没有共同含有的因式，无公因式；
② 对$5m(a - b)$和$-a + b$：先将第二个式子变形，$-a + b = -(a - b)$，可见两个式子都含有因式$(a - b)$，有公因式；
③ 对$3(a + b)$和$-a - b$：先将第二个式子变形，$-a - b = -(a + b)$，可见两个式子都含有因式$(a + b)$，有公因式；
④ 对$(a + b)^2$和$a^2 + b^2$：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，与$a^2 + b^2$没有共同的因式，无公因式。
综上，有公因式的是②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别,整式变形,提公因式法
【点评】
本题重点考查公因式的判断，解题的核心是掌握式子变形的技巧，注意互为相反数的多项式可通过提取负号转化为相同的因式，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断每组式子是否有公因式，首先明确公因式的定义：几个多项式共同含有的因式叫做公因式。解题时先对每组中形式不统一的式子进行适当变形（尤其是带负号的式子可提取负号转化），再逐一判断两个式子是否存在公共的因式即可。
【解析】
我们逐个分析4组式子：
① 对$a + b$和$2a + b$：两个多项式没有共同含有的因式，无公因式；
② 对$5m(a - b)$和$-a + b$：先将第二个式子变形，$-a + b = -(a - b)$，可见两个式子都含有因式$(a - b)$，有公因式；
③ 对$3(a + b)$和$-a - b$：先将第二个式子变形，$-a - b = -(a + b)$，可见两个式子都含有因式$(a + b)$，有公因式；
④ 对$(a + b)^2$和$a^2 + b^2$：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，与$a^2 + b^2$没有共同的因式，无公因式。
综上，有公因式的是②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别,整式变形,提公因式法
【点评】
本题重点考查公因式的判断，解题的核心是掌握式子变形的技巧，注意互为相反数的多项式可通过提取负号转化为相同的因式，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
3 分别写出下列多项式中各项的公因式：
(1) $6x^3y^4 + 10x^2y$：
(2) $ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$：
(3) $m(x - y) + n(y - x)$：
(1) $6x^3y^4 + 10x^2y$：
$2x^2y$
；(2) $ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$：
$axy$
；(3) $m(x - y) + n(y - x)$：
$x-y$
。答案
(1) $2x^2y$ (2) $axy$ (3) $x-y$
解析
【分析】
找多项式各项公因式遵循固定三步法：1. 定系数：取各项系数的最大公约数；2. 定因式：找各项都含有的相同字母或相同的多项式因式；3. 定指数：取相同因式的最低次幂。若遇到互为相反数的多项式因式，可通过变号统一形式后再判断，按这个方法逐个分析即可求解。
【解析】
(1) 对多项式$6x^3y^4 + 10x^2y$：
系数6和10的最大公约数是2，两项都含有的相同字母是x、y，x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y$，因此公因式为$2x^2y$。
(2) 对多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$：
各项系数1、1、-4的最大公约数是1，三项都含有的相同字母是a、x、y，a的最低次幂为$a$，x的最低次幂为$x$，y的最低次幂为$y$，因此公因式为$axy$。
(3) 对多项式$m(x - y) + n(y - x)$：
先将第二项变形为$n(y-x)=-n(x-y)$，此时两项都含有相同的多项式因式$x-y$，且最低次幂为1次，因此公因式为$x-y$。
【答案】
(1) $2x^2y$；(2) $axy$；(3) $x-y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解，代数式恒等变形
【点评】
本题属于公因式确定的基础题型，熟练掌握定系数、定因式、定指数的三步法即可快速解题，需注意互为相反数的多项式因式可通过变号转化为相同因式，避免漏找。
【难度系数】
0.8
找多项式各项公因式遵循固定三步法：1. 定系数：取各项系数的最大公约数；2. 定因式：找各项都含有的相同字母或相同的多项式因式；3. 定指数：取相同因式的最低次幂。若遇到互为相反数的多项式因式，可通过变号统一形式后再判断，按这个方法逐个分析即可求解。
【解析】
(1) 对多项式$6x^3y^4 + 10x^2y$：
系数6和10的最大公约数是2，两项都含有的相同字母是x、y，x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y$，因此公因式为$2x^2y$。
(2) 对多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$：
各项系数1、1、-4的最大公约数是1，三项都含有的相同字母是a、x、y，a的最低次幂为$a$，x的最低次幂为$x$，y的最低次幂为$y$，因此公因式为$axy$。
(3) 对多项式$m(x - y) + n(y - x)$：
先将第二项变形为$n(y-x)=-n(x-y)$，此时两项都含有相同的多项式因式$x-y$，且最低次幂为1次，因此公因式为$x-y$。
【答案】
(1) $2x^2y$；(2) $axy$；(3) $x-y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解，代数式恒等变形
【点评】
本题属于公因式确定的基础题型，熟练掌握定系数、定因式、定指数的三步法即可快速解题，需注意互为相反数的多项式因式可通过变号转化为相同因式，避免漏找。
【难度系数】
0.8
4 把多项式$-7ab -14abx +49aby$分解因式，提公因式$-7ab$后，另一个因式为 （
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
A
）A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
答案
A
解析
【分析】
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先明确提公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式的商，计算时只需将原多项式的每一项分别除以公因式，再把所得的商相加即可，计算过程中要特别注意提取负公因式时，各项的符号都要改变。
【解析】
已知原多项式为$-7ab -14abx +49aby$，公因式为$-7ab$，分别计算每一项除以$-7ab$的结果：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将上述结果相加，得到另一个因式为$1 + 2x -7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、单项式除法
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规考查题，核心易错点是提取带负号的公因式时，原多项式各项的符号均要变号，熟练掌握单项式除法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先明确提公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式的商，计算时只需将原多项式的每一项分别除以公因式，再把所得的商相加即可，计算过程中要特别注意提取负公因式时，各项的符号都要改变。
【解析】
已知原多项式为$-7ab -14abx +49aby$，公因式为$-7ab$，分别计算每一项除以$-7ab$的结果：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将上述结果相加，得到另一个因式为$1 + 2x -7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、单项式除法
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规考查题，核心易错点是提取带负号的公因式时，原多项式各项的符号均要变号，熟练掌握单项式除法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5 下列各式中,运用提公因式法分解因式正确的是 (
A.$12abc - 9a^2b^2 = 3abc(4 - 3ab)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$3x^2y - 3xy = 3y(x^2 - 1)$
D.$2x(a + b) - 4(a + b) = (a + b)(2x - 4)$
B
)A.$12abc - 9a^2b^2 = 3abc(4 - 3ab)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$3x^2y - 3xy = 3y(x^2 - 1)$
D.$2x(a + b) - 4(a + b) = (a + b)(2x - 4)$
答案
B
解析
【分析】
要判断提公因式法分解因式是否正确，需先明确提公因式的步骤：第一步确定公因式（取各项系数的最大公约数，再取各项相同字母/因式的最低次幂，二者相乘即为公因式）；第二步提取公因式，用原式每一项除以公因式得到剩余的项，将剩余项放在括号内；第三步检查剩余项是否还有公因式、是否漏项。我们逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A选项：$12abc - 9a^2b^2$的公因式是$3ab$（公因式不含仅在第一项出现的$c$），正确分解应为$3ab(4c - 3ab)$，本选项错误；
B选项：$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取后剩余项分别为$a^2$、$-a$、$2$，即分解结果为$3y(a^2 - a + 2)$，本选项正确；
C选项：$3x^2y - 3xy$的公因式是$3xy$，正确分解应为$3xy(x - 1)$，本选项公因式提取不完整，错误；
D选项：$2x(a + b) - 4(a + b)$的公因式是$2(a + b)$，正确分解应为$2(a + b)(x - 2)$，本选项公因式提取不完整，错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础考查题，解题核心是准确找到各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余项是否漏项、是否还存在公因式，避免出现分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.7
要判断提公因式法分解因式是否正确，需先明确提公因式的步骤：第一步确定公因式（取各项系数的最大公约数，再取各项相同字母/因式的最低次幂，二者相乘即为公因式）；第二步提取公因式，用原式每一项除以公因式得到剩余的项，将剩余项放在括号内；第三步检查剩余项是否还有公因式、是否漏项。我们逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A选项：$12abc - 9a^2b^2$的公因式是$3ab$（公因式不含仅在第一项出现的$c$），正确分解应为$3ab(4c - 3ab)$，本选项错误；
B选项：$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取后剩余项分别为$a^2$、$-a$、$2$，即分解结果为$3y(a^2 - a + 2)$，本选项正确；
C选项：$3x^2y - 3xy$的公因式是$3xy$，正确分解应为$3xy(x - 1)$，本选项公因式提取不完整，错误；
D选项：$2x(a + b) - 4(a + b)$的公因式是$2(a + b)$，正确分解应为$2(a + b)(x - 2)$，本选项公因式提取不完整，错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础考查题，解题核心是准确找到各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余项是否漏项、是否还存在公因式，避免出现分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.7
6 把$2x(a-2)-y(2-a)$分解因式，正确的结果是（
A.$(a-2)(2x+y)$
B.$(2-a)(2x+y)$
C.$(a-2)(2x-y)$
D.$(2-a)(2x-y)$
A
）A.$(a-2)(2x+y)$
B.$(2-a)(2x+y)$
C.$(a-2)(2x-y)$
D.$(2-a)(2x-y)$
答案
A
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察式子中两个项的括号部分，发现(a-2)和(2-a)互为相反数，可通过符号变形将二者统一为相同的因式；第二步确定公因式为(a-2)，提取公因式后合并剩余部分即可得到分解结果。
【解析】
先对原式的第二项进行符号变形：
∵ $2-a=-(a-2)$
∴ 原式 $=2x(a-2)-y×[-(a-2)]$
$=2x(a-2)+y(a-2)$
提取公因式$(a-2)$，可得：
原式 $=(a-2)(2x+y)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是识别出互为相反数的因式，变形时要注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察式子中两个项的括号部分，发现(a-2)和(2-a)互为相反数，可通过符号变形将二者统一为相同的因式；第二步确定公因式为(a-2)，提取公因式后合并剩余部分即可得到分解结果。
【解析】
先对原式的第二项进行符号变形：
∵ $2-a=-(a-2)$
∴ 原式 $=2x(a-2)-y×[-(a-2)]$
$=2x(a-2)+y(a-2)$
提取公因式$(a-2)$，可得：
原式 $=(a-2)(2x+y)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是识别出互为相反数的因式，变形时要注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
7 分解因式：
(1) $3x^3 + 6x^4 =$
(2) $x(y - 1) + 4(1 - y) =$
(1) $3x^3 + 6x^4 =$
$3x^3(1+2x)$
；(2) $x(y - 1) + 4(1 - y) =$
$(y-1)(x-4)$
。答案
(1) $3x^3(1+2x)$ (2) $(y-1)(x-4)$
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项共有的相同字母的最低次幂，两部分相乘即为公因式；第二步提取公因式，将多项式改写为“公因式×剩余多项式”的形式。其中第二题出现了互为相反数的因式$(y-1)$和$(1-y)$，可先通过符号变形将二者统一，再提取公因式。
【解析】
(1) 对多项式$3x^3 + 6x^4$找公因式：系数3和6的最大公约数是3，共有的字母为x，x的最低次幂是$x^3$，因此公因式为$3x^3$，提取公因式得：
$3x^3 + 6x^4 = 3x^3×1 + 3x^3×2x = 3x^3(1+2x)$
(2) 先对$x(y - 1) + 4(1 - y)$变形：由$1-y=-(y-1)$，原式可改写为$x(y-1)-4(y-1)$，两项的公因式为$(y-1)$，提取公因式得：
$x(y-1)-4(y-1)=(y-1)(x-4)$
【答案】
(1) $3x^3(1+2x)$ (2) $(y-1)(x-4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式确定，符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式后需注意检查剩余项，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项共有的相同字母的最低次幂，两部分相乘即为公因式；第二步提取公因式，将多项式改写为“公因式×剩余多项式”的形式。其中第二题出现了互为相反数的因式$(y-1)$和$(1-y)$，可先通过符号变形将二者统一，再提取公因式。
【解析】
(1) 对多项式$3x^3 + 6x^4$找公因式：系数3和6的最大公约数是3，共有的字母为x，x的最低次幂是$x^3$，因此公因式为$3x^3$，提取公因式得：
$3x^3 + 6x^4 = 3x^3×1 + 3x^3×2x = 3x^3(1+2x)$
(2) 先对$x(y - 1) + 4(1 - y)$变形：由$1-y=-(y-1)$，原式可改写为$x(y-1)-4(y-1)$，两项的公因式为$(y-1)$，提取公因式得：
$x(y-1)-4(y-1)=(y-1)(x-4)$
【答案】
(1) $3x^3(1+2x)$ (2) $(y-1)(x-4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式确定，符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式后需注意检查剩余项，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.85
8 如图，长为a、宽为b的长方形的周长为20，面积为16，则$a^2b+ab^2$的值为
160
。答案
160
解析
【分析】
解题时首先对待求的代数式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再利用长方形的周长公式求出$a+b$的值，利用长方形面积公式得到$ab$的值；最后将$a+b$和$ab$的值整体代入分解后的式子计算即可得到结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，能简化计算。
【解析】
首先对代数式$a^2b+ab^2$提公因式分解因式：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
已知长方形周长为20，根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2(a+b)$，可得：
$2(a+b)=20$，解得$a+b=10$
又已知长方形面积为16，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=ab$，可得$ab=16$
将$a+b=10$、$ab=16$代入$ab(a+b)$得：
$ab(a+b)=16×10=160$
【答案】
160
【知识点】
提公因式法分解因式；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题，结合长方形的周长和面积性质，将待求式因式分解后整体代入已知条件计算，有效降低了计算量，考查了学生对因式分解的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
解题时首先对待求的代数式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再利用长方形的周长公式求出$a+b$的值，利用长方形面积公式得到$ab$的值；最后将$a+b$和$ab$的值整体代入分解后的式子计算即可得到结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，能简化计算。
【解析】
首先对代数式$a^2b+ab^2$提公因式分解因式：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
已知长方形周长为20，根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2(a+b)$，可得：
$2(a+b)=20$，解得$a+b=10$
又已知长方形面积为16，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=ab$，可得$ab=16$
将$a+b=10$、$ab=16$代入$ab(a+b)$得：
$ab(a+b)=16×10=160$
【答案】
160
【知识点】
提公因式法分解因式；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题，结合长方形的周长和面积性质，将待求式因式分解后整体代入已知条件计算，有效降低了计算量，考查了学生对因式分解的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
9 把下列各式分解因式：
(1) $4a^2b^3 -14ab^2c$；
(2) $4x^2y^3 +16x^2y^2z -12xy^2z$；
(3) $-6x^3 +18x^2 -6x$；
(4) $2(b-a)^2 -6a(a-b)$。
(1) $4a^2b^3 -14ab^2c$；
(2) $4x^2y^3 +16x^2y^2z -12xy^2z$；
(3) $-6x^3 +18x^2 -6x$；
(4) $2(b-a)^2 -6a(a-b)$。
答案
(1) $2ab^2(2ab-7c)$ (2) $4xy^2(xy+4xz-3z)$ (3) $-6x·(x^2-3x+1)$ (4) $-2(a-b)(2a+b)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或整式）的最低次幂，若首项系数为负，公因式通常带负号；②若出现底数互为相反数的整式，先利用偶次幂的性质统一底数；③提取公因式后，将各项剩余部分放在括号内，注意不要漏写常数项，最后检查括号内的式子是否已不能再提公因式。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数4和14的最大公约数是2，相同字母a的最低次幂为$a$，b的最低次幂为$b^2$，因此公因式为$2ab^2$。
$4a^2b^3 -14ab^2c = 2ab^2·2ab - 2ab^2·7c = 2ab^2(2ab - 7c)$
(2) 确定公因式：系数4、16、12的最大公约数是4，相同字母x的最低次幂为$x$，y的最低次幂为$y^2$，因此公因式为$4xy^2$。
$4x^2y^3 +16x^2y^2z -12xy^2z = 4xy^2·xy + 4xy^2·4xz - 4xy^2·3z = 4xy^2(xy + 4xz - 3z)$
(3) 首项系数为负，公因式带负号：系数6、18、6的最大公约数是6，相同字母x的最低次幂为$x$，因此公因式为$-6x$。
$-6x^3 +18x^2 -6x = -6x·x^2 + (-6x)·(-3x) + (-6x)·1 = -6x(x^2 - 3x + 1)$
(4) 先统一底数：由$(b-a)^2=(a-b)^2$，将原式变形为$2(a-b)^2 -6a(a-b)$，公因式为$2(a-b)$。
$2(b-a)^2 -6a(a-b) = 2(a-b)^2 -6a(a-b) = 2(a-b)[(a-b) - 3a] = 2(a-b)(-2a -b) = -2(a-b)(2a + b)$
【答案】
(1) $2ab^2(2ab-7c)$
(2) $4xy^2(xy+4xz-3z)$
(3) $-6x(x^2-3x+1)$
(4) $-2(a-b)(2a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，互为相反数的幂的转化
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题核心是准确识别公因式，需注意首项为负时优先提取负号，遇到底数互为相反数的幂要先统一底数，提取公因式后要检查是否漏项、化简是否彻底。
【难度系数】
0.7
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或整式）的最低次幂，若首项系数为负，公因式通常带负号；②若出现底数互为相反数的整式，先利用偶次幂的性质统一底数；③提取公因式后，将各项剩余部分放在括号内，注意不要漏写常数项，最后检查括号内的式子是否已不能再提公因式。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数4和14的最大公约数是2，相同字母a的最低次幂为$a$，b的最低次幂为$b^2$，因此公因式为$2ab^2$。
$4a^2b^3 -14ab^2c = 2ab^2·2ab - 2ab^2·7c = 2ab^2(2ab - 7c)$
(2) 确定公因式：系数4、16、12的最大公约数是4，相同字母x的最低次幂为$x$，y的最低次幂为$y^2$，因此公因式为$4xy^2$。
$4x^2y^3 +16x^2y^2z -12xy^2z = 4xy^2·xy + 4xy^2·4xz - 4xy^2·3z = 4xy^2(xy + 4xz - 3z)$
(3) 首项系数为负，公因式带负号：系数6、18、6的最大公约数是6，相同字母x的最低次幂为$x$，因此公因式为$-6x$。
$-6x^3 +18x^2 -6x = -6x·x^2 + (-6x)·(-3x) + (-6x)·1 = -6x(x^2 - 3x + 1)$
(4) 先统一底数：由$(b-a)^2=(a-b)^2$，将原式变形为$2(a-b)^2 -6a(a-b)$，公因式为$2(a-b)$。
$2(b-a)^2 -6a(a-b) = 2(a-b)^2 -6a(a-b) = 2(a-b)[(a-b) - 3a] = 2(a-b)(-2a -b) = -2(a-b)(2a + b)$
【答案】
(1) $2ab^2(2ab-7c)$
(2) $4xy^2(xy+4xz-3z)$
(3) $-6x(x^2-3x+1)$
(4) $-2(a-b)(2a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，互为相反数的幂的转化
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题核心是准确识别公因式，需注意首项为负时优先提取负号，遇到底数互为相反数的幂要先统一底数，提取公因式后要检查是否漏项、化简是否彻底。
【难度系数】
0.7
10 先分解因式,再求值:$(a-2)^2 -4(2-a)$,其中$a=-2$.
答案
原式$=(a-2)(a+2)$. 当$a=-2$时,原式$=0$
解析
【分析】
解决本题的思路是：首先观察式子结构，发现两项中分别含因式$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，让两项出现相同公因式$(a-2)$，再用提公因式法完成因式分解，最后代入$a=-2$计算即可，先分解再求值的方式比直接展开计算更简便，能减少计算失误。
【解析】
首先对原式变形，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=(a-2)^2 -4×[-(a-2)]\\&=(a-2)^2 +4(a-2)\end{aligned}$
提取公因式$(a-2)$：
$\begin{aligned}原式&=(a-2)(a-2 +4)\\&=(a-2)(a+2)\end{aligned}$
将$a=-2$代入分解后的式子计算：
当$a=-2$时，原式$=(-2-2)×(-2+2)=-4×0=0$
【答案】
原式$=(a-2)(a+2)$，当$a=-2$时，原式$=0$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题关键是先将互为相反数的因式统一形式，提取公因式后再代入求值，可简化运算流程。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路是：首先观察式子结构，发现两项中分别含因式$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，让两项出现相同公因式$(a-2)$，再用提公因式法完成因式分解，最后代入$a=-2$计算即可，先分解再求值的方式比直接展开计算更简便，能减少计算失误。
【解析】
首先对原式变形，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=(a-2)^2 -4×[-(a-2)]\\&=(a-2)^2 +4(a-2)\end{aligned}$
提取公因式$(a-2)$：
$\begin{aligned}原式&=(a-2)(a-2 +4)\\&=(a-2)(a+2)\end{aligned}$
将$a=-2$代入分解后的式子计算：
当$a=-2$时，原式$=(-2-2)×(-2+2)=-4×0=0$
【答案】
原式$=(a-2)(a+2)$，当$a=-2$时，原式$=0$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题关键是先将互为相反数的因式统一形式，提取公因式后再代入求值，可简化运算流程。
【难度系数】
0.8
