登录
10 若$\dfrac{2x - 3}{x + 1}=A - \dfrac{5}{x + 1}$，则A为（
A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$5$
B
）A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$5$
答案
10.B
解析
【分析】
观察等式两边的分式分母相同，均为$x+1$，结合本节课所学的分式加减法规则，我们可以将等式变形，把含$A$的项单独放在一侧，另一侧利用同分母分式加法法则计算，最后约分即可求出$A$；也可以利用等式性质两边同乘$x+1$（注意$x+1≠0$，保证原式有意义），消去分母转化为整式等式求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知$\dfrac{2x - 3}{x + 1}=A - \dfrac{5}{x + 1}$，且$x+1≠0$，将等式变形得：
$A=\dfrac{2x-3}{x+1}+\dfrac{5}{x+1}$
根据同分母分式加法法则：分母不变，分子相加，可得：
$A=\dfrac{(2x-3)+5}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}$
对分子因式分解：$2x+2=2(x+1)$，代入得：
$A=\dfrac{2(x+1)}{x+1}$
约去不为0的公因式$x+1$，得$A=2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、等式的性质
【点评】
本题是分式加减法的基础应用，解题核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，运算时需注意分母不为0的隐含条件，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
观察等式两边的分式分母相同，均为$x+1$，结合本节课所学的分式加减法规则，我们可以将等式变形，把含$A$的项单独放在一侧，另一侧利用同分母分式加法法则计算，最后约分即可求出$A$；也可以利用等式性质两边同乘$x+1$（注意$x+1≠0$，保证原式有意义），消去分母转化为整式等式求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知$\dfrac{2x - 3}{x + 1}=A - \dfrac{5}{x + 1}$，且$x+1≠0$，将等式变形得：
$A=\dfrac{2x-3}{x+1}+\dfrac{5}{x+1}$
根据同分母分式加法法则：分母不变，分子相加，可得：
$A=\dfrac{(2x-3)+5}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}$
对分子因式分解：$2x+2=2(x+1)$，代入得：
$A=\dfrac{2(x+1)}{x+1}$
约去不为0的公因式$x+1$，得$A=2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、等式的性质
【点评】
本题是分式加减法的基础应用，解题核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，运算时需注意分母不为0的隐含条件，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
11 某企业购电 $ m $ 千瓦·时，计划用 $ a $ 天。由于采取了节约用电的措施，因此这些电实际比原计划多用了5天，则实际比原计划每天节约用电（
A.$\frac{5m}{a(a+5)}$ 千瓦·时
B.$\frac{5m}{a(a-5)}$ 千瓦·时
C.$\frac{m}{a+5}$ 千瓦·时
D.$\frac{m}{a}$ 千瓦·时
A
）A.$\frac{5m}{a(a+5)}$ 千瓦·时
B.$\frac{5m}{a(a-5)}$ 千瓦·时
C.$\frac{m}{a+5}$ 千瓦·时
D.$\frac{m}{a}$ 千瓦·时
答案
11.A
解析
【分析】
要计算实际比原计划每天节约的用电量，首先需要分别求出原计划每天的用电量和实际每天的用电量，再用原计划日用电量减去实际日用电量，最后通过分式的减法运算化简得到结果即可。具体步骤为：第一步根据“总用电量÷使用天数=日用电量”分别表示出计划和实际的日用电量；第二步作差列出算式；第三步对分式通分计算化简，匹配对应选项。
【解析】
首先计算原计划每天的用电量：总购电量为$m$千瓦·时，计划用$a$天，因此原计划每天用电$\frac{m}{a}$千瓦·时。
再计算实际每天的用电量：实际比原计划多用5天，即实际使用天数为$(a+5)$天，因此实际每天用电$\frac{m}{a+5}$千瓦·时。
实际每天节约的用电量 = 原计划日用电量 - 实际日用电量，即：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5}$
对该式通分，最简公分母为$a(a+5)$，则：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5} = \frac{m(a+5)}{a(a+5)} - \frac{ma}{a(a+5)} = \frac{ma + 5m - ma}{a(a+5)} = \frac{5m}{a(a+5)}$（千瓦·时）
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式、分式的通分、分式的减法运算
【点评】
本题属于分式基础应用类题目，解题核心是找准数量关系分别表示出两个时段的日用电量，计算分式减法时注意正确确定最简公分母，避免通分或分子运算时出错。
【难度系数】
0.7
要计算实际比原计划每天节约的用电量，首先需要分别求出原计划每天的用电量和实际每天的用电量，再用原计划日用电量减去实际日用电量，最后通过分式的减法运算化简得到结果即可。具体步骤为：第一步根据“总用电量÷使用天数=日用电量”分别表示出计划和实际的日用电量；第二步作差列出算式；第三步对分式通分计算化简，匹配对应选项。
【解析】
首先计算原计划每天的用电量：总购电量为$m$千瓦·时，计划用$a$天，因此原计划每天用电$\frac{m}{a}$千瓦·时。
再计算实际每天的用电量：实际比原计划多用5天，即实际使用天数为$(a+5)$天，因此实际每天用电$\frac{m}{a+5}$千瓦·时。
实际每天节约的用电量 = 原计划日用电量 - 实际日用电量，即：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5}$
对该式通分，最简公分母为$a(a+5)$，则：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5} = \frac{m(a+5)}{a(a+5)} - \frac{ma}{a(a+5)} = \frac{ma + 5m - ma}{a(a+5)} = \frac{5m}{a(a+5)}$（千瓦·时）
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式、分式的通分、分式的减法运算
【点评】
本题属于分式基础应用类题目，解题核心是找准数量关系分别表示出两个时段的日用电量，计算分式减法时注意正确确定最简公分母，避免通分或分子运算时出错。
【难度系数】
0.7
12 一题多解 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 2$，则$\frac{2a + 5ab - 2b}{3b - 3a - 5ab}$的值为
1
。答案
12.1
【解析】解法一:$\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2,\therefore \frac{b-a}{ab}=2.\therefore b-a=2ab.\therefore 原式=\frac{-2(b-a)+5ab}{3(b-a)-5ab}=\frac{-4ab+5ab}{6ab-5ab}=1.$解法二:由题意,知$a≠ 0,b≠ 0,\therefore ab≠ 0.\therefore 原式=\frac{(2a+5ab-2b)÷ ab}{(3b-3a-5ab)÷ ab}=\frac{\frac{2}{b}+5-\frac{2}{a}}{\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-5}=\frac{-2(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+5}{3(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})-5}=\frac{-2×2+5}{3×2-5}=1.$
【解析】解法一:$\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2,\therefore \frac{b-a}{ab}=2.\therefore b-a=2ab.\therefore 原式=\frac{-2(b-a)+5ab}{3(b-a)-5ab}=\frac{-4ab+5ab}{6ab-5ab}=1.$解法二:由题意,知$a≠ 0,b≠ 0,\therefore ab≠ 0.\therefore 原式=\frac{(2a+5ab-2b)÷ ab}{(3b-3a-5ab)÷ ab}=\frac{\frac{2}{b}+5-\frac{2}{a}}{\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-5}=\frac{-2(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+5}{3(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})-5}=\frac{-2×2+5}{3×2-5}=1.$
解析
【分析】
已知条件是关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$的等式，要求含a、b、ab的分式的值，无需计算a、b的具体数值，可通过整体代入的思路求解。思路1：先对已知等式通分，得到$b-a$与$ab$的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含$b-a$的结构，代入关系计算即可。思路2：由分式有意义的条件可知$ab≠0$，根据分式的基本性质将所求分式的分子、分母同时除以$ab$，转化为含$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的结构，直接代入已知数值计算。
【解析】
解法一：
$\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$，通分得$\frac{b - a}{ab}=2$，
$\therefore b - a = 2ab$。
将所求分式变形：
$\frac{2a + 5ab - 2b}{3b - 3a - 5ab}=\frac{-2(b - a) + 5ab}{3(b - a) - 5ab}$
把$b - a = 2ab$代入上式：
$原式=\frac{-2×2ab + 5ab}{3×2ab - 5ab}=\frac{-4ab + 5ab}{6ab - 5ab}=\frac{ab}{ab}=1$。
解法二：
由分式有意义的条件得$a≠0,b≠0$，因此$ab≠0$。
根据分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$ab$：
$\frac{2a + 5ab - 2b}{3b - 3a - 5ab}=\frac{(2a + 5ab - 2b)÷ab}{(3b - 3a - 5ab)÷ab}=\frac{\frac{2}{b} + 5 - \frac{2}{a}}{\frac{3}{a} - \frac{3}{b} - 5}$
整理得：$\frac{-2(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}) + 5}{3(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}) - 5}$
把$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$代入上式：
$原式=\frac{-2×2 + 5}{3×2 - 5}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是分式求值的典型题型，两种解法均运用整体代入思想，避免了单独求解a、b的繁琐计算，是分式运算中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
已知条件是关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$的等式，要求含a、b、ab的分式的值，无需计算a、b的具体数值，可通过整体代入的思路求解。思路1：先对已知等式通分，得到$b-a$与$ab$的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含$b-a$的结构，代入关系计算即可。思路2：由分式有意义的条件可知$ab≠0$，根据分式的基本性质将所求分式的分子、分母同时除以$ab$，转化为含$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的结构，直接代入已知数值计算。
【解析】
解法一：
$\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$，通分得$\frac{b - a}{ab}=2$，
$\therefore b - a = 2ab$。
将所求分式变形：
$\frac{2a + 5ab - 2b}{3b - 3a - 5ab}=\frac{-2(b - a) + 5ab}{3(b - a) - 5ab}$
把$b - a = 2ab$代入上式：
$原式=\frac{-2×2ab + 5ab}{3×2ab - 5ab}=\frac{-4ab + 5ab}{6ab - 5ab}=\frac{ab}{ab}=1$。
解法二：
由分式有意义的条件得$a≠0,b≠0$，因此$ab≠0$。
根据分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$ab$：
$\frac{2a + 5ab - 2b}{3b - 3a - 5ab}=\frac{(2a + 5ab - 2b)÷ab}{(3b - 3a - 5ab)÷ab}=\frac{\frac{2}{b} + 5 - \frac{2}{a}}{\frac{3}{a} - \frac{3}{b} - 5}$
整理得：$\frac{-2(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}) + 5}{3(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}) - 5}$
把$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$代入上式：
$原式=\frac{-2×2 + 5}{3×2 - 5}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是分式求值的典型题型，两种解法均运用整体代入思想，避免了单独求解a、b的繁琐计算，是分式运算中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
13 计算:
(1) $a+2-\dfrac{a^2 +4}{a-2}$；
(2) $\dfrac{2y}{49x^2 - y^2} - \dfrac{1}{7x - y}$；
(3) $\dfrac{x+y}{x^2 - y^2} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{y^2 - xy}$。
(1) $a+2-\dfrac{a^2 +4}{a-2}$；
(2) $\dfrac{2y}{49x^2 - y^2} - \dfrac{1}{7x - y}$；
(3) $\dfrac{x+y}{x^2 - y^2} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{y^2 - xy}$。
答案
13.(1) $-\frac{8}{a-2}$ (2) $-\frac{1}{7x+y}$ (3) 0
解析
【分析】
这三道题均属于分式的加减法运算，解题总体思路为：①若为整式与分式相加减，可将整式看作分母为1的分式，再找最简公分母通分；②若为异分母分式相加减，先对分母因式分解，确定最简公分母，将分式化为同分母分式，再按“分母不变，分子相加减”的同分母分式加减法法则计算；③计算后对分子化简，最后约分得到最简结果，过程中需重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 将整式$a+2$看作分母为1的分式，最简公分母为$a-2$，通分计算：
$\begin{aligned}a+2-\dfrac{a^2 +4}{a-2}&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}-\dfrac{a^2 +4}{a-2}\\&=\dfrac{a^2 - 4 - a^2 -4}{a-2}\\&=\dfrac{-8}{a-2}\\&=-\dfrac{8}{a-2}\end{aligned}$
(2) 先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解：$49x^2 - y^2=(7x+y)(7x-y)$，可得最简公分母为$(7x+y)(7x-y)$，通分计算：
$\begin{aligned}\dfrac{2y}{49x^2 - y^2} - \dfrac{1}{7x - y}&=\dfrac{2y}{(7x+y)(7x-y)} - \dfrac{7x + y}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{2y - (7x + y)}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{y -7x}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{-(7x - y)}{(7x+y)(7x-y)}\\&=-\dfrac{1}{7x+y}\end{aligned}$
(3) 先对各分母因式分解，再约分化简各分式后计算：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$y^2 - xy = y(y-x) = -y(x-y)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\dfrac{x+y}{x^2 - y^2} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{y^2 - xy}&=\dfrac{x+y}{(x+y)(x-y)} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{-y(x-y)}\\&=\dfrac{1}{x-y} + \dfrac{1}{x-y} - \dfrac{2}{x-y}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{8}{a-2}$；(2) $-\dfrac{1}{7x+y}$；(3) $0$
【知识点】
分式的加减法；因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，解题时需先观察分式结构，能约分的先约分可简化运算，通分时要准确确定最简公分母，尤其要注意分母变形时的符号变化，计算后要将结果化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于分式的加减法运算，解题总体思路为：①若为整式与分式相加减，可将整式看作分母为1的分式，再找最简公分母通分；②若为异分母分式相加减，先对分母因式分解，确定最简公分母，将分式化为同分母分式，再按“分母不变，分子相加减”的同分母分式加减法法则计算；③计算后对分子化简，最后约分得到最简结果，过程中需重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 将整式$a+2$看作分母为1的分式，最简公分母为$a-2$，通分计算：
$\begin{aligned}a+2-\dfrac{a^2 +4}{a-2}&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}-\dfrac{a^2 +4}{a-2}\\&=\dfrac{a^2 - 4 - a^2 -4}{a-2}\\&=\dfrac{-8}{a-2}\\&=-\dfrac{8}{a-2}\end{aligned}$
(2) 先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解：$49x^2 - y^2=(7x+y)(7x-y)$，可得最简公分母为$(7x+y)(7x-y)$，通分计算：
$\begin{aligned}\dfrac{2y}{49x^2 - y^2} - \dfrac{1}{7x - y}&=\dfrac{2y}{(7x+y)(7x-y)} - \dfrac{7x + y}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{2y - (7x + y)}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{y -7x}{(7x+y)(7x-y)}\\&=\dfrac{-(7x - y)}{(7x+y)(7x-y)}\\&=-\dfrac{1}{7x+y}\end{aligned}$
(3) 先对各分母因式分解，再约分化简各分式后计算：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$y^2 - xy = y(y-x) = -y(x-y)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\dfrac{x+y}{x^2 - y^2} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{y^2 - xy}&=\dfrac{x+y}{(x+y)(x-y)} + \dfrac{1}{x - y} + \dfrac{2y}{-y(x-y)}\\&=\dfrac{1}{x-y} + \dfrac{1}{x-y} - \dfrac{2}{x-y}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{8}{a-2}$；(2) $-\dfrac{1}{7x+y}$；(3) $0$
【知识点】
分式的加减法；因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，解题时需先观察分式结构，能约分的先约分可简化运算，通分时要准确确定最简公分母，尤其要注意分母变形时的符号变化，计算后要将结果化为最简形式。
【难度系数】
0.7
14 定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.例如:$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$, $\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2x+2-5}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}+\frac{-5}{x+1}=2+\frac{-5}{x+1}$, 则$\frac{x+1}{x-1}$和$\frac{2x-3}{x+1}$都是“和谐分式”.
(1) 有下列式子:① $\frac{x+1}{x}$;② $\frac{2+x}{2}$;③ $\frac{x+2}{x+1}$;④ $\frac{y^2+1}{y^2}$. 其中, 属于“和谐分式”的是
(2) 将“和谐分式”$\frac{a^2-2a+3}{a-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\_\_\_\_\_\_+\frac{2}{a-1}$.
(3) 拓展:若$\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$, 求$A,B$的值.
(1) 有下列式子:① $\frac{x+1}{x}$;② $\frac{2+x}{2}$;③ $\frac{x+2}{x+1}$;④ $\frac{y^2+1}{y^2}$. 其中, 属于“和谐分式”的是
① ③ ④
(填序号).(2) 将“和谐分式”$\frac{a^2-2a+3}{a-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\_\_\_\_\_\_+\frac{2}{a-1}$.
(3) 拓展:若$\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$, 求$A,B$的值.
答案
14.(1) ① ③ ④
(2) $a - 1$
(3) $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}.\because \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2},\therefore \begin{cases}A+B=2,\\2A-B=1,\end{cases}解得\begin{cases}A=1,\\B=1\end{cases}$
(2) $a - 1$
(3) $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}.\because \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2},\therefore \begin{cases}A+B=2,\\2A-B=1,\end{cases}解得\begin{cases}A=1,\\B=1\end{cases}$
解析
【分析】
本题围绕新定义“和谐分式”展开，解题思路如下：
(1) 紧扣“和谐分式”的定义，先判断式子是否为分式，再看能否拆分为整式加分子为常数的分式的形式，逐一验证各选项即可；
(2) 对分式的分子进行变形，凑出含有分母$(a-1)$的整式部分，再拆分分式即可得到对应的整式；
(3) 先将等式右边的两个分式通分合并，根据左右两个分式分母相同、值相等，则分子对应项的系数相等，列出二元一次方程组求解$A、B$的值。
【解析】
(1) 逐一分析各式：
① $\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$，符合和谐分式定义；
② $\frac{2+x}{2}$ 是整式，不是分式，不符合定义；
③ $\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$，符合和谐分式定义；
④ $\frac{y^2+1}{y^2}=\frac{y^2}{y^2}+\frac{1}{y^2}=1+\frac{1}{y^2}$，符合和谐分式定义；
故属于和谐分式的是①③④。
(2) 对分子变形：$a^2-2a+3=(a^2-2a+1)+2=(a-1)^2+2$，
则 $\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=\frac{(a-1)^2}{a-1}+\frac{2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$，故填$a-1$。
(3) 先将等式右边通分：
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}$，
因为 $\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$，两个分式分母相同、值相等，因此分子对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A+B=2\\2A-B=1\end{cases}$
将两个方程相加得$3A=3$，解得$A=1$，代入$A+B=2$得$B=1$。
【答案】
(1) ①③④
(2) $a-1$
(3) $A=1,B=1$
【知识点】
分式的运算，待定系数法，二元一次方程组解法
【点评】
本题以新定义为载体，既考查对新概念的理解转化能力，又考查分式通分、整式变形、方程求解的基础运算能力，解题的关键是抓住新定义的本质，灵活运用分式加减的运算规则。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义“和谐分式”展开，解题思路如下：
(1) 紧扣“和谐分式”的定义，先判断式子是否为分式，再看能否拆分为整式加分子为常数的分式的形式，逐一验证各选项即可；
(2) 对分式的分子进行变形，凑出含有分母$(a-1)$的整式部分，再拆分分式即可得到对应的整式；
(3) 先将等式右边的两个分式通分合并，根据左右两个分式分母相同、值相等，则分子对应项的系数相等，列出二元一次方程组求解$A、B$的值。
【解析】
(1) 逐一分析各式：
① $\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$，符合和谐分式定义；
② $\frac{2+x}{2}$ 是整式，不是分式，不符合定义；
③ $\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$，符合和谐分式定义；
④ $\frac{y^2+1}{y^2}=\frac{y^2}{y^2}+\frac{1}{y^2}=1+\frac{1}{y^2}$，符合和谐分式定义；
故属于和谐分式的是①③④。
(2) 对分子变形：$a^2-2a+3=(a^2-2a+1)+2=(a-1)^2+2$，
则 $\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=\frac{(a-1)^2}{a-1}+\frac{2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$，故填$a-1$。
(3) 先将等式右边通分：
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}$，
因为 $\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$，两个分式分母相同、值相等，因此分子对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A+B=2\\2A-B=1\end{cases}$
将两个方程相加得$3A=3$，解得$A=1$，代入$A+B=2$得$B=1$。
【答案】
(1) ①③④
(2) $a-1$
(3) $A=1,B=1$
【知识点】
分式的运算，待定系数法，二元一次方程组解法
【点评】
本题以新定义为载体，既考查对新概念的理解转化能力，又考查分式通分、整式变形、方程求解的基础运算能力，解题的关键是抓住新定义的本质，灵活运用分式加减的运算规则。
【难度系数】
0.7
