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15 计算$(\dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1)·\dfrac{2a + 2}{2a - 1}$的结果为（
A.$\dfrac{2}{a - 1}$
B.$-\dfrac{2}{a - 1}$
C.$\dfrac{2}{a + 1}$
D.$-\dfrac{2}{a + 1}$
B
）A.$\dfrac{2}{a - 1}$
B.$-\dfrac{2}{a - 1}$
C.$\dfrac{2}{a + 1}$
D.$-\dfrac{2}{a + 1}$
答案
15. B
解析
【分析】
本题为分式混合运算题，按照运算优先级先计算括号内的减法，再计算括号外的乘法：1. 先将括号内的整数1转化为与分式同分母的形式，通分后计算分子的差；2. 对各分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分；3. 计算分式乘法时先约分再求值，注意符号的变化，最终化简结果对应选项即可。
【解析】
第一步：计算括号内的减法
先利用平方差公式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
将1通分为分母为$(a+1)(a-1)$的分式：
$\dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1 = \dfrac{a^2 - 2a}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{a^2 - 1}{(a+1)(a-1)}$
计算分子的差：$a^2 - 2a - (a^2 - 1) = -2a + 1 = -(2a-1)$
因此括号内化简为：$\dfrac{-(2a-1)}{(a+1)(a-1)}$
第二步：分解括号外分式的分子
$\dfrac{2a+2}{2a-1} = \dfrac{2(a+1)}{2a-1}$
第三步：计算分式乘法并约分
原式 = $\dfrac{-(2a-1)}{(a+1)(a-1)} × \dfrac{2(a+1)}{2a-1}$
约去公因式$(2a-1)$和$(a+1)$，可得：
原式 = $-\dfrac{2}{a-1}$
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题时要注意通分、因式分解过程中的符号处理，约分要彻底，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
本题为分式混合运算题，按照运算优先级先计算括号内的减法，再计算括号外的乘法：1. 先将括号内的整数1转化为与分式同分母的形式，通分后计算分子的差；2. 对各分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分；3. 计算分式乘法时先约分再求值，注意符号的变化，最终化简结果对应选项即可。
【解析】
第一步：计算括号内的减法
先利用平方差公式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$
将1通分为分母为$(a+1)(a-1)$的分式：
$\dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1 = \dfrac{a^2 - 2a}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{a^2 - 1}{(a+1)(a-1)}$
计算分子的差：$a^2 - 2a - (a^2 - 1) = -2a + 1 = -(2a-1)$
因此括号内化简为：$\dfrac{-(2a-1)}{(a+1)(a-1)}$
第二步：分解括号外分式的分子
$\dfrac{2a+2}{2a-1} = \dfrac{2(a+1)}{2a-1}$
第三步：计算分式乘法并约分
原式 = $\dfrac{-(2a-1)}{(a+1)(a-1)} × \dfrac{2(a+1)}{2a-1}$
约去公因式$(2a-1)$和$(a+1)$，可得：
原式 = $-\dfrac{2}{a-1}$
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题时要注意通分、因式分解过程中的符号处理，约分要彻底，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
16 已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{2-x}-\frac{1}{x-2}=2$的解是非负数,则$k$的取值范围是（
A.$k≤3$
B.$k≥3$
C.$k≤3$且$k≠2$
D.$k≤3$且$k≠-1$
D
）A.$k≤3$
B.$k≥3$
C.$k≤3$且$k≠2$
D.$k≤3$且$k≠-1$
答案
16. D
解析
【分析】
解决本题需按以下思路思考：首先将分式方程化为整式方程，用含k的代数式表示出方程的解；再结合“解是非负数”列出关于k的不等式，同时不要遗漏分式方程分母不为0的隐含条件，即解不能使分母为0；最后联立两个不等式求解，即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原方程变形，由$2-x=-(x-2)$，原方程可改写为：
$\frac{-k}{x-2}-\frac{1}{x-2}=2$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（需满足$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$-k-1=2(x-2)$
展开并整理求解x：
$-k-1=2x-4$
$2x=3-k$
$x=\frac{3-k}{2}$
根据题意，方程的解是非负数，因此：
$\frac{3-k}{2}≥0$，解得$k≤3$
又因为分式分母不能为0，即$x≠2$，因此：
$\frac{3-k}{2}≠2$，解得$k≠-1$
综上，k的取值范围是$k≤3$且$k≠-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式应用、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含限制，导致漏算$k≠-1$的条件，解题时要注意考虑全面，不要忘记检验增根。
【难度系数】
0.6
解决本题需按以下思路思考：首先将分式方程化为整式方程，用含k的代数式表示出方程的解；再结合“解是非负数”列出关于k的不等式，同时不要遗漏分式方程分母不为0的隐含条件，即解不能使分母为0；最后联立两个不等式求解，即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原方程变形，由$2-x=-(x-2)$，原方程可改写为：
$\frac{-k}{x-2}-\frac{1}{x-2}=2$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（需满足$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$-k-1=2(x-2)$
展开并整理求解x：
$-k-1=2x-4$
$2x=3-k$
$x=\frac{3-k}{2}$
根据题意，方程的解是非负数，因此：
$\frac{3-k}{2}≥0$，解得$k≤3$
又因为分式分母不能为0，即$x≠2$，因此：
$\frac{3-k}{2}≠2$，解得$k≠-1$
综上，k的取值范围是$k≤3$且$k≠-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程求解、一元一次不等式应用、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含限制，导致漏算$k≠-1$的条件，解题时要注意考虑全面，不要忘记检验增根。
【难度系数】
0.6
17 [2024枣庄]为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件产品，改造后生产600件产品的时间与改造前生产400件产品的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（
A.200
B.300
C.400
D.500
B
）A.200
B.300
C.400
D.500
答案
17. B
解析
【分析】
本题属于分式方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系。首先明确两个核心已知条件：①改造后日产量比改造前多100件；②改造后生产600件的时间 = 改造前生产400件的时间。我们可以通过设改造后日产量为未知数，用“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两个场景的生产时间，再根据时间相等列分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设改造后每天生产$x$件产品，则改造前每天生产$(x-100)$件产品。
根据“改造后生产600件产品的时间与改造前生产400件产品的时间相同”，列方程得：
$\frac{600}{x}=\frac{400}{x-100}$
交叉相乘去分母得：
$600(x-100)=400x$
展开得：
$600x - 60000 = 400x$
移项、合并同类项得：
$200x=60000$
解得：
$x=300$
检验：当$x=300$时，$x(x-100)=300×200=60000≠0$，所以$x=300$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验解既要满足分式方程，也要符合实际情境，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题属于分式方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系。首先明确两个核心已知条件：①改造后日产量比改造前多100件；②改造后生产600件的时间 = 改造前生产400件的时间。我们可以通过设改造后日产量为未知数，用“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两个场景的生产时间，再根据时间相等列分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设改造后每天生产$x$件产品，则改造前每天生产$(x-100)$件产品。
根据“改造后生产600件产品的时间与改造前生产400件产品的时间相同”，列方程得：
$\frac{600}{x}=\frac{400}{x-100}$
交叉相乘去分母得：
$600(x-100)=400x$
展开得：
$600x - 60000 = 400x$
移项、合并同类项得：
$200x=60000$
解得：
$x=300$
检验：当$x=300$时，$x(x-100)=300×200=60000≠0$，所以$x=300$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验解既要满足分式方程，也要符合实际情境，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.8
18 一题多解 已知$\frac{2}{a} - \frac{2}{b} = \frac{3}{a+b}$，则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} =$
$\pm\frac{5}{2}$
答案
18. $\pm \frac{5}{2}$ 【解析】解法一:由题意,得$\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\frac{2b-2a}{ab}=\frac{3}{a+b}$,$\therefore\ 2b^2-2a^2=3ab$.$\therefore\ 2b^2-2a^2-3ab=0$.$\therefore\ (b-2a)(2b+a)=0$.$\therefore\ 2a=b$或$a=-2b$.$\therefore\ \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$或$\frac{a}{b}=-2$.$\therefore$ 原式$=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$或$-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$.解法二:由题意,得$\frac{2(a+b)}{a}-\frac{2(a+b)}{b}=3$,$\therefore\ 2+\frac{2b}{a}-\frac{2a}{b}-2=3$.$\therefore\ \frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$.$\because\ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{b}{a}-\frac{a}{b})^2+4$,$\therefore\ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$.$\therefore\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\pm\frac{5}{2}$.解法三:由题意,得$\frac{2b-2a}{ab}=\frac{3}{a+b}$,$\therefore\ 2(b-a)(a+b)=3ab$,即$4(b^2+a^2-2ab)(b^2+a^2+2ab)=(3ab)^2$.设$a^2+b^2=m$,$ab=n$,则$4(m-2n)(m+2n)=9n^2$,$\therefore\ 4m^2-16n^2=9n^2$.$\therefore\ \frac{m^2}{n^2}=\frac{25}{4}$.$\therefore\ \frac{m}{n}=\pm\frac{5}{2}$.$\therefore\ \frac{a^2+b^2}{ab}=\pm\frac{5}{2}$.$\therefore\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\pm\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，目标式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$是关于a、b的齐次分式，有两种常用解题思路：思路一，先对已知等式左边通分，去分母转化为整式方程，通过因式分解得到a与b的比值关系，再代入目标式计算；思路二，对已知等式整体变形，直接构造出和目标式相关的表达式，利用完全平方公式的变形求解。解题时要注意分母不为0的隐含条件，开平方时需同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解法1：对已知等式左边通分，得
$\frac{2b-2a}{ab}=\frac{3}{a+b}$
由分式分母不为0可知$a≠0,b≠0,a+b≠0$，交叉相乘得：
$2(b-a)(a+b)=3ab$
利用平方差公式展开左边，整理得：
$2b^2-2a^2=3ab$，即$2a^2+3ab-2b^2=0$
对左边因式分解（十字相乘法）得：
$(2a-b)(a+2b)=0$
$\therefore 2a-b=0$或$a+2b=0$，即$b=2a$或$a=-2b$
当$b=2a$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$
当$a=-2b$时，$\frac{a}{b}=-2$，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-2+(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$
解法2：已知等式两边同时乘$(a+b)$，得
$\frac{2(a+b)}{a}-\frac{2(a+b)}{b}=3$
拆分后化简：
$2+\frac{2b}{a}-\frac{2a}{b}-2=3$，即$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$
由完全平方公式变形可得：
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{b}{a}-\frac{a}{b})^2+4$
代入$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，得：
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{3}{2})^2+4=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$
开平方得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\pm\frac{5}{2}$
【答案】
$\pm \frac{5}{2}$
【知识点】
分式的运算；因式分解；完全平方公式
【点评】
本题考查分式化简求值的多种解法，既可以通过转化已知条件得到a与b的数量关系代入求解，也可以通过整体变形直接计算，解题时要注意不要遗漏开平方后的负根，同时要满足分式分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
本题属于分式化简求值类题目，目标式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$是关于a、b的齐次分式，有两种常用解题思路：思路一，先对已知等式左边通分，去分母转化为整式方程，通过因式分解得到a与b的比值关系，再代入目标式计算；思路二，对已知等式整体变形，直接构造出和目标式相关的表达式，利用完全平方公式的变形求解。解题时要注意分母不为0的隐含条件，开平方时需同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解法1：对已知等式左边通分，得
$\frac{2b-2a}{ab}=\frac{3}{a+b}$
由分式分母不为0可知$a≠0,b≠0,a+b≠0$，交叉相乘得：
$2(b-a)(a+b)=3ab$
利用平方差公式展开左边，整理得：
$2b^2-2a^2=3ab$，即$2a^2+3ab-2b^2=0$
对左边因式分解（十字相乘法）得：
$(2a-b)(a+2b)=0$
$\therefore 2a-b=0$或$a+2b=0$，即$b=2a$或$a=-2b$
当$b=2a$时，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$
当$a=-2b$时，$\frac{a}{b}=-2$，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-2+(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$
解法2：已知等式两边同时乘$(a+b)$，得
$\frac{2(a+b)}{a}-\frac{2(a+b)}{b}=3$
拆分后化简：
$2+\frac{2b}{a}-\frac{2a}{b}-2=3$，即$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$
由完全平方公式变形可得：
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{b}{a}-\frac{a}{b})^2+4$
代入$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，得：
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2=(\frac{3}{2})^2+4=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$
开平方得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\pm\frac{5}{2}$
【答案】
$\pm \frac{5}{2}$
【知识点】
分式的运算；因式分解；完全平方公式
【点评】
本题考查分式化简求值的多种解法，既可以通过转化已知条件得到a与b的数量关系代入求解，也可以通过整体变形直接计算，解题时要注意不要遗漏开平方后的负根，同时要满足分式分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
19 一个圆柱形容器的容积为$V\ \mathrm{m}^3$，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时$t\ \mathrm{min}$。设小水管的注水速度为$x\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$，那么可列出关于$x$的分式方程为
$\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
。答案
19. $\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
解析
【分析】
解这道题需将注水过程拆分为两个阶段分析，首先明确每个阶段的注水量，再根据水管口径的关系推导大水管的注水速度，接着利用“时间=注水量÷注水速度”分别计算两段的注水时间，最后根据“两段时间之和等于总用时t”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 确定两段注水量：水面高度达到容器一半时，前后两个阶段的注水量均为容器容积的一半，即$\frac{V}{2}\ \mathrm{m}^3$。
2. 求大水管的注水速度：水管口径指直径，大水管口径是小水管的2倍，则半径也是小水管的2倍。根据圆的面积公式$S=π r^2$，大水管横截面积是小水管的$2^2=4$倍，因此大水管的注水速度为小水管的4倍，即$4x\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$。
3. 分别计算两段注水时间：
前半段用小水管注水的时间：$t_1=\frac{\mathrm{注水量}}{\mathrm{注水速度}}=\frac{\frac{V}{2}}{x}=\frac{V}{2x}$
后半段用大水管注水的时间：$t_2=\frac{\mathrm{注水量}}{\mathrm{注水速度}}=\frac{\frac{V}{2}}{4x}=\frac{V}{8x}$
4. 结合总用时为$t\ \mathrm{min}$，可列方程：$\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
【答案】
$\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
【知识点】
列分式方程，工程（注水）问题，圆的面积计算
【点评】
本题结合生活注水场景考查分式方程的实际应用，解题关键是找准总时间的等量关系，易错点是容易误将口径2倍直接等同于注水速度2倍，忽略横截面积与半径平方成正比的关系，正确推导大水管的注水速度后即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解这道题需将注水过程拆分为两个阶段分析，首先明确每个阶段的注水量，再根据水管口径的关系推导大水管的注水速度，接着利用“时间=注水量÷注水速度”分别计算两段的注水时间，最后根据“两段时间之和等于总用时t”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 确定两段注水量：水面高度达到容器一半时，前后两个阶段的注水量均为容器容积的一半，即$\frac{V}{2}\ \mathrm{m}^3$。
2. 求大水管的注水速度：水管口径指直径，大水管口径是小水管的2倍，则半径也是小水管的2倍。根据圆的面积公式$S=π r^2$，大水管横截面积是小水管的$2^2=4$倍，因此大水管的注水速度为小水管的4倍，即$4x\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$。
3. 分别计算两段注水时间：
前半段用小水管注水的时间：$t_1=\frac{\mathrm{注水量}}{\mathrm{注水速度}}=\frac{\frac{V}{2}}{x}=\frac{V}{2x}$
后半段用大水管注水的时间：$t_2=\frac{\mathrm{注水量}}{\mathrm{注水速度}}=\frac{\frac{V}{2}}{4x}=\frac{V}{8x}$
4. 结合总用时为$t\ \mathrm{min}$，可列方程：$\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
【答案】
$\frac{V}{2x}+\frac{V}{8x}=t$
【知识点】
列分式方程，工程（注水）问题，圆的面积计算
【点评】
本题结合生活注水场景考查分式方程的实际应用，解题关键是找准总时间的等量关系，易错点是容易误将口径2倍直接等同于注水速度2倍，忽略横截面积与半径平方成正比的关系，正确推导大水管的注水速度后即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
20 [2024达州]若关于$x$的方程$\frac{3}{x-2} - \frac{kx -1}{x-2} = 1$无解，则$k$的值为
2或-1
。答案
20. 2或$-1$ 【解析】原方程可化为$(k+1)x=6$.$\because$ 方程无解,$\therefore$ 分两种情况:① 当$x=2$时,方程的根为增根,即$2(k+1)=6$,$\therefore\ k=2$.② 当$k+1=0$,即$k=-1$时,方程无实数根. 综上所述,$k$的值为2或$-1$.
解析
【分析】
遇到分式方程无解的问题，首先要明确分式方程无解包含两类情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两类情况分类讨论求解即可。
【解析】
原方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（此时$x≠2$，否则分式无意义），得：
$3-(kx-1)=x-2$
去括号：$3-kx+1=x-2$
移项、合并同类项：$(k+1)x=6$
因为原分式方程无解，分两种情况讨论：
① 整式方程本身无解：当$k+1=0$即$k=-1$时，方程左边为$0$，右边为$6$，等式不成立，整式方程无实数解，因此原分式方程无解；
② 整式方程的解为原分式方程的增根：增根是使原分式分母为0的$x$值，即$x=2$，将$x=2$代入整式方程得$2(k+1)=6$，解得$k=2$，此时$x=2$代入原方程分母为0，属于增根，原分式方程无解。
综上，$k$的值为2或$-1$。
【答案】
2或$-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的典型常考题，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，需注意分类讨论，避免出现只考虑增根、漏记整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
遇到分式方程无解的问题，首先要明确分式方程无解包含两类情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两类情况分类讨论求解即可。
【解析】
原方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（此时$x≠2$，否则分式无意义），得：
$3-(kx-1)=x-2$
去括号：$3-kx+1=x-2$
移项、合并同类项：$(k+1)x=6$
因为原分式方程无解，分两种情况讨论：
① 整式方程本身无解：当$k+1=0$即$k=-1$时，方程左边为$0$，右边为$6$，等式不成立，整式方程无实数解，因此原分式方程无解；
② 整式方程的解为原分式方程的增根：增根是使原分式分母为0的$x$值，即$x=2$，将$x=2$代入整式方程得$2(k+1)=6$，解得$k=2$，此时$x=2$代入原方程分母为0，属于增根，原分式方程无解。
综上，$k$的值为2或$-1$。
【答案】
2或$-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的典型常考题，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，需注意分类讨论，避免出现只考虑增根、漏记整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
21 [2025 烟台]先化简,再求值:$(2+m+\dfrac{4}{m-2})÷\dfrac{m}{3m-6}$,其中$m=(-1)^{2025}$.
答案
21. 原式$=\frac{m^2-4+4}{m-2}÷\frac{m}{3(m-2)}=\frac{m^2}{m-2}·\frac{3(m-2)}{m}=3m$.$\because\ m=(-1)^{2025}=-1$,$\therefore$ 原式$=-3$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，首先处理括号内的加法运算，将整式$2+m$通分转化为分母为$m-2$的分式，再和$\frac{4}{m-2}$合并；接着把除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分母$3m-6$因式分解，最后约分得到最简整式；第二步先计算$m$的取值，再代入最简式计算最终结果，运算时注意公因式的识别和约分规则。
【解析】
先化简原式：
1. 括号内通分合并：
$2+m=\frac{(m+2)(m-2)}{m-2}=\frac{m^2-4}{m-2}$，
则$2+m+\frac{4}{m-2}=\frac{m^2-4}{m-2}+\frac{4}{m-2}=\frac{m^2-4+4}{m-2}=\frac{m^2}{m-2}$。
2. 转化除法并因式分解：
除式$\frac{m}{3m-6}=\frac{m}{3(m-2)}$，除以一个分式等于乘它的倒数，因此原式可写为：
$\frac{m^2}{m-2} × \frac{3(m-2)}{m}$。
3. 约分得到最简式：
约去公因式$m$和$m-2$，得最简式为$3m$。
4. 计算$m$的值并代入：
$m=(-1)^{2025}=-1$，代入最简式得$3×(-1)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、有理数乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，考查分式化简的常规流程，需要熟练掌握通分、约分的操作方法，以及负数乘方的符号判断规则，运算时注意遵循先括号后乘除的顺序，避免符号或运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，首先处理括号内的加法运算，将整式$2+m$通分转化为分母为$m-2$的分式，再和$\frac{4}{m-2}$合并；接着把除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分母$3m-6$因式分解，最后约分得到最简整式；第二步先计算$m$的取值，再代入最简式计算最终结果，运算时注意公因式的识别和约分规则。
【解析】
先化简原式：
1. 括号内通分合并：
$2+m=\frac{(m+2)(m-2)}{m-2}=\frac{m^2-4}{m-2}$，
则$2+m+\frac{4}{m-2}=\frac{m^2-4}{m-2}+\frac{4}{m-2}=\frac{m^2-4+4}{m-2}=\frac{m^2}{m-2}$。
2. 转化除法并因式分解：
除式$\frac{m}{3m-6}=\frac{m}{3(m-2)}$，除以一个分式等于乘它的倒数，因此原式可写为：
$\frac{m^2}{m-2} × \frac{3(m-2)}{m}$。
3. 约分得到最简式：
约去公因式$m$和$m-2$，得最简式为$3m$。
4. 计算$m$的值并代入：
$m=(-1)^{2025}=-1$，代入最简式得$3×(-1)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、有理数乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，考查分式化简的常规流程，需要熟练掌握通分、约分的操作方法，以及负数乘方的符号判断规则，运算时注意遵循先括号后乘除的顺序，避免符号或运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
22 2026年元旦节来临之际，某校准备订购一批具有“陶味”的文创产品.经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个工厂共同生产，并在元旦前赶制完成“陶味”文创产品共14100件.经考察，乙工厂生产“陶味”文创产品的数量比甲工厂生产“陶味”文创产品数量的1.5倍少900件.
（1）甲、乙两个工厂各生产“陶味”文创产品多少件？
（2）在生产过程中，乙工厂每天生产“陶味”文创产品的数量是甲工厂每天生产“陶味”文创产品数量的1.2倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件“陶味”文创产品.
（1）甲、乙两个工厂各生产“陶味”文创产品多少件？
（2）在生产过程中，乙工厂每天生产“陶味”文创产品的数量是甲工厂每天生产“陶味”文创产品数量的1.2倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件“陶味”文创产品.
答案
22. (1) 设甲工厂生产“陶味”文创产品$x$件,则乙工厂生产“陶味”文创产品$(1.5x-900)$件. 由题意,得$x+(1.5x-900)=14100$,解得$x=6000$.$\therefore\ 1.5x-900=1.5×6000-900=8100$.答:甲工厂生产“陶味”文创产品6 000件,乙工厂生产“陶味”文创产品8 100件 (2) 设甲工厂每天生产“陶味”文创产品$y$件,则乙工厂每天生产“陶味”文创产品$1.2y$件. 由题意,得$\frac{8100}{1.2y}-\frac{6000}{y}=5$,解得$y=150$. 经检验,$y=150$是原方程的解,且符合题意.$\therefore\ 1.2y=1.2×150=180$.答:乙工厂每天生产“陶味”文创产品180件
解析
【分析】
（1）第一问为和差倍分类应用题，解题核心是找准等量关系。我们可先设甲工厂的生产数量为未知数，根据“乙工厂生产数量是甲的1.5倍少900件”用含未知数的式子表示乙的生产数量，再结合“两厂总产量为14100件”的条件列一元一次方程求解即可。
（2）第二问为生产类分式方程应用题，核心等量关系是“甲工厂比乙工厂提前5天完成”，即乙的生产总时长减去甲的生产总时长等于5天。我们可设甲工厂每天的产量为未知数，根据“乙每天产量是甲的1.2倍”表示出乙的日产量，再结合“生产总时长=总产量÷日产量”分别表示两厂的生产时长，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
（1）设甲工厂生产“陶味”文创产品$x$件，则乙工厂生产“陶味”文创产品$(1.5x-900)$件。
由题意得：
$x+(1.5x-900)=14100$
合并同类项得$2.5x=15000$，解得$x=6000$
则乙工厂生产数量为：$1.5×6000-900=8100$（件）
（2）设甲工厂每天生产“陶味”文创产品$y$件，则乙工厂每天生产“陶味”文创产品$1.2y$件。
由题意得：
$\frac{8100}{1.2y}-\frac{6000}{y}=5$
方程两边同乘$1.2y$去分母得：$8100-7200=6y$
解得$y=150$
检验：当$y=150$时，$1.2y=180≠0$，因此$y=150$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙工厂每天生产数量为：$1.2×150=180$（件）
【答案】
（1）甲工厂生产“陶味”文创产品6000件，乙工厂生产“陶味”文创产品8100件；
（2）乙工厂每天生产180件“陶味”文创产品。
【知识点】
一元一次方程的应用、分式方程的应用
【点评】
本题以文创产品生产为背景，贴近生活实际，主要考查学生用方程解决实际问题的能力。第一问难度较低，找准数量和总量的关系即可求解；第二问需要理清时间的数量关系，同时要牢记分式方程必须检验根的合理性，整体能有效考查学生的审题能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为和差倍分类应用题，解题核心是找准等量关系。我们可先设甲工厂的生产数量为未知数，根据“乙工厂生产数量是甲的1.5倍少900件”用含未知数的式子表示乙的生产数量，再结合“两厂总产量为14100件”的条件列一元一次方程求解即可。
（2）第二问为生产类分式方程应用题，核心等量关系是“甲工厂比乙工厂提前5天完成”，即乙的生产总时长减去甲的生产总时长等于5天。我们可设甲工厂每天的产量为未知数，根据“乙每天产量是甲的1.2倍”表示出乙的日产量，再结合“生产总时长=总产量÷日产量”分别表示两厂的生产时长，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
（1）设甲工厂生产“陶味”文创产品$x$件，则乙工厂生产“陶味”文创产品$(1.5x-900)$件。
由题意得：
$x+(1.5x-900)=14100$
合并同类项得$2.5x=15000$，解得$x=6000$
则乙工厂生产数量为：$1.5×6000-900=8100$（件）
（2）设甲工厂每天生产“陶味”文创产品$y$件，则乙工厂每天生产“陶味”文创产品$1.2y$件。
由题意得：
$\frac{8100}{1.2y}-\frac{6000}{y}=5$
方程两边同乘$1.2y$去分母得：$8100-7200=6y$
解得$y=150$
检验：当$y=150$时，$1.2y=180≠0$，因此$y=150$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙工厂每天生产数量为：$1.2×150=180$（件）
【答案】
（1）甲工厂生产“陶味”文创产品6000件，乙工厂生产“陶味”文创产品8100件；
（2）乙工厂每天生产180件“陶味”文创产品。
【知识点】
一元一次方程的应用、分式方程的应用
【点评】
本题以文创产品生产为背景，贴近生活实际，主要考查学生用方程解决实际问题的能力。第一问难度较低，找准数量和总量的关系即可求解；第二问需要理清时间的数量关系，同时要牢记分式方程必须检验根的合理性，整体能有效考查学生的审题能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
