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7 计算：
(1) $[2025\mathrm{湖北}]\dfrac{x^2 + 2x}{x} - x =$
(2) $[2025\mathrm{扬州}](1 - \dfrac{2}{x}) ÷ \dfrac{1}{x} =$
(1) $[2025\mathrm{湖北}]\dfrac{x^2 + 2x}{x} - x =$
2
；(2) $[2025\mathrm{扬州}](1 - \dfrac{2}{x}) ÷ \dfrac{1}{x} =$
$x-2$
。答案
7. (1) 2 (2) $x-2$
解析
【分析】
这两道题都是分式的基础运算题，解题思路清晰：
(1) 分式与整式的减法运算，可选择两种方法：一是先对分式部分约分，化为整式后再计算；二是将整式通分转化为同分母分式，再做减法计算，运算时注意隐含条件$x≠0$。
(2) 含括号的分式除法运算，遵循“先算括号内，再算括号外”的顺序：先把括号内的整数转化为同分母分式，完成括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
(1) 解法1（约分法）：
对第一个分式的分子提取公因式$x$，原式可化为$\dfrac{x(x+2)}{x} - x$，由$x≠0$约分得$x+2 - x = 2$。
解法2（通分法）：
将$-x$通分为分母为$x$的分式，原式$=\dfrac{x^2+2x}{x} - \dfrac{x^2}{x} = \dfrac{x^2+2x - x^2}{x} = \dfrac{2x}{x} = 2$。
(2) 第一步：计算括号内的减法
将$1$改写为$\dfrac{x}{x}$，得$1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x-2}{x}$；
第二步：计算除法
分式除法转化为乘法运算：除以$\dfrac{1}{x}$等于乘以$x$，因此原式$=\dfrac{x-2}{x} × x = x-2$（$x≠0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{x-2}$
【知识点】
分式的基本性质、分式加减运算、分式乘除运算
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考察分式运算的基本规则，运算时优先约分可简化计算步骤，要注意分母不能为0的隐含限制，熟练掌握通分、约分技巧是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
这两道题都是分式的基础运算题，解题思路清晰：
(1) 分式与整式的减法运算，可选择两种方法：一是先对分式部分约分，化为整式后再计算；二是将整式通分转化为同分母分式，再做减法计算，运算时注意隐含条件$x≠0$。
(2) 含括号的分式除法运算，遵循“先算括号内，再算括号外”的顺序：先把括号内的整数转化为同分母分式，完成括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
(1) 解法1（约分法）：
对第一个分式的分子提取公因式$x$，原式可化为$\dfrac{x(x+2)}{x} - x$，由$x≠0$约分得$x+2 - x = 2$。
解法2（通分法）：
将$-x$通分为分母为$x$的分式，原式$=\dfrac{x^2+2x}{x} - \dfrac{x^2}{x} = \dfrac{x^2+2x - x^2}{x} = \dfrac{2x}{x} = 2$。
(2) 第一步：计算括号内的减法
将$1$改写为$\dfrac{x}{x}$，得$1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x-2}{x}$；
第二步：计算除法
分式除法转化为乘法运算：除以$\dfrac{1}{x}$等于乘以$x$，因此原式$=\dfrac{x-2}{x} × x = x-2$（$x≠0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{x-2}$
【知识点】
分式的基本性质、分式加减运算、分式乘除运算
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考察分式运算的基本规则，运算时优先约分可简化计算步骤，要注意分母不能为0的隐含限制，熟练掌握通分、约分技巧是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
8 计算：
(1) $(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})$；
(2) $\dfrac{a+3}{1-a} ÷ \dfrac{a^2+3a}{a^2-2a+1}$；
(3) $\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} -1 )$。
(1) $(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})$；
(2) $\dfrac{a+3}{1-a} ÷ \dfrac{a^2+3a}{a^2-2a+1}$；
(3) $\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} -1 )$。
答案
8. (1) $a^2b^3$ (2) $\frac{1-a}{a}$ (3) $\frac{a+1}{a-1}$
解析
【分析】
这是分式运算类题目，解题遵循分式运算的通用逻辑：1. 运算顺序为先算乘方，再算乘除，有括号优先计算括号内的内容；2. 负数乘方注意符号规律，偶次乘方结果为正，奇次乘方结果为负；3. 除法运算先转化为乘以除数的倒数，再进行计算；4. 运算过程中先对分子、分母因式分解，再约分，最终结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})\\=&\dfrac{a^4}{b^2} · (-\dfrac{b^6}{a^3}) · (-\dfrac{a}{b})\\=&\dfrac{a^4}{b^2} · \dfrac{b^6}{a^3} · \dfrac{a}{b}\\=&a^{4-3+1}b^{6-2-1}\\=&a^2b^3\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，最后约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{a+3}{1-a} ÷ \dfrac{a^2+3a}{a^2-2a+1}\\=&\dfrac{a+3}{1-a} · \dfrac{a^2-2a+1}{a^2+3a}\\=&\dfrac{a+3}{1-a} · \dfrac{(1-a)^2}{a(a+3)}\\=&\dfrac{1-a}{a}\end{aligned}$
(3) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} -1 )\\=&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} - \dfrac{a}{a} )\\=&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2a +1}{a}\\=&\dfrac{(a+1)(a-1)}{a} · \dfrac{a}{(a-1)^2}\\=&\dfrac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2b^3$；(2) $\dfrac{1-a}{a}$；(3) $\dfrac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式乘除运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
这组题目是分式运算的典型基础题，解题时要严格遵守运算顺序，格外注意符号的处理，灵活运用因式分解对分子、分母约分，能有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
这是分式运算类题目，解题遵循分式运算的通用逻辑：1. 运算顺序为先算乘方，再算乘除，有括号优先计算括号内的内容；2. 负数乘方注意符号规律，偶次乘方结果为正，奇次乘方结果为负；3. 除法运算先转化为乘以除数的倒数，再进行计算；4. 运算过程中先对分子、分母因式分解，再约分，最终结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})\\=&\dfrac{a^4}{b^2} · (-\dfrac{b^6}{a^3}) · (-\dfrac{a}{b})\\=&\dfrac{a^4}{b^2} · \dfrac{b^6}{a^3} · \dfrac{a}{b}\\=&a^{4-3+1}b^{6-2-1}\\=&a^2b^3\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，最后约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{a+3}{1-a} ÷ \dfrac{a^2+3a}{a^2-2a+1}\\=&\dfrac{a+3}{1-a} · \dfrac{a^2-2a+1}{a^2+3a}\\=&\dfrac{a+3}{1-a} · \dfrac{(1-a)^2}{a(a+3)}\\=&\dfrac{1-a}{a}\end{aligned}$
(3) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} -1 )\\=&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ ( \dfrac{a^2 - a +1}{a} - \dfrac{a}{a} )\\=&\dfrac{a^2-1}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2a +1}{a}\\=&\dfrac{(a+1)(a-1)}{a} · \dfrac{a}{(a-1)^2}\\=&\dfrac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2b^3$；(2) $\dfrac{1-a}{a}$；(3) $\dfrac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式乘除运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
这组题目是分式运算的典型基础题，解题时要严格遵守运算顺序，格外注意符号的处理，灵活运用因式分解对分子、分母约分，能有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
9 [2025 苏州]先化简，再求值：$(\dfrac{2}{x-1}+1)· \dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x=-2$。
答案
9. 原式$=\frac{x}{x+1}$. 当$x=-2$时,原式$=\frac{-2}{-2+1}=2$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的解题原则即可。第一步先处理括号内的加法运算：把整数1转化为分母为$(x-1)$的分式，通分后合并分子；第二步处理分式乘法：先对两个相乘分式的分子、分母分别因式分解，再约去公因式得到最简结果；最后将$x=-2$代入最简式计算即可，运算过程中要注意约分彻底，符号计算准确。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$(\dfrac{2}{x-1}+1)=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x-1}=\dfrac{2+x-1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$
再对乘式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}=\dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}$
计算乘法并约分：
原式$=\dfrac{x+1}{x-1}·\dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{x}{x+1}$
将$x=-2$代入最简式计算：
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{-2}{-2+1}=\dfrac{-2}{-1}=2$
【答案】
原式化简结果为$\dfrac{x}{x+1}$，当$x=-2$时，原式的值为$2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算的基本规则，解题时只要掌握通分、约分的方法，注意负数运算的符号规则，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的解题原则即可。第一步先处理括号内的加法运算：把整数1转化为分母为$(x-1)$的分式，通分后合并分子；第二步处理分式乘法：先对两个相乘分式的分子、分母分别因式分解，再约去公因式得到最简结果；最后将$x=-2$代入最简式计算即可，运算过程中要注意约分彻底，符号计算准确。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$(\dfrac{2}{x-1}+1)=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x-1}=\dfrac{2+x-1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$
再对乘式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}=\dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}$
计算乘法并约分：
原式$=\dfrac{x+1}{x-1}·\dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{x}{x+1}$
将$x=-2$代入最简式计算：
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{-2}{-2+1}=\dfrac{-2}{-1}=2$
【答案】
原式化简结果为$\dfrac{x}{x+1}$，当$x=-2$时，原式的值为$2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算的基本规则，解题时只要掌握通分、约分的方法，注意负数运算的符号规则，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
10 世界上最小的鸟是生活在古巴的一种吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.0016千克，将0.0016用科学记数法表示为
$1.6×10^{-3}$
。答案
10. $1.6×10^{-3}$
解析
【分析】
要将小于1的正数用科学记数法表示，首先明确科学记数法表示较小数的规范形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题时第一步确定$a$的取值：把原数的小数点向右移动，直到得到一个1到10之间的数，即为$a$；第二步确定$n$的值：$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），代入对应形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于$0.0016$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动3位，得到$1.6$，满足$1≤1.6＜10$，故$a=1.6$；
2. 确定指数：小数点共向右移动了3位，因此$n=3$，指数为$-3$；
因此$0.0016 = 1.6×10^{-3}$。
【答案】
$1.6×10^{-3}$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和指数$n$的确定方法，易错点是数错小数点移动的位数或混淆指数的正负。
【难度系数】
0.9
要将小于1的正数用科学记数法表示，首先明确科学记数法表示较小数的规范形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题时第一步确定$a$的取值：把原数的小数点向右移动，直到得到一个1到10之间的数，即为$a$；第二步确定$n$的值：$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），代入对应形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于$0.0016$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动3位，得到$1.6$，满足$1≤1.6＜10$，故$a=1.6$；
2. 确定指数：小数点共向右移动了3位，因此$n=3$，指数为$-3$；
因此$0.0016 = 1.6×10^{-3}$。
【答案】
$1.6×10^{-3}$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确掌握$a$的取值范围和指数$n$的确定方法，易错点是数错小数点移动的位数或混淆指数的正负。
【难度系数】
0.9
11 计算：
(1) $(3 × 10^{-3})^3 ÷ (2 × 10^{-2})^2$；
(2) $(5^{-1}x^3y)^{-2} ÷ (2x^{-1}y^{-2})^{-3}$。
(1) $(3 × 10^{-3})^3 ÷ (2 × 10^{-2})^2$；
(2) $(5^{-1}x^3y)^{-2} ÷ (2x^{-1}y^{-2})^{-3}$。
答案
11. (1) $6.75×10^{-5}$ (2) $\frac{200}{x^9y^8}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
(1) 对于含科学记数法的幂运算题，先依据积的乘方、幂的乘方法则分别计算被除数和除数的乘方结果，再将系数、同底数幂分别相除，最后整理为规范形式即可。
(2) 对于含负整数指数幂的整式运算题，先依据积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方的结果，再根据同底数幂的除法法则计算，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。运算时注意系数和对应幂的指数要分开计算，避免混淆。
【解析】
(1) 先分别计算乘方：
$\begin{aligned}(3×10^{-3})^3&=3^3×(10^{-3})^3=27×10^{-9}\\(2×10^{-2})^2&=2^2×(10^{-2})^2=4×10^{-4}\end{aligned}$
再计算除法，系数和同底数幂分别相除：
$\begin{aligned}原式&=(27÷4)×(10^{-9}÷10^{-4})\\&=6.75×10^{-9-(-4)}\\&=6.75×10^{-5}\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘方，依据$(a^m)^n=a^{mn}$、$(ab)^n=a^nb^n$：
$\begin{aligned}(5^{-1}x^3y)^{-2}&=(5^{-1})^{-2}·(x^3)^{-2}· y^{-2}=5^2· x^{-6}· y^{-2}=25x^{-6}y^{-2}\\(2x^{-1}y^{-2})^{-3}&=2^{-3}·(x^{-1})^{-3}·(y^{-2})^{-3}=\frac{1}{8}x^3y^6\end{aligned}$
再计算除法，依据$a^m÷ a^n=a^{m-n}$：
$\begin{aligned}原式&=25x^{-6}y^{-2}÷(\frac{1}{8}x^3y^6)\\&=25×8· x^{-6-3}· y^{-2-6}\\&=200x^{-9}y^{-8}\\&=\frac{200}{x^9y^8}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6.75×10^{-5}$ (2) $\frac{200}{x^9y^8}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算时要注意区分系数运算和指数运算的规则，负整数指数幂转化为正指数时要注意对应项的位置变化，避免因指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
(1) 对于含科学记数法的幂运算题，先依据积的乘方、幂的乘方法则分别计算被除数和除数的乘方结果，再将系数、同底数幂分别相除，最后整理为规范形式即可。
(2) 对于含负整数指数幂的整式运算题，先依据积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方的结果，再根据同底数幂的除法法则计算，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。运算时注意系数和对应幂的指数要分开计算，避免混淆。
【解析】
(1) 先分别计算乘方：
$\begin{aligned}(3×10^{-3})^3&=3^3×(10^{-3})^3=27×10^{-9}\\(2×10^{-2})^2&=2^2×(10^{-2})^2=4×10^{-4}\end{aligned}$
再计算除法，系数和同底数幂分别相除：
$\begin{aligned}原式&=(27÷4)×(10^{-9}÷10^{-4})\\&=6.75×10^{-9-(-4)}\\&=6.75×10^{-5}\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘方，依据$(a^m)^n=a^{mn}$、$(ab)^n=a^nb^n$：
$\begin{aligned}(5^{-1}x^3y)^{-2}&=(5^{-1})^{-2}·(x^3)^{-2}· y^{-2}=5^2· x^{-6}· y^{-2}=25x^{-6}y^{-2}\\(2x^{-1}y^{-2})^{-3}&=2^{-3}·(x^{-1})^{-3}·(y^{-2})^{-3}=\frac{1}{8}x^3y^6\end{aligned}$
再计算除法，依据$a^m÷ a^n=a^{m-n}$：
$\begin{aligned}原式&=25x^{-6}y^{-2}÷(\frac{1}{8}x^3y^6)\\&=25×8· x^{-6-3}· y^{-2-6}\\&=200x^{-9}y^{-8}\\&=\frac{200}{x^9y^8}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6.75×10^{-5}$ (2) $\frac{200}{x^9y^8}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算时要注意区分系数运算和指数运算的规则，负整数指数幂转化为正指数时要注意对应项的位置变化，避免因指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
12 [2025 湖南]将分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$去分母后得到的整式方程为（
A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
A
）A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
答案
12. A
解析
【分析】
解这道题需遵循分式方程去分母的基本思路：首先找到方程中所有分母的最简公分母，再将方程两边同时乘以这个最简公分母，即可消去所有分母得到整式方程。本题中两个分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母是x(x+1)，两边同乘该公分母约分后就能得到对应的整式方程，再匹配选项即可。
【解析】
分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的分母为x和$x+1$，最简公分母为$x(x+1)$（隐含条件：$x≠0$且$x≠-1$）。
将方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$，约分后可得：
左边：$\frac{1}{x} × x(x+1) = x+1$
右边：$\frac{2}{x+1} × x(x+1) = 2x$
因此去分母后得到的整式方程为$x+1=2x$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；最简公分母确定
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，重点考查去分母的基本操作，是分式方程求解的前置步骤，解题时需注意找准最简公分母，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
解这道题需遵循分式方程去分母的基本思路：首先找到方程中所有分母的最简公分母，再将方程两边同时乘以这个最简公分母，即可消去所有分母得到整式方程。本题中两个分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母是x(x+1)，两边同乘该公分母约分后就能得到对应的整式方程，再匹配选项即可。
【解析】
分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的分母为x和$x+1$，最简公分母为$x(x+1)$（隐含条件：$x≠0$且$x≠-1$）。
将方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$，约分后可得：
左边：$\frac{1}{x} × x(x+1) = x+1$
右边：$\frac{2}{x+1} × x(x+1) = 2x$
因此去分母后得到的整式方程为$x+1=2x$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；最简公分母确定
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，重点考查去分母的基本操作，是分式方程求解的前置步骤，解题时需注意找准最简公分母，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
13 解方程：$\frac{4}{x^2 + x} - \frac{3}{x^2 - x} = 0$
答案
13. $x=7$
解析
【分析】
这是分式方程求解类题目，解题思路清晰明确：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的x的取值范围，避免后续出现增根；第二步给方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为我们熟悉的整式方程求解；第三步必须检验整式方程的根是否会让原分式分母为0，若分母为0就是增根要舍去，否则就是原方程的解。
【解析】
解：先对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$
要使分式有意义，则分母不为0，即$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$
方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，去分母得：
$4(x-1) - 3(x+1) = 0$
展开括号：
$4x - 4 - 3x - 3 = 0$
合并同类项得：
$x - 7 = 0$
解得：$x=7$
检验：将$x=7$代入最简公分母$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，所以$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
$x=7$
【知识点】
分式方程的解法，因式分解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程基础计算题，核心是正确找到最简公分母完成分式方程到整式方程的转化，要注意求解后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
这是分式方程求解类题目，解题思路清晰明确：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的x的取值范围，避免后续出现增根；第二步给方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为我们熟悉的整式方程求解；第三步必须检验整式方程的根是否会让原分式分母为0，若分母为0就是增根要舍去，否则就是原方程的解。
【解析】
解：先对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$
要使分式有意义，则分母不为0，即$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$
方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，去分母得：
$4(x-1) - 3(x+1) = 0$
展开括号：
$4x - 4 - 3x - 3 = 0$
合并同类项得：
$x - 7 = 0$
解得：$x=7$
检验：将$x=7$代入最简公分母$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，所以$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
$x=7$
【知识点】
分式方程的解法，因式分解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程基础计算题，核心是正确找到最简公分母完成分式方程到整式方程的转化，要注意求解后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
14 [2025大庆]某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B，由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多处理10 GB数据，模型B处理300 GB数据的时间与模型A处理200 GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据(注:GB为数据的存储单位).
答案
14. 设模型 A 每小时能处理$x$ GB 数据,则模型 B 每小时能处理$(x+10)$GB 数据. 根据题意,得$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$,解得$x=20$. 经检验,$x=20$是原方程的解,且符合题意. 答:模型 A 每小时能处理20 GB 数据
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设模型A每小时处理的数据量为未知数x，结合“模型B比模型A每小时多处理10GB数据”即可表示出模型B的工作效率。再根据“模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同”的等量关系，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式列分式方程，求解后注意检验根是否符合题意即可。
【解析】
设模型A每小时能处理$x$ GB数据，则模型B每小时能处理$(x+10)$GB数据。
根据题意列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉项化简得：$300x=200(x+10)$
展开移项计算得：$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$时原分式方程分母不为0，是原方程的解，且符合实际题意。
答：模型A每小时能处理20 GB数据。
【答案】
20 GB
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题，解题关键是抓住“工作时间相等”的核心等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验根是否同时满足方程和实际情境。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设模型A每小时处理的数据量为未知数x，结合“模型B比模型A每小时多处理10GB数据”即可表示出模型B的工作效率。再根据“模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同”的等量关系，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式列分式方程，求解后注意检验根是否符合题意即可。
【解析】
设模型A每小时能处理$x$ GB数据，则模型B每小时能处理$(x+10)$GB数据。
根据题意列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉项化简得：$300x=200(x+10)$
展开移项计算得：$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$时原分式方程分母不为0，是原方程的解，且符合实际题意。
答：模型A每小时能处理20 GB数据。
【答案】
20 GB
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题，解题关键是抓住“工作时间相等”的核心等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验根是否同时满足方程和实际情境。
【难度系数】
0.8
