12（2025·扬州邗江区期中）方程$x^2 -7x +12=0$的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）。

A.7
B.10
C.11
D.10或11

12.D

13（2025·上海黄浦区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，就把这两个方程称为“同伴方程”.如方程$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$，这两个方程就是“同伴方程”.若有关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$，且该方程与$(x-n)(x+2)=0$是“同伴方程”，则$n$的值为（）.

A.1或-1
B.1
C.-1
D.2

13.A

14 新考法 新定义问题（2025·上海黄浦区期中）对于实数$a,b$，定义运算“*”，满足$a*b=\begin{cases}a^2 - ab & (a ≥ b), \\ ab - a^2 & (a ＜ b).\end{cases}$例如$4*2$，因为$4＞2$，所以$4*2=4^2 -4×2=8$。若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -7x -60=0$的两个根，则$x_1*x_2=$ ______ 。

14.204或-85

15 解方程：
(1)$x^2 + 4x + 3 = 0$；
(2)$x^2 - 4x -5 =0$；
(3)$2x^2 -9x +10=0$。

15.(1)原方程可化为$(x+3)(x+1)=0$，$\therefore x+3=0$或$x+1=0$，$\therefore x_1=-3,x_2=-1$。
(2)原方程可化为$(x+1)(x-5)=0$，则$x+1=0$或$x-5=0$，$\therefore x=-1$或$x=5$。
(3)原方程可化为$(2x-5)(x-2)=0$，则$2x-5=0$或$x-2=0$，解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=2$。

16 已知直角三角形一边长为8,另一边长是方程$x^2 -8x -20=0$的根,求第三边的长.

16.$x^2-8x-20=0$，原方程可化为$(x-10)(x+2)=0$，$\therefore x_1=10,x_2=-2$(不符合题意，舍去)，$\therefore$另一边长是10。
①若10为斜边，则由勾股定理得第三条边长是$\sqrt{10^2-8^2}=6$；
②若10是直角边，则此直角三角形的第三条边长是$\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}$。
综上所述，第三边的长为6或$2\sqrt{41}$。

17 新考法 解题方法型阅读理解题 我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$，可以通过因式分解把它转化为$x(x^2 + x - 2)=0$，通过解方程$x=0$和$x^2 + x - 2=0$，可得方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$的解。
(1)方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$的解是$x_1=0$，$x_2=$，$x_3=$；
(2)用“转化”的思想求方程$\sqrt{2x + 3} = x$的解；
(3)试直接写出方程组$\begin{cases} x^2 - 4y^2 = 0, \\ x + y = 1 \end{cases}$的解。

17.(1)-2 1 [解析]原方程可化为$x(x+2)(x-1)=0$，$x=0$或$x+2=0$或$x-1=0$，解得$x_1=0,x_2=-2,x_3=1$。
(2)将原方程两边平方，得$2x+3=x^2(x≥0)$，即$x^2-2x-3=0$，可变形为$(x+1)(x-3)=0$，则$x+1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-1$(舍去)，$x_2=3$，所以原方程的解是$x=3$。
(3)由$\begin{cases} x^2 - 4y^2 = 0, \\ x + y = 1 \end{cases}$，由②，得$y=1-x$，把③代入①，得$x^2-4(1-x)^2=0$，化简，得$-3x^2+8x-4=0$，解得$x=2$或$x=\frac{2}{3}$。当$x=2$时，$y=-1$；当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{1}{3}$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x_1=2, \\ y_1=-1, \end{cases} \begin{cases} x_2=\frac{2}{3}, \\ y_2=\frac{1}{3}. \end{cases}$