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1. [2026合肥蜀山区段考]如果两个相似三角形对应边之比是3:1，那么它们的对应高的比是（
A.3:1
B.9:1
C.1:3
D.9:1
A
）A.3:1
B.9:1
C.1:3
D.9:1
答案
1 A
2. [2026六安裕安区期中]如果两个相似三角形对应中线之比是1:4,那么它们的对应边之比是
（
A.1:2
B.1:4
C.1:8
D.1:16
（
B
）A.1:2
B.1:4
C.1:8
D.1:16
答案
2 B
3. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，BD和B'D'分别是两个三角形对应角的平分线，且$AC:A'C' = 2:3$，若$BD = 4\ \mathrm{cm}$，则$B'D'$的长是（
A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
3 C $\because △ ABC ∽ △ A'B'C', AC: A' C' = 2: 3, \therefore △ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$2:3, \therefore BD: B'D' = 2: 3$. 又$\because BD = 4\ \mathrm{cm}$,$\therefore B'D' = 6\ \mathrm{cm}$.
4. [2026合肥期末]如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD，BE分别是$△ ABC$的高和中线，$A'D'$，$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和中线，且$AD = 4$，$A'D' = 3$，$BE = 6$，则$B'E'$的长为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{9}{2}$
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{9}{2}$
答案
4 D $\because △ ABC∽△ A'B'C'$,AD,BE分别是$△ ABC$的高和中线,$A'D'$,$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和中线,$\therefore \frac{AD}{A'D'} = \frac{BE}{B'E'}$.$\because AD =4,A'D' =3,BE =6,\therefore \frac{4}{3} = \frac{6}{B'E'}$,解得 $B'E' = \frac{9}{2}$.
5. 跨学科·物理 [2024 扬州中考] 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法. 如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'. 设AB = 36 cm，A'B' = 24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为
20
cm. 答案
5 20 由题意,得$AB// A'B',\therefore △ AOB∽△ A'OB'$. 过点O作AB的垂线,交AB于点C,交$A'B'$于点$C'$,则$OC'⊥ A'B'$. 易得$\frac{A'B'}{AB} = \frac{OC'}{OC}$,即$\frac{24}{36} = \frac{OC'}{30}$,$\therefore OC' = 20$,故小孔O到$A'B'$的距离为20 cm.
6.求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.(要求:先画出图形,再根据图形写出已知、求证和证明过程)
答案
6 解:证明过程如下:
已知:如图, $△ ABC∽△ A'B'C', \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k$, D是AB的中点,$D'$是$A'B'$的中点. 求证:$\frac{C'D'}{CD} = k$.
证明:$\because D$是AB的中点,$D'$是$A'B'$的中点,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB,A'D' = \frac{1}{2}A'B'$,
$\therefore \frac{A'D'}{AD} = \frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB} = \frac{A'B'}{AB}$.
$\because △ ABC∽△ A'B'C'$,
$\therefore \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC},∠ A' = ∠ A,\therefore \frac{A'D'}{AD} = \frac{A'C'}{AC}$.
又$\because ∠ A' = ∠ A,\therefore △ A'C'D'∽△ ACD$,
$\therefore \frac{C'D'}{CD} = \frac{A'C'}{AC} = k$.
7. 教材P103例1变式 [2026廊坊广阳区期末]综合与实践.
一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm.
【特例初探】
(1)若把它加工成正方形零件,如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB和AC上,AD与EF交于点K.这个正方形零件的边长是多少?
【迁移运用】
(2)若把它加工成矩形零件,如图2,当宽EG为多少时,矩形有最大面积?最大面积是多少?
一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm.
【特例初探】
(1)若把它加工成正方形零件,如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB和AC上,AD与EF交于点K.这个正方形零件的边长是多少?
【迁移运用】
(2)若把它加工成矩形零件,如图2,当宽EG为多少时,矩形有最大面积?最大面积是多少?
答案
7 解:(1)$\because$ 四边形EFHG是正方形,
$\therefore EF// GH$,即$EF// BC$,
$\therefore △ AEF∽△ ABC,\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD}$.
设正方形EFHG的边长为$x\ \mathrm{mm}$,
则$EF = KD = x\ \mathrm{mm},AK = AD - KD = (80 - x)\ \mathrm{mm}$,
$\therefore \frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$,解得$x =48$,
$\therefore$ 加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设$EG = a\ \mathrm{mm}$. $\because$ 四边形EGHF是矩形,
$\therefore EF// GH$,即$EF// BC,KD = EG = a\ \mathrm{mm}$,
$\therefore △ AEF∽△ ABC,AK = AD - KD = (80 - a)\ \mathrm{mm}$,
$\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD}$,即$\frac{EF}{120} = \frac{80 - a}{80}$,
解得$EF = 120 - \frac{3}{2}a$,
$\therefore$ 矩形EGHF的面积$S = a(120 - \frac{3}{2}a) = -\frac{3}{2}a^2 + 120a = -\frac{3}{2}(a - 40)^2 + 2\ 400$.
$\because -\frac{3}{2} ＜0,\therefore$ 当$a =40$时,$S$最大,最大值为2 400,
$\therefore$ 当$EG =40\ \mathrm{mm}$时,矩形EGHF的面积最大,最大面积是$2\ 400\ \mathrm{mm^2}$.
$\therefore EF// GH$,即$EF// BC$,
$\therefore △ AEF∽△ ABC,\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD}$.
设正方形EFHG的边长为$x\ \mathrm{mm}$,
则$EF = KD = x\ \mathrm{mm},AK = AD - KD = (80 - x)\ \mathrm{mm}$,
$\therefore \frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$,解得$x =48$,
$\therefore$ 加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设$EG = a\ \mathrm{mm}$. $\because$ 四边形EGHF是矩形,
$\therefore EF// GH$,即$EF// BC,KD = EG = a\ \mathrm{mm}$,
$\therefore △ AEF∽△ ABC,AK = AD - KD = (80 - a)\ \mathrm{mm}$,
$\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD}$,即$\frac{EF}{120} = \frac{80 - a}{80}$,
解得$EF = 120 - \frac{3}{2}a$,
$\therefore$ 矩形EGHF的面积$S = a(120 - \frac{3}{2}a) = -\frac{3}{2}a^2 + 120a = -\frac{3}{2}(a - 40)^2 + 2\ 400$.
$\because -\frac{3}{2} ＜0,\therefore$ 当$a =40$时,$S$最大,最大值为2 400,
$\therefore$ 当$EG =40\ \mathrm{mm}$时,矩形EGHF的面积最大,最大面积是$2\ 400\ \mathrm{mm^2}$.
