1. [2024 内江中考]已知$△ ABC$与$△ DEF$相似，且相似比为$1:3$，则$△ ABC$与$△ DEF$的周长之比是（）

A.$1:1$
B.$1:3$
C.$1:6$
D.$1:9$

1.B

2. ▶一题多解 [2026合肥包河区期中] △ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是 ()

A.54
B.36
C.27
D.21

∵ △ABC 与 △DEF 相似,
∴ $\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}} = \frac{4}{12}$,
∴ $\frac{2 + 3 + 4}{C_{△ DEF}} = \frac{1}{3}$,
∴ $C_{△ DEF} = 27$.
另解 设边长为2的边的对应边的长是x,边长为3的边的对应边的长是y.
∵ △ABC 与 △DEF 相似,
∴ $\frac{2}{x} = \frac{3}{y} = \frac{4}{12}$,
∴ x = 6,y = 9,
∴ △DEF 的周长是 27.

变式1 [2025绥化中考]两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 ()

A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm

变式1 B 设较小三角形的周长为x cm,则较大三角形的周长为(48-x)cm.
∵ 两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm,
∴ x: (48 - x) = 6: 10,解得x = 18,即较小三角形的周长为18 cm.

变式2 两个相似三角形的最短边的长分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为（）

A.14 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.30 cm

变式2 C 由题意可得,两三角形的周长的比为5:3. 设这两个三角形的周长分别为5x cm,3x cm,则5x - 3x = 12,解得x = 6,所以3x = 18,即小三角形的周长为18 cm.

3. [2026邓州期末] 如图,在$□ ABCD$中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,$DE=\frac{1}{2}CD$.
(1)求证:$△ ABF ∽ △ CEB$;
(2)若$△ DEF$的周长为5,求$△ ABF$的周长.

(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CE,∠A = ∠C，
∴ ∠ABE = ∠E，
∴ △ABF∽△CEB。
(2)解:
∵ AB//CE,
∴ △DEF∽△ABF，
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{C_{△ DEF}}{C_{△ ABF}}$。
∵ $DE = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB$,
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$，
∴ $C_{△ ABF} = 2C_{△ DEF} = 10$,即△ABF的周长为10.

4. [2026宿州十一中月考]若$△ ABC$与$△ DEF$相似，且对应中线的比为$1:7$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是（）

A.$1:\sqrt{7}$
B.$1:3.5$
C.$1:7$
D.$1:49$

4.D
∵ △ABC与△DEF相似,且对应中线的比为1:7,
∴ △ABC与△DEF的相似比为1:7,
∴ △ABC与△DEF的面积比是1:49.

5. [2025合肥期中]如图，$△ ABC ∽ △ DEF$，AM和DN分别是$△ ABC$和$△ DEF$的角平分线，若$S_{△ ABC}=16$，$S_{△ DEF}=9$，则$AM:DN$的值为（）


A.$4:3$
B.$3:4$
C.$16:9$
D.$9:16$

5.A
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$,$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}} = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{AM}{DN})^2 = \frac{16}{9}$,$\therefore AM: DN = 4: 3$.

6. [2025南京中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD$是边$AB$上的高,$\frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$,则$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}$的值是.

6 $\boldsymbol{\frac{1}{5}}$ $\because \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$,$\therefore$ 设 $AD = k, CD = 2k$,$\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{k^2 + 4k^2} = \sqrt{5} k$,$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. $\because ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ B + ∠ BCD = 90°$,$\therefore ∠ ACD = ∠ B$. 又$\because ∠ A = ∠ A$,$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2 = \frac{1}{5}$.

7. [2025扬州期末]如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若$△ ABC ∽ △ FCE$，则$△ FCE$的面积是。

7 $\boldsymbol{\frac{16}{3}}$ $\because △ ABC ∽ △ FCE$,$\therefore \frac{△ ABC的面积}{△ FCE的面积} = (\frac{BC}{CE})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$(题图中BC和CE的长度可以计量). $\because △ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$,$\therefore △ FCE$的面积为$\frac{16}{3}$.

8. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AC,AB$上,且$AE· AB=AD· AC$,连接$BD,DE$.
(1)求证:$∠ ADE = ∠ ABC$.
(2)若$E$为$AB$的中点,$AE = \frac{3}{4}AD$,$△ AED$的面积为$8$,求$△ BCD$的面积.

(1)证明:$\because AE · AB = AD · AC$,$\therefore \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
又$\because ∠ A = ∠ A$,$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$,$\therefore ∠ ADE = ∠ ABC$.
(2)解:$\because E$为$AB$的中点,
$\therefore AE = \frac{1}{2} AB$,$S_{△ BDE} = S_{△ ADE} = 8$.
又$\because AE = \frac{3}{4} AD$,$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$.
由(1)知$△ ADE ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = \frac{4}{9}$.
又$\because S_{△ ADE} = 8$,$\therefore S_{△ ABC} = 18$,
$\therefore S_{△ BCD} = S_{△ ABC} - S_{△ AED} - S_{△ BED} = 18 - 8 - 8 = 2$,
即$△ BCD$的面积为2.