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相关知识回顾：
①两点之间的所有连线中，
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
①两点之间的所有连线中，
线段
最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
垂线段
最短。答案
①线段 ②垂线段
解析
【分析】
本题考查两个基础的几何最短结论，解题时可分类回忆对应知识点：第一类是两点间的最短连线，我们已知两点之间可连接曲线、折线、线段等多种连线，对比所有连线的长度，可得出线段长度最短的结论；第二类是点到直线的最短连线，直线外一点向直线连接的线段分为斜线段和垂线段，根据垂线段的性质，垂线段是所有连线中长度最短的，据此即可填出两个空。
【解析】
①根据线段公理的内容：两点之间的所有连线中，线段最短，因此第一空填线段；
②根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此第二空填垂线段。
【答案】
①线段 ②垂线段
【知识点】
1.线段公理 2.垂线段的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，两个结论是解决最短路径、几何最值等问题的核心基础，需准确记忆，不要将两个结论混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查两个基础的几何最短结论，解题时可分类回忆对应知识点：第一类是两点间的最短连线，我们已知两点之间可连接曲线、折线、线段等多种连线，对比所有连线的长度，可得出线段长度最短的结论；第二类是点到直线的最短连线，直线外一点向直线连接的线段分为斜线段和垂线段，根据垂线段的性质，垂线段是所有连线中长度最短的，据此即可填出两个空。
【解析】
①根据线段公理的内容：两点之间的所有连线中，线段最短，因此第一空填线段；
②根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此第二空填垂线段。
【答案】
①线段 ②垂线段
【知识点】
1.线段公理 2.垂线段的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，两个结论是解决最短路径、几何最值等问题的核心基础，需准确记忆，不要将两个结论混淆。
【难度系数】
0.9
1.如图，计划在河边的A,B,C,D处，引水到P处，能使所用的水管最短的是（
A.A处
B.B处
C.C处
D.D处
B
）A.A处
B.B处
C.C处
D.D处
答案
1.B
解析
【分析】
要解决“引水到P处所用水管最短”的问题，本质是求直线外一点P到河边所在直线的最短连线。我们已学过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此只需找到P到河边直线的垂线段对应的岸边点即可。首先观察图形中四条线段与河边直线的位置关系，识别出垂线段就能确定答案。
【解析】
根据几何性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
观察图形可得，PB垂直于河边所在的直线，是点P到河边直线的垂线段，因此PA、PB、PC、PD四条线段中，PB的长度最短，即从B处引水到P处所用的水管最短。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是熟练掌握垂线段最短的性质，准确识别图中的垂线段，结合题意即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要解决“引水到P处所用水管最短”的问题，本质是求直线外一点P到河边所在直线的最短连线。我们已学过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此只需找到P到河边直线的垂线段对应的岸边点即可。首先观察图形中四条线段与河边直线的位置关系，识别出垂线段就能确定答案。
【解析】
根据几何性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
观察图形可得，PB垂直于河边所在的直线，是点P到河边直线的垂线段，因此PA、PB、PC、PD四条线段中，PB的长度最短，即从B处引水到P处所用的水管最短。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题核心是熟练掌握垂线段最短的性质，准确识别图中的垂线段，结合题意即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2.如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，请你在直线l上找到一点P，使点P到点A，B的距离之和最短。
作图:如图，
原理:$AP+BP$的最小值为线段
作图:如图，
连接AB,与直线l相交于点P
。原理:$AP+BP$的最小值为线段
AB
的长，两点之间，线段
最短。答案
2. 连接AB,与直线l相交于点P，
，AP+BP的最小值为线段AB的长，两点之间线段最短。解析
【分析】
要在直线l上找到一点P使PA+PB最短，首先观察到点A、B在直线l的异侧，根据“两点之间，线段最短”的基本原理，两点的所有连线中线段长度最短，因此只需连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求的点P，此时PA+PB的长度就等于线段AB的长度。若取直线l上其他任意点，结合三角形三边关系可知，此时的距离和都会大于AB的长度，因此该交点即为满足条件的点。
【解析】
1. 作图：用直尺连接点A和点B，线段AB与直线l的交点即为所求的点P。
2. 原理推导：根据两点之间线段最短的性质，此时AP+BP=AB；若在直线l上任取一个不与P重合的点P'，连接AP'、BP'，由三角形三边关系可得AP'+BP'＞AB，因此AP+BP的最小值为线段AB的长，依据为两点之间线段最短。
【答案】
连接AB,与直线l相交于点P，，AP+BP的最小值为线段AB的长，两点之间线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图；三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径类的基础题型，核心考查对“两点之间线段最短”这一基本性质的理解与应用，掌握这类异侧两点最短路径的作图方法和原理，是学习后续轴对称相关最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.9
要在直线l上找到一点P使PA+PB最短，首先观察到点A、B在直线l的异侧，根据“两点之间，线段最短”的基本原理，两点的所有连线中线段长度最短，因此只需连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求的点P，此时PA+PB的长度就等于线段AB的长度。若取直线l上其他任意点，结合三角形三边关系可知，此时的距离和都会大于AB的长度，因此该交点即为满足条件的点。
【解析】
1. 作图：用直尺连接点A和点B，线段AB与直线l的交点即为所求的点P。
2. 原理推导：根据两点之间线段最短的性质，此时AP+BP=AB；若在直线l上任取一个不与P重合的点P'，连接AP'、BP'，由三角形三边关系可得AP'+BP'＞AB，因此AP+BP的最小值为线段AB的长，依据为两点之间线段最短。
【答案】
连接AB,与直线l相交于点P，
，AP+BP的最小值为线段AB的长，两点之间线段最短。【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图；三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径类的基础题型，核心考查对“两点之间线段最短”这一基本性质的理解与应用，掌握这类异侧两点最短路径的作图方法和原理，是学习后续轴对称相关最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.9
1.如图,要在街道旁修建一个牛奶站,向居民区A,B提供牛奶,牛奶站应建在什么地方,才能使它到A,B的距离之和最短?
【变式题1】如图,在平面直角坐标系中,$O(0,0),A(-1,2),B(2,1)$.
(1)画出$△ AOB$关于$y$轴对称的$△ A_1OB_1$,并直接写出点$A_1$和点$B_1$的坐标;
(2)在$x$轴上存在点$P$,使得$PA+PB$的值最小,则点$P$的坐标为
【变式题2】如图,在等边三角形$ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$E$为$AC$的中点,$P$为$AD$上一动点.若$AD＝12$,求$PE＋PC$的最小值.
【变式题1】如图,在平面直角坐标系中,$O(0,0),A(-1,2),B(2,1)$.
(1)画出$△ AOB$关于$y$轴对称的$△ A_1OB_1$,并直接写出点$A_1$和点$B_1$的坐标;
(2)在$x$轴上存在点$P$,使得$PA+PB$的值最小,则点$P$的坐标为
(1,0)
.【变式题2】如图,在等边三角形$ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$E$为$AC$的中点,$P$为$AD$上一动点.若$AD＝12$,求$PE＋PC$的最小值.
答案
1.解:如图,点O即为所求，
。【变式题1】解:(1)如图,△A₁OB₁即为所求，
，A₁(1,2),B₁(-2,1)。(2)(1,0)
【变式题2】解:如图，连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，
。∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC,
∴BC=AC,PC=PB.
∴PE+PC=PB+PE=BE,即BE是PE+PC的最小值.
∵E是边AC的中点,
∴BE⊥AC.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AC·BE.
∴AD=BE=12.
∴PE+PC的最小值是12.
解析
【分析】
这组题均为轴对称相关的最短路径类问题，解题核心是利用轴对称性质将同侧两点的折线距离和转化为异侧两点的线段长度，结合“两点之间线段最短”求解：
1. 原题：A、B在街道同侧，作其中一点关于街道的对称点，对称点与另一点的连线和街道的交点即为所求点，此时两点连线长度就是最短距离和。
2. 变式题1：(1)关于y轴对称的点遵循“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，按此写坐标描点即可画出对称图形；(2)作其中一点关于x轴的对称点，求对称点与另一点连线的解析式，该直线和x轴的交点即为所求P点。
3. 变式题2：等边三角形中AD是BC的垂直平分线，因此AD上的点到B、C距离相等，可将PE+PC转化为PB+PE，最小值即为B到E的线段长度，结合等边三角形三线合一的性质即可求出结果。
【解析】
原题解析：
作点A关于街道所在直线的对称点$A'$，连接$A'B$与街道交于点O。由轴对称性质可知$AO=A'O$，因此$AO+OB=A'O+OB$，根据两点之间线段最短，此时$A'O+OB$为最小值，即点O为所求牛奶站位置。
变式题1解析：
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为相反数，因此$A(-1,2)$的对称点$A_1$坐标为$(1,2)$，$B(2,1)$的对称点$B_1$坐标为$(-2,1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$，依次连接$O、A_1、B_1$即可得到$△ A_1OB_1$。
(2) 作点A关于x轴的对称点$A''(-1,-2)$，设直线$A''B$的解析式为$y=kx+b$，代入$A''(-1,-2)$、$B(2,1)$得$\begin{cases}-k+b=-2 \\2k+b=1 \end{cases}$，解得$k=1,b=-1$，即解析式为$y=x-1$。令$y=0$得$x=1$，因此P点坐标为$(1,0)$。
变式题2解析：
连接BE与AD交于点P，此时$PE+PC$最小：
∵$△ ABC$是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，可得$PC=PB$，
∴$PE+PC=PE+PB$，最小值为线段BE的长度；
∵E是AC中点，等边三角形三线合一，
∴BE是AC边上的高，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，
又
∵$BC=AC$，
∴$BE=AD=12$，即$PE+PC$最小值为12。
【答案】
1.解:如图,点O即为所求，。
【变式题1】解:(1)如图,△A₁OB₁即为所求，，A₁(1,2),B₁(-2,1)。
(2)(1,0)
【变式题2】解:如图，连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，。
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC,
∴BC=AC,PC=PB.
∴PE+PC=PB+PE=BE,即BE是PE+PC的最小值.
∵E是边AC的中点,
∴BE⊥AC.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BE$.
∴AD=BE=12.
∴PE+PC的最小值是12.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径模型；等边三角形的性质
【点评】
这组题是轴对称在最值问题中的典型应用，核心是通过转化思想将折线和转化为两点间线段长度求解，掌握通用模型后可快速解决同类几何最值问题。
【难度系数】
0.7
这组题均为轴对称相关的最短路径类问题，解题核心是利用轴对称性质将同侧两点的折线距离和转化为异侧两点的线段长度，结合“两点之间线段最短”求解：
1. 原题：A、B在街道同侧，作其中一点关于街道的对称点，对称点与另一点的连线和街道的交点即为所求点，此时两点连线长度就是最短距离和。
2. 变式题1：(1)关于y轴对称的点遵循“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，按此写坐标描点即可画出对称图形；(2)作其中一点关于x轴的对称点，求对称点与另一点连线的解析式，该直线和x轴的交点即为所求P点。
3. 变式题2：等边三角形中AD是BC的垂直平分线，因此AD上的点到B、C距离相等，可将PE+PC转化为PB+PE，最小值即为B到E的线段长度，结合等边三角形三线合一的性质即可求出结果。
【解析】
原题解析：
作点A关于街道所在直线的对称点$A'$，连接$A'B$与街道交于点O。由轴对称性质可知$AO=A'O$，因此$AO+OB=A'O+OB$，根据两点之间线段最短，此时$A'O+OB$为最小值，即点O为所求牛奶站位置。
变式题1解析：
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为相反数，因此$A(-1,2)$的对称点$A_1$坐标为$(1,2)$，$B(2,1)$的对称点$B_1$坐标为$(-2,1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$，依次连接$O、A_1、B_1$即可得到$△ A_1OB_1$。
(2) 作点A关于x轴的对称点$A''(-1,-2)$，设直线$A''B$的解析式为$y=kx+b$，代入$A''(-1,-2)$、$B(2,1)$得$\begin{cases}-k+b=-2 \\2k+b=1 \end{cases}$，解得$k=1,b=-1$，即解析式为$y=x-1$。令$y=0$得$x=1$，因此P点坐标为$(1,0)$。
变式题2解析：
连接BE与AD交于点P，此时$PE+PC$最小：
∵$△ ABC$是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，可得$PC=PB$，
∴$PE+PC=PE+PB$，最小值为线段BE的长度；
∵E是AC中点，等边三角形三线合一，
∴BE是AC边上的高，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，
又
∵$BC=AC$，
∴$BE=AD=12$，即$PE+PC$最小值为12。
【答案】
1.解:如图,点O即为所求，
。【变式题1】解:(1)如图,△A₁OB₁即为所求，
，A₁(1,2),B₁(-2,1)。(2)(1,0)
【变式题2】解:如图，连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，
。∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC,
∴BC=AC,PC=PB.
∴PE+PC=PB+PE=BE,即BE是PE+PC的最小值.
∵E是边AC的中点,
∴BE⊥AC.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BE$.
∴AD=BE=12.
∴PE+PC的最小值是12.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径模型；等边三角形的性质
【点评】
这组题是轴对称在最值问题中的典型应用，核心是通过转化思想将折线和转化为两点间线段长度求解，掌握通用模型后可快速解决同类几何最值问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$∠ FAB$内部有一定点$D$，$AD=2$，$C$，$E$分别是射线$AF$，$AB$上异于点$A$的动点。
（1）在射线$AF$，$AB$上，是否存在点$C$，$E$，使$△ CDE$的周长有最小值？________；（填“是”或“否”）
（2）当$△ CDE$周长的最小值是2时，$∠ FAB$的度数是________。
（1）在射线$AF$，$AB$上，是否存在点$C$，$E$，使$△ CDE$的周长有最小值？________；（填“是”或“否”）
（2）当$△ CDE$周长的最小值是2时，$∠ FAB$的度数是________。
答案
2.(1)是 (2)30°
作点D关于AF,AB的对称点G,H,连接GH,分别交AF,AB于点C,E,连接DC,DE,则△CDE的周长最小,最小值为DC+DE+CE=GH=2.根据轴对称的性质,易证△AGH是等边三角形,从而得∠FAB=$\frac{1}{2}$∠GAH=30°，
。解析
【分析】
（1）要使△CDE的周长最小，本质是求CD+DE+CE的和的最小值，可利用轴对称的性质将折线段转化为直线段求解：分别作点D关于AF、AB的对称点G、H，根据轴对称性质可得CD=CG、DE=EH，此时周长可转化为CG+CE+EH，根据两点之间线段最短，当C、E为GH与AF、AB的交点时，和的最小值为GH的长度，因此存在满足条件的点C、E。
（2）已知周长最小值为2，即GH=2，结合轴对称性质可得AG=AH=AD=2，可判定△AGH的形状，再通过角的和差关系推导∠FAB的度数。
【解析】
（1）作点D关于射线AF的对称点G，作点D关于射线AB的对称点H，连接GH，分别交AF、AB于点C、E，连接DC、DE。
根据轴对称的性质可知：DC=GC，DE=HE，因此△CDE的周长=DC+DE+CE=GC+HE+CE。
根据两点之间线段最短，此时GC+HE+CE的最小值为线段GH的长，因此存在点C、E使△CDE的周长有最小值。
（2）由轴对称的性质可得：AG=AD=2，AH=AD=2，∠GAF=∠DAF，∠HAB=∠DAB，因此AG=AH=2。
已知△CDE周长的最小值为2，即GH=2，因此AG=AH=GH=2，△AGH是等边三角形，∠GAH=60°。
又因为∠GAH=∠GAF+∠DAF+∠DAB+∠HAB=2(∠DAF+∠DAB)=2∠FAB，所以∠FAB=$\frac{1}{2}$∠GAH=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1)是 (2)30°
【知识点】
轴对称最短路径，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题考查了轴对称在最值问题中的应用，解题关键是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合特殊三角形的性质求解角度，是轴对称最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
（1）要使△CDE的周长最小，本质是求CD+DE+CE的和的最小值，可利用轴对称的性质将折线段转化为直线段求解：分别作点D关于AF、AB的对称点G、H，根据轴对称性质可得CD=CG、DE=EH，此时周长可转化为CG+CE+EH，根据两点之间线段最短，当C、E为GH与AF、AB的交点时，和的最小值为GH的长度，因此存在满足条件的点C、E。
（2）已知周长最小值为2，即GH=2，结合轴对称性质可得AG=AH=AD=2，可判定△AGH的形状，再通过角的和差关系推导∠FAB的度数。
【解析】
（1）作点D关于射线AF的对称点G，作点D关于射线AB的对称点H，连接GH，分别交AF、AB于点C、E，连接DC、DE。
根据轴对称的性质可知：DC=GC，DE=HE，因此△CDE的周长=DC+DE+CE=GC+HE+CE。
根据两点之间线段最短，此时GC+HE+CE的最小值为线段GH的长，因此存在点C、E使△CDE的周长有最小值。
（2）由轴对称的性质可得：AG=AD=2，AH=AD=2，∠GAF=∠DAF，∠HAB=∠DAB，因此AG=AH=2。
已知△CDE周长的最小值为2，即GH=2，因此AG=AH=GH=2，△AGH是等边三角形，∠GAH=60°。
又因为∠GAH=∠GAF+∠DAF+∠DAB+∠HAB=2(∠DAF+∠DAB)=2∠FAB，所以∠FAB=$\frac{1}{2}$∠GAH=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1)是 (2)30°
【知识点】
轴对称最短路径，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题考查了轴对称在最值问题中的应用，解题关键是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合特殊三角形的性质求解角度，是轴对称最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
