1.「2026贵州贵阳期末」《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,其中记载了“物不知数”问题,是“中国剩余定理”的经典应用.今有问题:现有兵两千有余且不满两千一百,五五数之剩一,七七数之剩三,八八数之剩二,问兵几何?请利用“逐步确定”的策略求出共有兵人.

1.答案 2 026
解析 由题意可知,士兵人数需要符合以下四个条件:①2 000＜人数＜2 100,②除以5余1,③除以7余3,④除以8余2.
在2 000~2 100的整数中,符合条件②的整数有2 001,2 006,2 011,2 016,2 021,2 026,2 031,2 036,2 041,2 046,2 051,2 056,2 061,2 066,2 071,2 076,2 081,2 086,2 091,2 096,
这些数中符合条件③的整数有2 026,2 061,2 096,这些数中符合条件④的整数有2 026,所以共有士兵2 026人.

2.如图,在长方形$ABCD$中,$AB=10$,$BC=20$,长方形内有一点$P$,使得$△ APB ≌ △ DPC$, $S_{△ APD}: S_{△ BPC}=1:2$,试描述点$P$的位置,并说明理由.

2.解析 如图,长方形ABCD是轴对称图形,直线MN是它的一条对称轴,其中M,N分别是AD和BC的中点,点P位于线段MN上,且MP:NP=1:2.

理由:由题意可知,点P需要满足在长方形ABCD内部,△APB≌△DPC,$S_{△ APD}: S_{△ BPC}=1:2$这三个条件.
因为长方形ABCD是轴对称图形,所以它的一条对称轴MN(线段AD和线段BC的垂直平分线)上的点都满足条件△APB≌△DPC.因为AD=BC,所以要满足$S_{△ APD}: S_{△ BPC}=1:2$,必须使MP:NP=1:2.

3. 聚焦中考代数推理「2026福建漳州期中」若一个两位数的十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,则这个两位数可记作$\overline{ab}$;若一个三位数的百位上的数字为$x$,十位上的数字为$y$,个位上的数字为$z$,则这个三位数可记作$\overline{xyz}$.
(1)小华发现,如果$\overline{xyz}$能被3整除,那么$x+y+z$就能被3整除,例如120可以被3整除,$1+2+0=3$也可以被3整除.请补全小华的证明思路.
证明:因为$\overline{xyz}=$①$\underline{\hspace{5cm}}=$②$\underline{\hspace{5cm}}+(x+y+z)$,
所以$\overline{xyz}-$②$=x+y+z$.
又因为代数式②,$\overline{xyz}$都能被3整除,
所以$x+y+z$能被3整除.
(2)如果四位数$\overline{xyzw}$可以被4整除,那么$\overline{zw}$可以被4整除吗?请说明理由.
(3)若一个五位数$\overline{xyx9y}$可以被12整除,且满足$x$小于$y$,求其最大值.

3.解析 (1)证明:因为$\overline{xyz}=100x+10y+z=9(11x+y)+(x+y+z)$,所以$\overline{xyz}-9(11x+y)=x+y+z$.
又因为代数式$9(11x+y)$,$\overline{xyz}$都能被3整除,
所以$x+y+z$能被3整除.
(2)$\overline{zw}$可以被4整除.理由:因为$\overline{xyzw}=1\ 000x+100y+10z+w=100(10x+y)+10z+w$,所以$\overline{xyzw}-100(10x+y)=10z+w$,
因为代数式$100(10x+y)$和$\overline{xyzw}$都可以被4整除,所以$10z+w$能被4整除,所以$\overline{zw}$可以被4整除.
(3)因为五位数$\overline{xyx9y}$可以被12整除,所以五位数$\overline{xyx9y}$需要同时满足“能被3整除”“能被4整除”这两个条件,
因为五位数$\overline{xyx9y}$能被4整除,$\overline{xyx9y}=10\ 000x+1\ 000y+100x+90+y=100(100x+10y+x)+90+y$,所以$90+y$能被4整除,所以$y=2$或6.
因为五位数$\overline{xyx9y}$能被3整除,所以$x+y+x+9+y$能被3整除,所以$2(x+y)$能被3整除,所以$x+y$能被3整除,
因为$0＜x＜y≤9$,所以$y=2$时,$x=1$,$y=6$时,$x=3$,所以这个五位数为12 192或36 396,
所以五位数$\overline{xyx9y}$的最大值为36 396.

4.「2025北京中考」某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售.一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位:万元)与n的对应关系如下：

(1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”).
(2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为万元.

4.答案 (1)B (2)157
解析 (1)当n=2时,企业从A经销商处获得的利润为60万元,比n=1时的利润多60-40=20(万元);企业从B经销商处获得的利润为55万元,比n=1时的利润多55-30=25(万元);企业从C经销商处获得的利润为40万元,比n=1时的利润多40-20=20(万元);企业从D经销商处获得的利润为38万元,比n=1时的利润多38-14=24(万元),
因为25＞24＞20,所以应向经销商B分配2台设备.
(2)当分配给四家经销商销售时,分配给A,C经销商各1台,B,D经销商各2台,企业获得的总利润最大,最大总利润为40+55+20+38=153(万元);
当分配给三家经销商销售时,分配给A经销商1台,B经销商2台,D经销商3台,企业获得的总利润最大,最大总利润为40+55+62=157(万元);
当分配给两家经销商销售时,分配给A经销商2台,B经销商4台或分配给A经销商1台,D经销商5台,企业获得的总利润最大,60+90=150(万元),40+110=150(万元),最大总利润为150万元;
当分配给一家经销商销售时,都分配给D经销商总利润最大,最大总利润为134万元.
因为157＞153＞150＞134,所以企业可获得的总利润的最大值为157万元.