1.「2025 河南驻马店期中」阅读:用“十字相乘法”分解因式$2x^2 - x - 3$的方法.
二次项系数$2=1×2$.
常数项$-3=-1×3=1×(-3)$.
验算:“交叉相乘之和”.

①$1×3+2×(-1)=1$,②$1×(-1)+2×3=5$,
③$1×(-3)+2×1=-1$,④$1×1+2×(-3)=-5$.
发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数$-1$,即$(x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3=2x^2 -x -3$,则$2x^2 -x -3=(x+1)(2x-3)$.
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
仿照所给方法,分解因式:
(1)$x^2 +8x +15$.
(2)$3x^2 -5x -12$.
(3)$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$.

(1)$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$.
(2)$3x^2-5x-12=(3x+4)(x-3)$.
(3)$3(x+2)^2-5(x+2)-12=[3(x+2)+4][(x+2)-3]=(3x+10)(x-1)$.

2.「2025江西南昌模拟」在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项,这样分解因式的方法称为拆项、添项法.如:
例1:分解因式:$x^4+4$.
解:原式$=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2$
$=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.
例2:分解因式:$x^3+5x-6$.
解:原式$=x^3-x+6x-6$
$=x(x^2-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2+x+6)$.
请根据材料中的方法,解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2+16x-36=$.
(2)运用拆项、添项法分解因式:
①$x^4+4y^4$.
②$x^3-x^2-4$.

(1)$x^2+16x-36$
$=x^2+16x+64-64-36$
$=(x+8)^2-100$
$=(x+8+10)(x+8-10)$
$=(x+18)(x-2)$,
故答案为$(x+18)(x-2)$.
(2)①$x^4+4y^4$
$=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2$
$=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2$
$=(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$.
②$x^3-x^2-4=x^3-2x^2+x^2-4$
$=x^2(x-2)+(x+2)(x-2)$
$=(x-2)(x^2+x+2)$.

3.「2026 湖南岳阳期中」下面是小丹同学用换元法对多项式$(x^2+2x)(x^2+2x+2)+1$进行因式分解的过程.
解:设$x^2+2x=y$,则原式$=y(y+2)+1=y^2+2y+1=(y+1)^2$,故原式$=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4$.
请根据上述材料回答下列问题:
【尝试应用】
(1)分解因式:$(x^2-4x-3)(x^2-4x+11)+49$.
【灵活运用】
(2)①若$(x^2+y^2+1)(x^2+y^2-1)=63$,求$x^2+y^2$的值.
②请你将多项式$x(x+3)(x-1)(x-4)+36$进行因式分解.

(1)设$x^2-4x=A$,
则原式$=(A-3)(A+11)+49=A^2+8A-33+49$
$=A^2+8A+16=(A+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4$.
(2)①令$x^2+y^2=m$,则$(m+1)(m-1)=63$,
$\therefore m^2-1=63,\therefore m^2=64$,解得$m=\pm8$,
$\because m=x^2+y^2\ge0,\therefore m=8$,即$x^2+y^2=8$.
②$x(x+3)(x-1)(x-4)+36=[x(x-1)][(x+3)(x-4)]+36=(x^2-x)(x^2-x-12)+36$,
设$x^2-x=y$,则原式$=y(y-12)+36=y^2-12y+36=(y-6)^2=(x^2-x-6)^2=[(x+2)(x-3)]^2=(x+2)^2(x-3)^2$.