1. 「2026 广东广州花都期中」解方程$\frac{2x-1}{2} - \frac{x+2}{4} = 1$时，去分母正确的是（）

A.$2(2x-1)-(x+2)=1$
B.$(2x-1)-(x+2)=1$
C.$(2x-1)-(x+2)=4$
D.$2(2x-1)-(x+2)=4$

方程两边同时乘4,得$2(2x-1)-(x+2)=4$.故选D.

【分析】
本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路为：首先确定方程所有分母的最小公倍数，再根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，操作时要注意两个要点：一是不能漏乘没有分母的项，二是若分子是多项式，乘完公倍数后要给分子整体加括号，避免出现符号错误。本题中分母为2和4，最小公倍数是4，依次计算每一项乘4后的结果即可判断正确选项。
【解析】
解：方程的两个分母分别是2和4，它们的最小公倍数为4。
根据等式的性质，给方程左右两边的每一项同时乘4：
左边第一项$\frac{2x-1}{2} × 4 = 2(2x-1)$，
左边第二项$-\frac{x+2}{4} × 4 = -(x+2)$，
右边常数项$1 × 4 = 4$，
整理可得去分母后的式子为$2(2x-1)-(x+2)=4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程解法的基础题型，重点考查去分母步骤的规范操作，易错点为漏乘不含分母的常数项、多项式分子漏加括号，熟练掌握去分母的操作规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.「2026陕西安康汉阴期末」若关于$x$的方程$\frac{3x - k}{4} + k = x$的解是$x=3$，则$k$的值为。

将$x=3$代入方程$\frac{3x - k}{4} + k = x$,
得$\frac{9-k}{4}+k=3$,去分母,得$9-k+4k=12$,
移项、合并同类项,得$3k=3$,系数化为1,得$k=1$.

【分析】
已知方程的解，根据一元一次方程解的定义，解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此可以将x=3直接代入原方程，得到一个只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解，即可得到k的值。
【解析】
将$x=3$代入方程$\frac{3x - k}{4} + k = x$，得：
$\frac{9-k}{4}+k=3$
去分母，两边同乘4，得：$9-k+4k=12$
移项、合并同类项，得：$3k=3$
系数化为1，得：$k=1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的性质将原方程转化为关于待求参数的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.85

3. 「2025湖北孝感期末」式子$\frac{x+2}{4}$的值比$\frac{2x-3}{6}$的值大1，则x的值是。

根据题意得$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-3}{6}=1$,
去分母,得$3(x+2)-2(2x-3)=12$,
去括号,得$3x+6-4x+6=12$,
移项,得$3x-4x=12-6-6$,
合并同类项,得$-x=0$,系数化为1,得$x=0$.

【分析】
首先根据题目中的数量关系列方程：题目明确$\frac{x+2}{4}$比$\frac{2x-3}{6}$大1，即前者减后者的差等于1，由此可列出一元一次方程。接下来按照解一元一次方程的常规步骤求解：第一步去分母，先找分母4和6的最小公倍数12，方程两边同时乘12，注意不要漏乘等号右侧的常数1；第二步去括号，若括号前是负号，括号内各项要变号；第三步移项，移项时注意变号；第四步合并同类项，最后系数化为1即可得到x的值。
【解析】
根据题意得$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-3}{6}=1$,
去分母,得$3(x+2)-2(2x-3)=12$,
去括号,得$3x+6-4x+6=12$,
移项,得$3x-4x=12-6-6$,
合并同类项,得$-x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
【答案】
$0$
【知识点】
1. 列一元一次方程 2. 去分母解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算题，重点考查从文字描述中提取等量关系的能力，以及解含分母的一元一次方程的规范步骤，解题时需注意去分母不要漏乘无分母的项，去括号时留意符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8

4. 学科特色教材变式 解方程：
(1)「2025天津红桥期末」$\frac{5x -1}{4} = \frac{3x +1}{2} - \frac{2 -x}{3}$
(2)「2025天津南开期末」$\frac{y +1}{2} -2 = \frac{11y -1}{10} - \frac{2y +3}{5}$
(3) $\frac{3x -1.5}{0.2} - \frac{2x -1}{0.9} = \frac{2 -4x}{0.5}$

(1)去分母,得$3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x)$,
去括号,得$15x-3=18x+6-8+4x$,
移项,得$15x-18x-4x=6-8+3$,
合并同类项,得$-7x=1$,
系数化为1,得$x=-\frac{1}{7}$.
(2)去分母,得$5(y+1)-20=11y-1-2(2y+3)$,
去括号,得$5y+5-20=11y-1-4y-6$,
移项,得$5y-11y+4y=-1-6-5+20$,
合并同类项,得$-2y=8$,
系数化为1,得$y=-4$.
(3)方程可变形为$\frac{30x-15}{2}-\frac{20x-10}{9}=4-8x$,
去分母,得$9(30x-15)-2(20x-10)=18(4-8x)$,
去括号,得$270x-135-40x+20=72-144x$,
移项,得$270x-40x+144x=72-20+135$,
合并同类项,得$374x=187$.
系数化为1,得$x=\frac{1}{2}$.

【分析】
解含分母的一元一次方程遵循标准步骤：①若分母为小数，先利用分数基本性质将分子分母同乘整十/整百数，把分母转化为整数；②找到所有分母的最小公倍数，方程两边每一项都乘该最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③按去括号法则去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；④移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；⑤合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；⑥系数化为1，两边同除以$a$得到解。
本题中前两题分母均为整数，直接从去分母步骤开始计算，第三题需先将小数分母化为整数再去分母。
【解析】
(1) 去分母，得$3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x)$，
去括号，得$15x-3=18x+6-8+4x$，
移项，得$15x-18x-4x=6-8+3$，
合并同类项，得$-7x=1$，
系数化为1，得$x=-\frac{1}{7}$。
(2) 去分母，得$5(y+1)-20=11y-1-2(2y+3)$，
去括号，得$5y+5-20=11y-1-4y-6$，
移项，得$5y-11y+4y=-1-6-5+20$，
合并同类项，得$-2y=8$，
系数化为1，得$y=-4$。
(3) 先利用分数基本性质将分母化为整数，方程可变形为$\frac{30x-15}{2}-\frac{20x-10}{9}=4-8x$，
去分母，得$9(30x-15)-2(20x-10)=18(4-8x)$，
去括号，得$270x-135-40x+20=72-144x$，
移项，得$270x-40x+144x=72-20+135$，
合并同类项，得$374x=187$，
系数化为1，得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{7}$；(2)$y=-4$；(3)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法；去分母法则；分数的基本性质
【点评】
这三道是去分母解一元一次方程的典型习题，覆盖了分母为整数、分母为小数两类常见考法，重点考察去分母时不漏乘常数项、去括号及移项的符号处理等易错点，熟练掌握解方程的标准步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.7

5.「2026河南信阳淮滨开学测试」爬楼梯是一项有氧运动,能增强心肺功能,深受大家的喜爱,李明和爸爸坚持每天通过爬楼梯来锻炼身体,当李明从1楼爬到4楼时,爸爸从1楼爬到3楼,按照这样的速度,当李明爬到16楼时,爸爸爬到了楼.

设爸爸爬到了$x$楼,
由题意得$\frac{x-1}{16-1}=\frac{3-1}{4-1}$,解得$x=11$.
故当李明爬到16楼时,爸爸爬到了11楼.

【分析】
解决这道题首先要理清爬楼梯的实际层数和到达楼层数的关系：从1楼爬到n楼，实际爬的楼梯层数是(n-1)层，因为1楼不需要攀爬。两人爬楼梯的速度保持不变，所以相同时间内，两人爬的楼梯层数的比值是固定的，等于两人的速度比。我们可以先算出两人第一次爬的楼梯层数，得到速度比，再根据李明爬到16楼时爬的总层数，设爸爸爬到的楼层为x，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：爬楼梯时，实际爬的楼梯层数 = 到达楼层数 - 1。
设爸爸爬到了$x$楼。
当李明爬到4楼时，实际爬的层数为$4-1=3$层；此时爸爸爬到3楼，实际爬的层数为$3-1=2$层。
当李明爬到16楼时，实际爬的层数为$16-1=15$层，此时爸爸实际爬的层数为$(x-1)$层。
由于两人速度不变，相同时间内爬的层数比等于速度比，可列方程：
$\frac{x-1}{16-1}=\frac{3-1}{4-1}$
化简得：$\frac{x-1}{15}=\frac{2}{3}$
两边同乘15去分母得：$x-1=10$
解得：$x=11$
【答案】
11
【知识点】
一元一次方程应用，间隔问题，比例的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，易错点是容易直接用到达楼层数代替实际爬的楼梯层数计算，只要明确间隔数=楼层数-1，再结合速度不变时路程比固定的关系列方程，就能顺利解题。
【难度系数】
0.6

6.有一古代数学问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱,三年共得94钱,则出租的田有亩.

设出租的田有$x$亩,
则$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=94$,
解得$x=120$,所以出租的田有120亩.

【分析】
解决这道题首先要明确核心等量关系：三年收取的总租金=94钱。首先设出租的田总共有x亩，分别表示出每年的租金：第一年3亩1钱，因此x亩的租金是$\frac{x}{3}$钱；第二年4亩1钱，x亩的租金是$\frac{x}{4}$钱；第三年5亩1钱，x亩的租金是$\frac{x}{5}$钱。将三年租金相加等于总租金94钱，即可列出一元一次方程，再用去分母的方法解方程就能得到最终结果。
【解析】
设出租的田有$x$亩。
根据三年总租金为94钱，列方程得：
$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}=94$
去分母，两边同时乘3、4、5的最小公倍数60，得：
$60×\frac{x}{3} + 60×\frac{x}{4} + 60×\frac{x}{5} = 94×60$
化简得：$20x + 15x + 12x = 5640$
合并同类项得：$47x = 5640$
系数化为1得：$x = 120$
【答案】
120
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 去分母解一元一次方程
3. 总量等于各分量之和
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确找到三年租金总和的等量关系，解方程时要正确确定各分母的最小公倍数，计算过程需细心避免失误。
【难度系数】
0.75

7. 一列火车匀速驶过一座桥，火车完全通过桥共用了50 s，整列火车在桥上的时间为30 s，已知桥长1 200 m，求火车的车身长和速度.

设火车的车身长是$x$ m,
根据题意得$\frac{1200-x}{30}=\frac{1200+x}{50}$,解得$x=300$,
$\frac{1200-300}{30}=30(\mathrm{m/s})$.
答:火车的车身长是300 m,速度是30 m/s.

【分析】
解题前首先明确两个关键场景对应的行驶路程：①整列火车在桥上时，行驶的路程=桥长-火车车身长，对应时间30s；②火车完全通过桥时，行驶的路程=桥长+火车车身长，对应时间50s。由于火车匀速行驶，两种场景下的速度相等，我们可以以此为等量关系，设火车车身长为未知数，列一元一次方程求解，得到车长后再代入计算速度即可。
【解析】
设火车的车身长是$x$ m，
因为火车匀速行驶速度不变，根据题意列方程：
$\frac{1200-x}{30}=\frac{1200+x}{50}$
去分母，两边同时乘150得：
$5(1200-x)=3(1200+x)$
去括号得：
$6000-5x=3600+3x$
移项、合并同类项得：
$-8x=-2400$
系数化为1得：
$x=300$
则火车的速度为$\frac{1200-300}{30}=30(\mathrm{m/s})$
【答案】
火车的车身长是300 m，速度是30 m/s。
【知识点】
1. 列一元一次方程解应用题
2. 去分母解一元一次方程
3. 过桥类行程问题
【点评】
本题是行程类应用题的典型题型，解题核心是准确区分火车不同行驶状态下对应的路程，抓住“匀速行驶时速度不变”的等量关系列方程，侧重考查对实际问题的场景分析和等量关系梳理能力。
【难度系数】
0.7

8.「2026安徽合肥庐江月考，★☆」已知关于x的两个一元一次方程$2x+1=-5$与$\frac{2x+m}{2}=-5(x-1)$的解互为相反数，则m的绝对值为（）

A.-26
B.26
C.14
D.-14

解方程$2x+1=-5$,得$x=-3$,因为关于$x$的方程$2x+1=-5$与$\frac{2x+m}{2}=-5(x-1)$的解互为相反数,所以方程$\frac{2x+m}{2}=-5(x-1)$的解为$x=3$.将$x=3$代入,得$\frac{2×3+m}{2}=-5×(3-1)$,即$\frac{6+m}{2}=-10$,解得$m=-26$,所以$|m|=|-26|=26$.
故选B.

【分析】
解题时首先从不含参数的一元一次方程入手，先求解方程$2x+1=-5$得到它的解；再根据两个方程的解互为相反数的条件，算出第二个方程的解；最后将第二个方程的解代入含参数$m$的方程中，解出$m$的值，再求$m$的绝对值即可得到答案。
【解析】
第一步：求解方程$2x+1=-5$
移项得：$2x=-5-1$
合并同类项得：$2x=-6$
系数化为1得：$x=-3$
第二步：根据两方程解互为相反数，可得方程$\frac{2x+m}{2}=-5(x-1)$的解为$x=3$（$-3$的相反数为$3$）
第三步：将$x=3$代入$\frac{2x+m}{2}=-5(x-1)$中，得：
$\frac{2×3+m}{2}=-5×(3-1)$
化简得：$\frac{6+m}{2}=-10$
两边同时乘2去分母得：$6+m=-20$
解得：$m=-26$
第四步：计算$m$的绝对值：$|m|=|-26|=26$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 相反数的性质
3. 绝对值的定义
【点评】
本题属于基础题型，将一元一次方程的求解与相反数、绝对值的知识点结合考查，解题的核心是先求出已知方程的解，再利用解的关系代入含参数的方程求出参数值，计算时注意遵守去分母、移项的运算规则即可。
【难度系数】
0.8

9.「2026河南安阳林州期末，★☆」如果$a,b$是定值，对于关于$x$的方程$\dfrac{2kx+a}{3}=2+\dfrac{x+bk}{6}$，无论$k$为何值，它的解总是$x=1$，那么$2a+b$的值是。

将$x=1$代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6}$,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1+bk}{6}$,去分母、去括号,得$4k+2a=12+1+bk$,整理得$(4-b)k=13-2a$,因为无论$k$为何值,方程的解总是$x=1$,所以$4-b=0$,$13-2a=0$,所以$b=4$,$2a=13$,所以$2a+b=17$.

【分析】
解题思路可分三步开展：第一步，题目明确无论k取何值，方程的解都是x=1，因此先将x=1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式；第二步，对得到的等式去分母、去括号、整理，把含k的项合并到一侧，常数项合并到另一侧；第三步，由于等式对任意k都成立，说明k的系数必须为0，同时常数项也必须为0，这样无论k取何值等式都成立，据此即可求出2a和b的值，最终算出2a+b的结果。
【解析】
把$x=1$代入方程$\dfrac{2kx+a}{3}=2+\dfrac{x+bk}{6}$，得：
$\dfrac{2k+a}{3}=2+\dfrac{1+bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+1+bk$
去括号，得：
$4k+2a=13+bk$
移项合并同类项，得：
$(4-b)k=13-2a$
∵ 无论k为何值，上述等式都成立
∴ k的系数和常数项分别为0，即$\begin{cases}4-b=0 \\13-2a=0\end{cases}$
解得：$b=4$，$2a=13$
因此$2a+b=13+4=17$
【答案】
$\boxed{17}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 去分母解方程
3. 含参方程恒成立
【点评】
本题是含参数一元一次方程的典型考法，解题核心是利用“解恒为x=1”的条件先代入简化方程，再根据“对任意k都成立”的要求，令未知参数k的系数和常数项分别为0即可求解，解题时可直接用2a的整体值计算，无需单独求a，运算更简便。
【难度系数】
0.6