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10.学科特色 整体代入法 「2026天津六十一中期末，★☆」若关于x的一元一次方程$2ax+3-b=0$的解为$x=1$，则代数式$4a-2b+1$的值为（
A.$-5$
B.$5$
C.$-3$
D.$3$
A
）A.$-5$
B.$5$
C.$-3$
D.$3$
答案
10.A 将x=1代入方程2ax+3-b=0得2a+3-b=0,则2a-b=-3,所以4a-2b+1=2(2a-b)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.故选A.
解析
【分析】
解题首先要用到一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。第一步把x=1代入原方程，整理得到关于a、b的关系式2a-b的值。再观察所求代数式4a-2b+1，可发现4a-2b是2a-b的2倍，因此不需要分别求出a、b的具体值，把2a-b看作一个整体，代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵x=1是一元一次方程$2ax+3-b=0$的解，
∴将$x=1$代入方程得：$2a×1 + 3 - b = 0$，
整理得：$2a - b = -3$。
对代数式$4a-2b+1$变形，提取公因数2可得：
$4a-2b+1=2(2a-b)+1$，
将$2a-b=-3$代入上式计算：
原式$=2×(-3)+1=-6+1=-5$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题核心是先根据方程解的定义得到相关整式的值，再将所求代数式变形为含有该整式的形式后整体代入计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。第一步把x=1代入原方程，整理得到关于a、b的关系式2a-b的值。再观察所求代数式4a-2b+1，可发现4a-2b是2a-b的2倍，因此不需要分别求出a、b的具体值，把2a-b看作一个整体，代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵x=1是一元一次方程$2ax+3-b=0$的解，
∴将$x=1$代入方程得：$2a×1 + 3 - b = 0$，
整理得：$2a - b = -3$。
对代数式$4a-2b+1$变形，提取公因数2可得：
$4a-2b+1=2(2a-b)+1$，
将$2a-b=-3$代入上式计算：
原式$=2×(-3)+1=-6+1=-5$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题核心是先根据方程解的定义得到相关整式的值，再将所求代数式变形为含有该整式的形式后整体代入计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
11.「★☆」关于x的方程$kx=3$的解为自然数，则整数k等于 （
A.0或1
B.1或3
C.-1或-3
D.$\pm1$或$\pm3$
B
）A.0或1
B.1或3
C.-1或-3
D.$\pm1$或$\pm3$
答案
11.B k=0时,方程无意义,排除A选项;k≠0时,x=3/k,因为解为自然数,且k为整数,所以k的值为1或3.故选B.
解析
【分析】
解题时首先需要考虑参数k的取值：首先若k=0，方程左边为0，右边为3，等式不成立，方程无解，可直接排除包含k=0的A选项；当k≠0时，先求出方程的解$x=\frac{3}{k}$，再结合“解为自然数”“k为整数”两个限制条件分析：自然数是大于等于0的整数，而$\frac{3}{k}$不可能等于0，因此x必须是正整数，即3能被k整除，且k为正整数，由此可确定k的可能取值。
【解析】
1. 当k=0时，原方程变为0=3，等式不成立，方程无解，不符合题意，排除A选项；
2. 当k≠0时，将方程两边同时除以k，得解为$x=\frac{3}{k}$；
已知方程的解为自然数，且k为整数：
自然数为非负整数，$\frac{3}{k}$不可能等于0，因此$x=\frac{3}{k}$只能是正整数，即k是3的正约数，满足条件的正整数k为1或3：
k=1时，x=3，是自然数，符合要求；
k=3时，x=1，是自然数，符合要求；
若k为负数，则x为负数，不属于自然数，因此排除C、D选项。
综上，整数k的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；自然数的定义；含参方程求解
【点评】
本题是含参数的一元一次方程的典型基础题，易错点有两处：一是忽略k=0时方程无解的情况，二是混淆自然数的取值范围，误将负数解算作符合要求的解，解题时需注意结合限制条件逐一筛选参数的可能取值，避免漏判或多判。
【难度系数】
0.75
解题时首先需要考虑参数k的取值：首先若k=0，方程左边为0，右边为3，等式不成立，方程无解，可直接排除包含k=0的A选项；当k≠0时，先求出方程的解$x=\frac{3}{k}$，再结合“解为自然数”“k为整数”两个限制条件分析：自然数是大于等于0的整数，而$\frac{3}{k}$不可能等于0，因此x必须是正整数，即3能被k整除，且k为正整数，由此可确定k的可能取值。
【解析】
1. 当k=0时，原方程变为0=3，等式不成立，方程无解，不符合题意，排除A选项；
2. 当k≠0时，将方程两边同时除以k，得解为$x=\frac{3}{k}$；
已知方程的解为自然数，且k为整数：
自然数为非负整数，$\frac{3}{k}$不可能等于0，因此$x=\frac{3}{k}$只能是正整数，即k是3的正约数，满足条件的正整数k为1或3：
k=1时，x=3，是自然数，符合要求；
k=3时，x=1，是自然数，符合要求；
若k为负数，则x为负数，不属于自然数，因此排除C、D选项。
综上，整数k的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；自然数的定义；含参方程求解
【点评】
本题是含参数的一元一次方程的典型基础题，易错点有两处：一是忽略k=0时方程无解的情况，二是混淆自然数的取值范围，误将负数解算作符合要求的解，解题时需注意结合限制条件逐一筛选参数的可能取值，避免漏判或多判。
【难度系数】
0.75
12.「2024江苏宿迁中考，★☆」我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?这段话的意思是用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺.绳长、井深各几尺?若设绳长为$x$尺,则可列方程为 (
A.$\frac{1}{3}x -4=\frac{1}{4}x -1$
B.$\frac{1}{3}x +4=\frac{1}{4}x -1$
C.$\frac{1}{3}x -4=\frac{1}{4}x +1$
D.$\frac{1}{3}x +4=\frac{1}{4}x +1$
A
)A.$\frac{1}{3}x -4=\frac{1}{4}x -1$
B.$\frac{1}{3}x +4=\frac{1}{4}x -1$
C.$\frac{1}{3}x -4=\frac{1}{4}x +1$
D.$\frac{1}{3}x +4=\frac{1}{4}x +1$
答案
12.A 绳长是x尺,根据“把绳三折来量,井外余绳四尺”可得井深为(1/3 x -4)尺;根据“把绳四折来量,井外余绳一尺”可得井深为(1/4 x -1)尺.所以1/3 x -4=1/4 x -1.故选A.
解析
【分析】
解这道题的核心是抓住题目中的不变量——井深，以此作为列方程的等量依据。已知设绳长为x尺，我们只需要分别根据两种折绳测井的情况表示出井深，再让两个井深的表达式相等即可得到方程。绳三折时每段长度是绳长的$\frac{1}{3}$，井外余4尺，说明井深比三折后的绳长短4尺；绳四折时每段长度是绳长的$\frac{1}{4}$，井外余1尺，说明井深比四折后的绳长短1尺，结合井深不变即可列出对应方程。
【解析】
已知设绳长为$x$尺：
1. 把绳三折来量时，每折绳长为$\frac{1}{3}x$尺，井外余绳4尺，因此井深为$(\frac{1}{3}x - 4)$尺；
2. 把绳四折来量时，每折绳长为$\frac{1}{4}x$尺，井外余绳1尺，因此井深为$(\frac{1}{4}x - 1)$尺。
由于井深是固定不变的，因此可列方程：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列一元一次方程
【点评】
本题以古代经典数学问题为背景，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题的关键是明确井深为不变量，正确根据两种测量方式表示井深，避免混淆余绳对应的加减关系。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是抓住题目中的不变量——井深，以此作为列方程的等量依据。已知设绳长为x尺，我们只需要分别根据两种折绳测井的情况表示出井深，再让两个井深的表达式相等即可得到方程。绳三折时每段长度是绳长的$\frac{1}{3}$，井外余4尺，说明井深比三折后的绳长短4尺；绳四折时每段长度是绳长的$\frac{1}{4}$，井外余1尺，说明井深比四折后的绳长短1尺，结合井深不变即可列出对应方程。
【解析】
已知设绳长为$x$尺：
1. 把绳三折来量时，每折绳长为$\frac{1}{3}x$尺，井外余绳4尺，因此井深为$(\frac{1}{3}x - 4)$尺；
2. 把绳四折来量时，每折绳长为$\frac{1}{4}x$尺，井外余绳1尺，因此井深为$(\frac{1}{4}x - 1)$尺。
由于井深是固定不变的，因此可列方程：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列一元一次方程
【点评】
本题以古代经典数学问题为背景，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题的关键是明确井深为不变量，正确根据两种测量方式表示井深，避免混淆余绳对应的加减关系。
【难度系数】
0.8
13.「2026江苏南京月考，★☆」有$m$辆客车及$n$个人，若每辆客车乘50人，则还有9人不能上车，若每辆客车乘52人，则只有1人不能上车，有下列四个方程：①$50m+9=52m+1$；②$50m+9=52m-1$；③$\frac{n-9}{50}=\frac{n-1}{52}$；④$\frac{n+9}{50}=\frac{n+1}{52}$。其中正确的是
①③
（填写序号）。答案
13.答案 ①③
解析 根据人数不变,列出方程①50m+9=52m+1;根据客车的辆数不变,列出方程③(n-9)/50=(n-1)/52.所以正确的方程是①③.
解析 根据人数不变,列出方程①50m+9=52m+1;根据客车的辆数不变,列出方程③(n-9)/50=(n-1)/52.所以正确的方程是①③.
解析
【分析】
这道题是根据实际乘车问题列方程，解题关键是找到题目中的不变量作为等量关系。我们可以从两个角度找等量：一是总人数固定不变，二是客车的总辆数固定不变。先尝试用客车数量$m$表示总人数，再用总人数$n$表示客车数量，分别列方程判断正误即可。
【解析】
我们分两个角度分析：
1. 以总人数不变为等量关系：
已知有$m$辆客车，每辆乘50人时还有9人不能上车，总人数可表示为$50m + 9$；
每辆乘52人时还有1人不能上车，总人数可表示为$52m + 1$；
因为总人数相等，所以$50m + 9 = 52m + 1$，故①正确，②错误。
2. 以客车总辆数不变为等量关系：
已知有$n$个人，每辆乘50人时还有9人不能上车，说明坐满车的人数是$n - 9$，则客车数量可表示为$\frac{n - 9}{50}$；
每辆乘52人时还有1人不能上车，说明坐满车的人数是$n - 1$，则客车数量可表示为$\frac{n - 1}{52}$；
因为客车数量相等，所以$\frac{n - 9}{50} = \frac{n - 1}{52}$，故③正确，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
列一元一次方程，等量关系识别
【点评】
本题考查实际问题中方程的列写，核心是找准题目中的不变量建立等量关系，注意区分“不能上车的人数”对应的数量加减关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
这道题是根据实际乘车问题列方程，解题关键是找到题目中的不变量作为等量关系。我们可以从两个角度找等量：一是总人数固定不变，二是客车的总辆数固定不变。先尝试用客车数量$m$表示总人数，再用总人数$n$表示客车数量，分别列方程判断正误即可。
【解析】
我们分两个角度分析：
1. 以总人数不变为等量关系：
已知有$m$辆客车，每辆乘50人时还有9人不能上车，总人数可表示为$50m + 9$；
每辆乘52人时还有1人不能上车，总人数可表示为$52m + 1$；
因为总人数相等，所以$50m + 9 = 52m + 1$，故①正确，②错误。
2. 以客车总辆数不变为等量关系：
已知有$n$个人，每辆乘50人时还有9人不能上车，说明坐满车的人数是$n - 9$，则客车数量可表示为$\frac{n - 9}{50}$；
每辆乘52人时还有1人不能上车，说明坐满车的人数是$n - 1$，则客车数量可表示为$\frac{n - 1}{52}$；
因为客车数量相等，所以$\frac{n - 9}{50} = \frac{n - 1}{52}$，故③正确，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
列一元一次方程，等量关系识别
【点评】
本题考查实际问题中方程的列写，核心是找准题目中的不变量建立等量关系，注意区分“不能上车的人数”对应的数量加减关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
14.「2026北京大兴月考，★☆」观察：$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$的解是$x=2$；$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$的解是$x=3$；$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解是$x=4$；……，根据观察得到的规律，写出解是$x=2025$的方程：
$\frac{x}{4050}+\frac{x-2\ 024}{2}=1$
。答案
14.答案 $\frac{x}{4050}+\frac{x-2\ 024}{2}=1$
解析 由题意得$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$的解是$x=2$；
$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$的解是$x=3$；
$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$的解是$x=4$；……
根据规律可知,$\frac{x}{2×2\ 025}+\frac{x-(2\ 025-1)}{2}=1$的解是$x=2\ 025$,即$\frac{x}{4\ 050}+\frac{x-2\ 024}{2}=1$的解是$x=2\ 025$.
解析 由题意得$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$的解是$x=2$；
$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$的解是$x=3$；
$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$的解是$x=4$；……
根据规律可知,$\frac{x}{2×2\ 025}+\frac{x-(2\ 025-1)}{2}=1$的解是$x=2\ 025$,即$\frac{x}{4\ 050}+\frac{x-2\ 024}{2}=1$的解是$x=2\ 025$.
解析
【分析】
解题时先从已知的几组方程及其对应解入手，逐一拆分方程各部分的特征：①观察每个方程第一个分数的分母，依次为4、6、8，发现均为对应解的2倍；②观察第二个分数分子中的减数，依次为1、2、3，发现均比对应解小1；③其余部分（第一个分数的分子、第二个分数的分母、方程右侧的常数）均固定不变。据此先归纳出“解为x=n时的通用方程形式”，再将n=2025代入通用形式即可得到所求方程。
【解析】
先整理已知的对应关系：
当解为$x=2$时，方程为$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$；
当解为$x=3$时，方程为$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$；
当解为$x=4$时，方程为$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$；
由此可归纳规律：若方程的解为$x=n$（$n$为大于等于2的正整数），则对应方程为$\frac{x}{2n}+\frac{x-(n-1)}{2}=1$。
现在要求解为$x=2025$，即$n=2025$，代入规律式：
第一个分数的分母为$2×2025=4050$，第二个分数分子的减数为$2025-1=2024$，
因此所求方程为$\frac{x}{4050}+\frac{x-2024}{2}=1$。
【答案】
$\frac{x}{4050}+\frac{x-2024}{2}=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查观察、归纳与应用规律的能力，只要仔细比对已知方程各部分和对应解的数量关系，就能准确总结规律并求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的几组方程及其对应解入手，逐一拆分方程各部分的特征：①观察每个方程第一个分数的分母，依次为4、6、8，发现均为对应解的2倍；②观察第二个分数分子中的减数，依次为1、2、3，发现均比对应解小1；③其余部分（第一个分数的分子、第二个分数的分母、方程右侧的常数）均固定不变。据此先归纳出“解为x=n时的通用方程形式”，再将n=2025代入通用形式即可得到所求方程。
【解析】
先整理已知的对应关系：
当解为$x=2$时，方程为$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$；
当解为$x=3$时，方程为$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$；
当解为$x=4$时，方程为$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$；
由此可归纳规律：若方程的解为$x=n$（$n$为大于等于2的正整数），则对应方程为$\frac{x}{2n}+\frac{x-(n-1)}{2}=1$。
现在要求解为$x=2025$，即$n=2025$，代入规律式：
第一个分数的分母为$2×2025=4050$，第二个分数分子的减数为$2025-1=2024$，
因此所求方程为$\frac{x}{4050}+\frac{x-2024}{2}=1$。
【答案】
$\frac{x}{4050}+\frac{x-2024}{2}=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查观察、归纳与应用规律的能力，只要仔细比对已知方程各部分和对应解的数量关系，就能准确总结规律并求解。
【难度系数】
0.8
15.「2026北京顺义期中，★☆」某地对居民用电的收费标准为如果每月用电量不超过100千瓦时，那么每千瓦时按0.45元收费，如果超过100千瓦时，超出部分按每千瓦时0.54元收费，已知该地一户居民某个月缴纳电费77.4元，若设该户居民这个月用电x千瓦时，则可列方程为
$0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$
。答案
15.答案 $0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$
解析 $100×0.45=45$,因为$77.4＞45$,所以该户居民这个月用电超过100千瓦时,根据题意得$0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$.
解析 $100×0.45=45$,因为$77.4＞45$,所以该户居民这个月用电超过100千瓦时,根据题意得$0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$.
解析
【分析】
拿到这类分段收费的题目，首先要先计算分段临界点的费用，即用电100千瓦时的总费用，再和题目给出的实际缴费金额对比，判断用电量是否超过分段点。本题中实际缴费77.4元大于100千瓦时的费用45元，说明用电量超过100千瓦时。接下来总电费由两部分组成：100千瓦时以内的基础费用，加上超出100千瓦时部分的加收费用，两部分相加等于总缴费金额，据此就可以列出对应的方程。
【解析】
1. 先计算用电量为100千瓦时时的电费：
$0.45×100=45$（元）
2. 对比实际缴费判断用电量区间：
因为$77.4＞45$，所以该居民这个月用电量$x＞100$千瓦时。
3. 拆分电费组成：100千瓦时以内的费用为45元，超过100千瓦时的部分为$(x-100)$千瓦时，这部分费用为$0.54(x-100)$元。
4. 根据“总电费=基础费用+超出部分费用”的等量关系列方程：
$0.45×100+0.54(x-100)=77.4$
【答案】
$0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是分段计费的典型基础题，解题关键是先根据缴费金额判断用电量所属的收费区间，再结合总费用的等量关系列方程，要注意超出部分的计费基数是超过100千瓦时的部分，不要直接用总用电量按高资费计算。
【难度系数】
0.8
拿到这类分段收费的题目，首先要先计算分段临界点的费用，即用电100千瓦时的总费用，再和题目给出的实际缴费金额对比，判断用电量是否超过分段点。本题中实际缴费77.4元大于100千瓦时的费用45元，说明用电量超过100千瓦时。接下来总电费由两部分组成：100千瓦时以内的基础费用，加上超出100千瓦时部分的加收费用，两部分相加等于总缴费金额，据此就可以列出对应的方程。
【解析】
1. 先计算用电量为100千瓦时时的电费：
$0.45×100=45$（元）
2. 对比实际缴费判断用电量区间：
因为$77.4＞45$，所以该居民这个月用电量$x＞100$千瓦时。
3. 拆分电费组成：100千瓦时以内的费用为45元，超过100千瓦时的部分为$(x-100)$千瓦时，这部分费用为$0.54(x-100)$元。
4. 根据“总电费=基础费用+超出部分费用”的等量关系列方程：
$0.45×100+0.54(x-100)=77.4$
【答案】
$0.45×100+0.54×(x-100)=77.4$
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是分段计费的典型基础题，解题关键是先根据缴费金额判断用电量所属的收费区间，再结合总费用的等量关系列方程，要注意超出部分的计费基数是超过100千瓦时的部分，不要直接用总用电量按高资费计算。
【难度系数】
0.8
16.「2026湖北武汉黄陂月考改编，★☆」已知关于$x$的方程$(a^2 -9)x^2 +ax -3x +4=0$是一元一次方程.
(1)求$a$的值.
(2)求$-4a^2 +7 -3a +2a +1$的值.
(1)求$a$的值.
(2)求$-4a^2 +7 -3a +2a +1$的值.
答案
16.解析 (1)因为方程$(a^2 -9)x^2 +ax -3x +4=0$是关于$x$的一元一次方程,
所以$a^2-9=0$且$a-3≠0$,解得$a=-3$.
(2)由(1)知$a=-3$,所以$-4a^2 +7 -3a +2a +1=-4a^2 -a +8=-4×(-3)^2 -(-3)+8=-36+3+8=-25$.
所以$a^2-9=0$且$a-3≠0$,解得$a=-3$.
(2)由(1)知$a=-3$,所以$-4a^2 +7 -3a +2a +1=-4a^2 -a +8=-4×(-3)^2 -(-3)+8=-36+3+8=-25$.
解析
【分析】
(1) 要确定a的值，需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程需满足只含1个未知数、未知数最高次数为1、且一次项系数不为0。因此原方程中x²的系数必须为0，同时x的一次项系数不能为0，联立两个条件即可求出a的取值。
(2) 求代数式的值时，先将代数式合并同类项化简，再把(1)中求出的a的值代入化简后的式子计算，能简化运算过程。
【解析】
(1) 已知方程$(a^2 -9)x^2 +ax -3x +4=0$是关于$x$的一元一次方程，
因此二次项系数必须为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a^2 -9=0 \\ a-3≠0 \end{cases}$
解$a^2-9=0$得$a=3$或$a=-3$，结合$a-3≠0$即$a≠3$，最终得$a=-3$。
(2) 先化简代数式$-4a^2 +7 -3a +2a +1$：
合并同类项得：$-4a^2 + (-3a+2a) + (7+1) = -4a^2 -a +8$
将$a=-3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-3)^2 - (-3) +8 \\&=-4×9 +3 +8 \\&=-36+3+8 \\&=-25\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-3$；(2) $-25$
【知识点】
一元一次方程的定义，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题核心考查一元一次方程定义的应用，解题时需注意一元一次方程需同时满足二次项系数为0、一次项系数不为0两个约束条件，不可遗漏任意一个；代数式求值前先化简，可降低计算量、减少出错概率。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定a的值，需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程需满足只含1个未知数、未知数最高次数为1、且一次项系数不为0。因此原方程中x²的系数必须为0，同时x的一次项系数不能为0，联立两个条件即可求出a的取值。
(2) 求代数式的值时，先将代数式合并同类项化简，再把(1)中求出的a的值代入化简后的式子计算，能简化运算过程。
【解析】
(1) 已知方程$(a^2 -9)x^2 +ax -3x +4=0$是关于$x$的一元一次方程，
因此二次项系数必须为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}a^2 -9=0 \\ a-3≠0 \end{cases}$
解$a^2-9=0$得$a=3$或$a=-3$，结合$a-3≠0$即$a≠3$，最终得$a=-3$。
(2) 先化简代数式$-4a^2 +7 -3a +2a +1$：
合并同类项得：$-4a^2 + (-3a+2a) + (7+1) = -4a^2 -a +8$
将$a=-3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-3)^2 - (-3) +8 \\&=-4×9 +3 +8 \\&=-36+3+8 \\&=-25\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-3$；(2) $-25$
【知识点】
一元一次方程的定义，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题核心考查一元一次方程定义的应用，解题时需注意一元一次方程需同时满足二次项系数为0、一次项系数不为0两个约束条件，不可遗漏任意一个；代数式求值前先化简，可降低计算量、减少出错概率。
【难度系数】
0.8
17. 核心素养 运算能力 学科特色 换元法 「2025江苏南通海安期末」若关于x的一元一次方程$a(x-\dfrac{1}{2025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2025}$的解为$x=1$，则关于y的一元一次方程$ay+b=2y+c$的解为$y=\_\_\_\_\_\_$。
答案
17.答案 $\dfrac{2\ 024}{2\ 025}$
解析 整理$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2\ 025}$,
得$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2(x-\dfrac{1}{2\ 025})+c$,
因为关于x的一元一次方程$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2\ 025}$的解为$x=1$,
所以关于y的一元一次方程$ay+b=2y+c$的解为$y=x-\dfrac{1}{2\ 025}=1-\dfrac{1}{2\ 025}=\dfrac{2\ 024}{2\ 025}$.
技巧归纳 换元法是指用一个新的元(即未知数)代替原式中一个复杂代数式,从而简化方程的求解的方法.本题中观察得知,所求解方程和已知方程变形后的结构相同,所以令$y=x-\dfrac{1}{2\ 025}$,即用新元y替换原方程中的代数式$x-\dfrac{1}{2\ 025}$,从而简化方程,借助原方程的解可求出y的值.
解析 整理$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2\ 025}$,
得$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2(x-\dfrac{1}{2\ 025})+c$,
因为关于x的一元一次方程$a(x-\dfrac{1}{2\ 025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2\ 025}$的解为$x=1$,
所以关于y的一元一次方程$ay+b=2y+c$的解为$y=x-\dfrac{1}{2\ 025}=1-\dfrac{1}{2\ 025}=\dfrac{2\ 024}{2\ 025}$.
技巧归纳 换元法是指用一个新的元(即未知数)代替原式中一个复杂代数式,从而简化方程的求解的方法.本题中观察得知,所求解方程和已知方程变形后的结构相同,所以令$y=x-\dfrac{1}{2\ 025}$,即用新元y替换原方程中的代数式$x-\dfrac{1}{2\ 025}$,从而简化方程,借助原方程的解可求出y的值.
解析
【分析】
我们先观察已知的含x的方程和待求的含y的方程，发现二者结构高度相似，因此可以先变形已知方程，将其凑成和待求方程结构一致的形式。首先对已知方程的右边进行整理，把2x和$-\frac{2}{2025}$提取公因数2，就能得到$2(x-\frac{1}{2025})$，此时已知方程就变成$a(x-\frac{1}{2025})+b=2(x-\frac{1}{2025})+c$，对比待求方程$ay+b=2y+c$，可知如果把$x-\frac{1}{2025}$整体看作y，两个方程完全相同。已知x=1是原方程的解，代入$y=x-\frac{1}{2025}$就能直接求出y的值，无需计算复杂的参数。
【解析】
先对关于x的一元一次方程进行变形：
$a(x-\dfrac{1}{2025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2025}$
将右边的含x项和常数项整理得：$2x-\dfrac{2}{2025}=2(x-\dfrac{1}{2025})$，因此原方程可化为：
$a(x-\dfrac{1}{2025})+b=2(x-\dfrac{1}{2025})+c$
已知该方程的解为$x=1$，对比待求方程$ay+b=2y+c$，可得$y=x-\dfrac{1}{2025}$
将$x=1$代入计算得：
$y=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$
【答案】
$\dfrac{2024}{2025}$
【知识点】
换元法；一元一次方程的解；整式变形
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，解题核心是找到两个方程的结构共性，通过对已知方程的简单变形得到两个方程未知数的对应关系，无需计算参数即可快速求解，能有效锻炼观察分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
我们先观察已知的含x的方程和待求的含y的方程，发现二者结构高度相似，因此可以先变形已知方程，将其凑成和待求方程结构一致的形式。首先对已知方程的右边进行整理，把2x和$-\frac{2}{2025}$提取公因数2，就能得到$2(x-\frac{1}{2025})$，此时已知方程就变成$a(x-\frac{1}{2025})+b=2(x-\frac{1}{2025})+c$，对比待求方程$ay+b=2y+c$，可知如果把$x-\frac{1}{2025}$整体看作y，两个方程完全相同。已知x=1是原方程的解，代入$y=x-\frac{1}{2025}$就能直接求出y的值，无需计算复杂的参数。
【解析】
先对关于x的一元一次方程进行变形：
$a(x-\dfrac{1}{2025})+b=2x+c-\dfrac{2}{2025}$
将右边的含x项和常数项整理得：$2x-\dfrac{2}{2025}=2(x-\dfrac{1}{2025})$，因此原方程可化为：
$a(x-\dfrac{1}{2025})+b=2(x-\dfrac{1}{2025})+c$
已知该方程的解为$x=1$，对比待求方程$ay+b=2y+c$，可得$y=x-\dfrac{1}{2025}$
将$x=1$代入计算得：
$y=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$
【答案】
$\dfrac{2024}{2025}$
【知识点】
换元法；一元一次方程的解；整式变形
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，解题核心是找到两个方程的结构共性，通过对已知方程的简单变形得到两个方程未知数的对应关系，无需计算参数即可快速求解，能有效锻炼观察分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
18. 核心素养 模型观念 根据实际问题的意义列出方程：
一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一个班取10棵和余下的$\frac{1}{10}$，第二个班取20棵和余下的$\frac{1}{10}$，第三个班取30棵和余下的$\frac{1}{10}$，……，最后树苗全部被取完，且各班的树苗棵数都相等，求树苗总棵数.(只列方程，不求解)
一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一个班取10棵和余下的$\frac{1}{10}$，第二个班取20棵和余下的$\frac{1}{10}$，第三个班取30棵和余下的$\frac{1}{10}$，……，最后树苗全部被取完，且各班的树苗棵数都相等，求树苗总棵数.(只列方程，不求解)
答案
18.解析 设树苗总棵数为x,则第一个班领取的树苗棵数为$10+\dfrac{1}{10}(x-10)$,第二个班领取的树苗棵数为$20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\}$,因为各班的树苗棵数都相等,所以$10+\dfrac{1}{10}(x-10)=20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\}$.
解析
【分析】
我们可以通过设未知数，利用“各班领取的树苗棵数相等”这个核心等量关系列方程。首先设树苗总棵数为$x$，第一步先表示第一个班领取的树苗量：第一个班先取10棵，余下的树苗为$(x-10)$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，相加就是第一个班领取的总棵数。第二步表示第二个班领取的树苗量：需要先从总棵数里扣除第一个班领走的数量，再扣除第二个班先取的20棵，得到此时余下的树苗量，取它的$\frac{1}{10}$加上20，就是第二个班领取的总棵数。最后利用两个班领取棵数相等的关系，即可列出方程。
【解析】
设树苗总棵数为$ x $。
第一个班领取的树苗棵数为：$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10) $
第二个班领取时，先扣除第一个班领走的树苗和自己先领的20棵，此时余下的树苗棵数为$ x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)] $，因此第二个班领取的树苗棵数为：$ 20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
由各班领取的树苗棵数相等，可列方程：
$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10)=20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
【答案】
$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10)=20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列代数式
3. 等量关系分析
【点评】
本题考查结合实际问题列方程的能力，解题关键是理清每次取树苗时“余下”部分对应的基数，抓住“各班领取棵数相等”的等量关系，能有效锻炼逻辑梳理和代数式表示能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数，利用“各班领取的树苗棵数相等”这个核心等量关系列方程。首先设树苗总棵数为$x$，第一步先表示第一个班领取的树苗量：第一个班先取10棵，余下的树苗为$(x-10)$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，相加就是第一个班领取的总棵数。第二步表示第二个班领取的树苗量：需要先从总棵数里扣除第一个班领走的数量，再扣除第二个班先取的20棵，得到此时余下的树苗量，取它的$\frac{1}{10}$加上20，就是第二个班领取的总棵数。最后利用两个班领取棵数相等的关系，即可列出方程。
【解析】
设树苗总棵数为$ x $。
第一个班领取的树苗棵数为：$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10) $
第二个班领取时，先扣除第一个班领走的树苗和自己先领的20棵，此时余下的树苗棵数为$ x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)] $，因此第二个班领取的树苗棵数为：$ 20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
由各班领取的树苗棵数相等，可列方程：
$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10)=20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
【答案】
$ 10+\dfrac{1}{10}(x-10)=20+\dfrac{1}{10}\{x-20-[10+\dfrac{1}{10}(x-10)]\} $
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列代数式
3. 等量关系分析
【点评】
本题考查结合实际问题列方程的能力，解题关键是理清每次取树苗时“余下”部分对应的基数，抓住“各班领取棵数相等”的等量关系，能有效锻炼逻辑梳理和代数式表示能力。
【难度系数】
0.6
