1.「2026湖南郴州永兴期中」已知$x=y$，下列各式不一定成立的是（）

A.$x+a=y+a$
B.$a-x=a-y$
C.$ax=ay$
D.$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$

因为$x=y$,所以$x+a=y+a$,$a-x=a-y$,$ax=ay$,故A,B,C成立;当$a=0$时,式子$\frac{x}{a}$与$\frac{y}{a}$无意义,故D不一定成立.故选D.

【分析】
解题时首先要回忆等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项是否符合性质要求，尤其要注意涉及除法运算时，除数不能为0的前提限制。等式性质1：等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。结合上述性质逐个判断选项是否一定成立，最终选出符合要求的答案即可。
【解析】
已知$x=y$：
选项A：根据等式性质1，等式两边同时加$a$，可得$x+a=y+a$，一定成立；
选项B：先根据等式性质2，等式两边同时乘$-1$得$-x=-y$，再根据等式性质1，两边同时加$a$，可得$a-x=a-y$，一定成立；
选项C：根据等式性质2，等式两边同时乘$a$，可得$ax=ay$，一定成立；
选项D：对等式两边同时除以$a$时，需要满足$a≠0$的前提，当$a=0$时，除数为0，$\frac{x}{a}$和$\frac{y}{a}$无意义，因此该式不一定成立。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的基本性质 2.0不能作除数
【点评】
本题是等式性质应用的基础题，易错点是对等式两边做除法运算时，忽略除数不能为0的限制，解题时要注意考虑特殊值0的情况。
【难度系数】
0.75

2.「2026天津红桥月考」已知等式$3x=2y-4$，则下列等式中不成立的是（）

A.$\frac{3}{2}x=y-2$
B.$3x+1=2y-3$
C.$3xz=2yz-4$
D.$3x-2y=-4$

$3x=2y-4$,等式两边都乘$z$,得$3xz=2yz-4z$.故C中等式不成立,故选C.

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题思路如下：首先牢记等式的两条基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来将原等式$3x=2y-4$按照每个选项的变形方式逐一验证，判断变形是否符合等式的性质，不符合的即为不成立的选项。
【解析】
已知原等式为$3x=2y-4$，逐一验证各选项：
选项A：等式两边同时除以2，左边为$\frac{3x}{2}=\frac{3}{2}x$，右边为$\frac{2y-4}{2}=y-2$，变形符合等式性质，等式成立，故A不符合题意；
选项B：等式两边同时加1，左边为$3x+1$，右边为$2y-4+1=2y-3$，变形符合等式性质，等式成立，故B不符合题意；
选项C：等式两边同时乘$z$，左边为$3xz$，右边为$(2y-4)z=2yz-4z$，和选项中的$2yz-4$不相等，变形不符合等式性质，等式不成立，故C符合题意；
选项D：等式两边同时减$2y$，左边为$3x-2y$，右边为$2y-4-2y=-4$，变形符合等式性质，等式成立，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用类题目，易错点为等式两边同时乘一个数或式子时，漏乘常数项，做题时需注意给等式每一项都进行相同的变形。
【难度系数】
0.8

3. 在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1) 如果$-\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}$, 那么 $x=$ , 根据 , 通过 变形得到.
(2) 如果 $-2x=2y$, 那么 $x=$ , 根据 , 通过 变形得到.
(3) 如果$\dfrac{2}{3}x=4$, 那么 $x=$ , 根据 , 通过 变形得到.
(4) 如果 $x=3x+2$, 那么 $x-$ $=2$, 根据 , 通过 变形得到.

(1)$-2y$;等式的性质2;两边都乘$-10$
(2)$-y$;等式的性质2;两边都除以$-2$
(3)$6$;等式的性质2;两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)$3x$;等式的性质1;两边都减去$3x$

【分析】
解决这类题目的核心是熟练掌握等式的两条基本性质：性质1是等式两边加/减同一个数或整式，等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。解题时先观察每个小题需要得到的目标形式，对比原式确定需要给等式两边做哪种相同的运算，再对应匹配等式的性质即可。
【解析】
(1) 要将左边的$-\dfrac{x}{10}$化为$x$，需将系数化为1，根据等式的性质2，给等式两边同时乘$-10$，左边为$(-\dfrac{x}{10})×(-10)=x$，右边为$\dfrac{y}{5}×(-10)=-2y$，故$x=-2y$。
(2) 要将左边的$-2x$化为$x$，需将系数化为1，根据等式的性质2，给等式两边同时除以$-2$，左边为$(-2x)÷(-2)=x$，右边为$2y÷(-2)=-y$，故$x=-y$。
(3) 要将左边的$\dfrac{2}{3}x$化为$x$，需将系数化为1，根据等式的性质2，给等式两边同时乘$\dfrac{3}{2}$，左边为$\dfrac{2}{3}x×\dfrac{3}{2}=x$，右边为$4×\dfrac{3}{2}=6$，故$x=6$。
(4) 要使等式右边仅剩常数2，需消去右边的$3x$，根据等式的性质1，给等式两边同时减去$3x$，右边为$3x+2-3x=2$，左边为$x-3x$，故横线处填$3x$。
【答案】
(1)$-2y$;等式的性质2;两边都乘$-10$
(2)$-y$;等式的性质2;两边都除以$-2$
(3)$6$;等式的性质2;两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)$3x$;等式的性质1;两边都减去$3x$
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题的关键是注意等式变形时两边必须同时进行相同的运算，使用等式的性质2做除法运算时，要保证除数不为0，熟练掌握两条性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

4.「2026甘肃定西临洮期末」已知$3a+5b=2b+6$，利用等式的性质可得$a+b$的值是。

2
解析 $3a+5b=2b+6$两边同时减去$2b$,得$3a+3b=6$,两边同时除以3,得$a+b=2$.

【分析】
解题时先明确目标是求$a+b$的值，无需单独求出$a$、$b$的具体数值，可通过等式的性质对已知等式变形凑出$a+b$的整体形式：首先观察已知等式中$b$的项，可先利用等式性质1消去等式右侧的$2b$，得到左侧为$3a+3b$（即$3(a+b)$）的式子，再利用等式性质2两边同时除以3，即可求出$a+b$的值。
【解析】
已知$3a+5b=2b+6$，
根据等式的性质1，等式两边同时减去$2b$，得：
$3a+5b-2b=2b+6-2b$，
化简得$3a+3b=6$，即$3(a+b)=6$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得：
$a+b=2$。
【答案】
2
【知识点】
等式的性质，整体求值
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，重点考查对等式性质的灵活运用和整体思想的掌握，解题时通过变形直接凑出目标代数式的倍数形式，比单独求解未知数更简便。
【难度系数】
0.8

5.在将等式$3a-2b=2a-2b$变形时,小明的变形过程如下:
因为$3a-2b=2a-2b$,所以$3a=2a$, …… 第一步
所以$3=2$. ………………………………………… 第二步
(1)上述过程中,第一步的依据是什么?
(2)小明第二步的结论正确吗?如果不正确,请说明原因.

(1)$3a-2b=2a-2b$,两边都加上$2b$,得$3a=2a$,所以第一步的依据是等式的性质1.
(2)小明第二步的结论不正确.
理由:根据等式的性质2,等式两边除以同一个不为0的数,结果仍相等.
当$a=0$时,等式$3a=2a$的两边不能除以$a$,所以小明第二步的结论不正确.

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：（1）第一步变形是给原等式两边同时加上2b，对应等式的第一条性质，直接对应性质内容作答即可；（2）判断第二步正误时，需牢记等式性质2的限制条件：等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，因此要先分析字母a的取值是否可能为0，再说明错误原因。
【解析】
(1) 对等式$3a-2b=2a-2b$的两边都加上$2b$，即可得到$3a=2a$，符合等式性质1的内容，因此第一步的依据是等式的性质1。
(2) 小明第二步的结论不正确。理由：根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。若要将$3a=2a$变形为$3=2$，需要给等式两边同时除以$a$，但$a$的取值可能为0，0不能作除数，因此不能直接两边除以$a$，所以第二步结论错误。
【答案】
(1)第一步的依据是等式的性质1。
(2)小明第二步的结论不正确。理由：根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。当$a=0$时，等式$3a=2a$的两边不能除以$a$，所以小明第二步的结论不正确。
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心考查对等式性质2限制条件的理解，解题时注意不能直接除以取值可能为0的含字母的式子，避免忽略除数不为0的要求导致错误。
【难度系数】
0.7

6.解方程$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$时，应在方程两边（）

A.同乘$-\frac{2}{3}$
B.同除以$\frac{2}{3}$
C.同乘$-\frac{3}{2}$
D.同除以$\frac{3}{2}$

解方程$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$时,应在方程两边同除以$-\frac{2}{3}$或同乘$-\frac{3}{2}$.故选C.

【分析】
解方程的核心目标是将方程转化为“x=a（a为常数）”的形式，也就是要把未知数x的系数化为1，这一步需要依据等式的性质2来操作。首先观察x的系数是$-\frac{2}{3}$，要让系数变为1，要么给系数乘以它的倒数，要么直接除以系数本身，同时要注意系数带负号，操作时不能遗漏负号，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
本题中x的系数为$-\frac{2}{3}$，要将系数化为1，可给方程两边同时乘$-\frac{2}{3}$的倒数$-\frac{3}{2}$，也可给两边同时除以$-\frac{2}{3}$。
逐一分析选项：
A. 同乘$-\frac{2}{3}$，左边变为$\frac{4}{9}x$，无法得到x，错误；
B. 同除以$\frac{2}{3}$，即同乘$\frac{3}{2}$，左边变为$-x$，未将系数化为1，错误；
C. 同乘$-\frac{3}{2}$，左边变为x，符合要求，正确；
D. 同除以$\frac{3}{2}$，即同乘$\frac{2}{3}$，左边变为$-\frac{4}{9}x$，错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；系数化为1
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是明确将未知数系数化为1的操作规则，需要特别注意系数的符号，避免因忽略负号选错答案。
【难度系数】
0.8

7.「2026 贵州贵阳期末」下列方程变形正确的是
（）

A.$x+2=5$ 变形得 $x=5+2$
B.$3x=2x+7$ 变形得 $3x-2x=7$
C.$3x=5$ 变形得 $x=\frac{3}{5}$
D.$5-x=16$ 变形得 $x=16-5$

$x+2=5$两边同时减去2,得$x=5-2$,故A错误;$3x=2x+7$两边同时减去$2x$,得$3x-2x=7$,故B正确;$3x=5$两边同时除以3,得$x=\frac{5}{3}$,故C错误;$5-x=16$两边同时乘$-1$,得$x-5=-16$,两边同时加上5,得$x=-16+5$,故D错误.故选B.

【分析】
本题考查等式的性质在方程变形中的应用，解题思路如下：首先回忆等式的基本性质：性质1，等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一核对四个选项的变形是否符合上述性质，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据等式的性质逐一判断选项：
A选项：对$x+2=5$变形，根据等式性质1，两边同时减去2，得$x=5-2$，故A错误；
B选项：对$3x=2x+7$变形，根据等式性质1，两边同时减去$2x$，得$3x-2x=7$，故B正确；
C选项：对$3x=5$变形，根据等式性质2，两边同时除以3，得$x=\frac{5}{3}$，故C错误；
D选项：对$5-x=16$变形，先根据等式性质1两边减5，得$-x=16-5$，再根据等式性质2两边乘$-1$，得$x=5-16$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；方程变形规则
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等式性质的实际应用，易错点在于移项时忘记变号、系数化为1时颠倒分子分母的位置，熟练掌握等式的两条性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8.「2026 江苏盐城滨海期中改编」利用等式的性质解下列方程：
(1)$2x - 1 = 5$.
(2)$3 + \frac{1}{2}x = -2$.
(3)$0.02x = 0.8x - 7.8$.
(4)$9 - 5x = 3 - 2x$.

(1)方程两边都加1,得$2x-1+1=5+1$,化简,得$2x=6$,方程两边都除以2,得$x=3$.
(2)方程两边都减去3,得$3+\frac{1}{2}x-3=-2-3$,化简,得$\frac{1}{2}x=-5$,方程两边都乘2,得$x=-10$.
(3)方程两边都减去$0.8x$,得$0.02x-0.8x=0.8x-7.8-0.8x$,化简,得$-0.78x=-7.8$,方程两边都除以$-0.78$,得$x=10$.
(4)方程两边都加上$2x-9$,得$9-5x+2x-9=3-2x+2x-9$,化简,得$-3x=-6$,方程两边都除以$-3$,得$x=2$.

【分析】
解方程的核心是利用等式的性质将方程逐步转化为x=a（a为常数）的形式。用到的等式性质有两个：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先通过性质1把含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，再通过性质2把未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
(1) 方程两边都加1，得$2x-1+1=5+1$，化简，得$2x=6$，方程两边都除以2，得$x=3$。
(2) 方程两边都减去3，得$3+\frac{1}{2}x-3=-2-3$，化简，得$\frac{1}{2}x=-5$，方程两边都乘2，得$x=-10$。
(3) 方程两边都减去$0.8x$，得$0.02x-0.8x=0.8x-7.8-0.8x$，化简，得$-0.78x=-7.8$，方程两边都除以$-0.78$，得$x=10$。
(4) 方程两边都加上$2x-9$，得$9-5x+2x-9=3-2x+2x-9$，化简，得$-3x=-6$，方程两边都除以$-3$，得$x=2$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-10$；(3)$x=10$；(4)$x=2$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查等式性质的规范应用，解题时要注意每一步变形必须保证等式两边同时做相同运算，避免漏算某一侧、除以0等错误，熟练掌握该方法可为后续解复杂方程奠定基础。
【难度系数】
0.85