12 [2025嘉兴期末]如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB=2 m，树影BC=3 m，树与路灯O的水平距离BP=4.5 m.则路灯O的高度OP为 （）

A.3 m
B.4 m
C.4.5 m
D.5 m

12. D

13 [2025杭州钱塘模拟]如图所示为由8个大小相同的小正方体组成的几何体.若从标号为①②③④的小正方体中取走1个,所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同,则取走的是（）

A.①
B.②
C.③
D.④

13. B

14 如图所示为放在地面上的一个长方体盒子，其中$AB=9\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$BF=5\ \mathrm{cm}$，点$M$在棱$AB$上，且$AM=3\ \mathrm{cm}$，$N$是$FG$的中点。一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点$M$爬行到点$N$，则它需要爬行的最短路程为（）


A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$\sqrt{106}\ \mathrm{cm}$
C.$(6+\sqrt{34})\mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$

14. A

15 [2025南京]将如图①所示的纸杯侧面展开，得到以点O为圆心的扇环ABCD。
(1)求OB及$\overset{\frown}{AD}$的长。
(2)设矩形纸片的长和宽分别为$b$，$a(a≤ b)$。
① 如图②，将扇环ABCD放于矩形纸片之上，矩形一边与$\overset{\frown}{AD}$所在圆相切于点I，点A，B，C，D均在矩形的边上，直接写出$a$，$b$的值。
② 一矩形纸片的宽为18.2，长为25.7，能否剪出上述的扇环ABCD(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)？
③ 一矩形纸片的规格为$15× b$，当该纸片能剪出扇环ABCD时，求$b$的取值范围(提示：$\sin^2α+\cos^2α=1$，$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$)。

(1) 设$∠ O=n°$. 由题图①，得$\overset{\frown}{AD}=9π$，$\overset{\frown}{BC}=6π$，所以$\frac{nπ}{180}· OB=6π$，$\frac{nπ}{180}· (OB+9)=9π$. 所以$\frac{OB}{OB+9}=\frac{2}{3}$. 所以$OB=18$
(2) ① 如图①，延长$AB,DC$交于点$O$，连结$IO$交$BC$于点$H$. 因为四边形$EFKG$为矩形，所以$EF// GK$，$∠ G=∠ K=90°$. 因为矩形的一边与$\overset{\frown}{AD}$所在圆(即$\odot O$)相切于点$I$，$OI$为$\odot O$的半径，所以$OI⊥ EF$. 因为$EF// GK$，所以$OI⊥ GK$. 由(1)，得$OB=OC=18$，$AB=CD=9$，$\overset{\frown}{BC}=6π$. 所以$OA=OI=9+18=27$. 所以$∠ BOC=\frac{6π}{2×18π}×360°=60°$. 所以$△ OBC$是等边三角形. 所以$BC=OB=18$，$∠ OBC=∠ OCB=60°$. 所以$∠ ABG=60°$. 所以$∠ BAG=30°$. 所以$BG=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{2}$. 同理，可得$CK=\frac{9}{2}$. 所以$GK=\frac{9}{2}+18+\frac{9}{2}=27$，即$b=27$. 因为易得$OH=9\sqrt{3}$，所以$IH=OI-OH=27-9\sqrt{3}$，即$a=27-9\sqrt{3}$
② 将扇环按如图②所示的方式放置时，过点$C$作$CF⊥ AO$于点$F$，过点$D$作$DE⊥ AO$于点$E$，连结$BC$，延长$AB,DC$交于点$O$. 由(1)(2)①，得$OB=OC=18$，$∠ O=60°$，$△ OBC$是等边三角形，所以在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ OBC=60°$，$∠ CFB=90°$，$BC=OB=18$. 所以易得$BF=9$，$CF=9\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$∠ OED=90°$，$OD=OA=27$，$∠ O=60°$，所以易得$OE=\frac{27}{2}$，$DE=\frac{27\sqrt{3}}{2}\approx23.382＜25.7$. 因为$AB=9$，$BF=9$，所以$AF=AB+BF=9+9=18＜18.2$. 所以宽为18.2，长为25.7的矩形纸片，能剪出上述的扇环$ABCD$
③ 如图③，延长$AB,DC$交于点$O$. 当$\overset{\frown}{AD}$在$MN$上滚动，且点$A$在$MQ$上，点$D$在$NS$上，点$C$在$SQ$上时，$MN$的长最小，即$b$的值最小. 此时，$P$为$\overset{\frown}{AD}$所在圆(即$\odot O$)与矩形的边$MN$的切点，连结$OP$，交$SQ$于点$H$，交$\overset{\frown}{BC}$于点$G$，则易得$OP⊥ MN$，$OP⊥ SQ$，$PH=15$，$PG=9$，$OG=18$. 所以$GH=PH-PG=15-9=6$，$OH=OG-GH=18-6=12$. 过点$D$作$DJ⊥ OP$于点$J$，过点$A$作$AK⊥ OP$于点$K$. 设$∠ COG=β(0°＜β≤60°)$，$∠ GOB=α(0°＜α≤60°)$. 所以在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，$\cosβ=\frac{OH}{OC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. 所以$\sinβ=\sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. 易得$DS=DC·\cosβ=6$. 所以$DS=GH$. 所以此时点$J$与点$G$重合. 所以在$\mathrm{Rt}△ ODJ$中，$DJ=OD·\sinβ=27×\frac{\sqrt{5}}{3}=9\sqrt{5}$. 因为$∠ BOC=60°$，所以$α=60°-β$. 所以$\sinα=\sin(60°-β)=\sin60°\cosβ-\cos60°\sinβ=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$. 在$\mathrm{Rt}△ AOK$中，$AK=OA·\sinα=27×\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}=9\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{5}}{2}$. 所以易得$MN=AK+DJ=9\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{5}}{2}$. 所以$b≥9\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{5}}{2}$