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基础知识·预习
问题1 写出一个一般形式的二次函数，并将它化为顶点式，你能总结转化的基本步骤吗？
问题2 写出一个一般形式的二次函数，用顶点公式求它的顶点坐标，然后画图分析其性质。
问题3 写出一个一般形式的二次函数，分析它的图象是由$y=ax^2(a≠0)$的图象如何平移得到的。
问题1 写出一个一般形式的二次函数，并将它化为顶点式，你能总结转化的基本步骤吗？
问题2 写出一个一般形式的二次函数，用顶点公式求它的顶点坐标，然后画图分析其性质。
问题3 写出一个一般形式的二次函数，分析它的图象是由$y=ax^2(a≠0)$的图象如何平移得到的。
答案
解：
---
问题1
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$
转化为顶点式的过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
---
问题2
举例：取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
（描点绘制开口向上、过上述交点、顶点在$(1,-4)$的抛物线即可完成画图）
---
问题3
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：
将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
---
问题1
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$
转化为顶点式的过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
---
问题2
举例：取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
（描点绘制开口向上、过上述交点、顶点在$(1,-4)$的抛物线即可完成画图）
---
问题3
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：
将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
解析
【分析】
本题是围绕二次函数核心基础知识点设置的预习类问题，三个问题层层递进，解题思路如下：
1. 问题1考查配方法将二次函数一般式化为顶点式：首先任选一个二次项系数不为0的二次函数一般式，再按照“提二次项系数→凑完全平方式→整理化简”的流程转化，最后梳理转化步骤即可。
2. 问题2考查顶点公式的应用及二次函数性质分析：先写出一般式确定a、b、c的取值，分别代入顶点横、纵坐标公式求出顶点坐标，再从开口方向、对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点几个维度分析性质，画图时先确定关键点再描点连线即可。
3. 问题3考查二次函数图像的平移规律：先将选好的一般式化为顶点式，再根据“左加右减（针对x）、上加下减（针对常数项）”的平移规则，说明从$y=ax^2$到目标函数的平移路径即可。
【解析】
问题1解答
举例取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，化为顶点式过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
问题2解答
举例取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
画图：先描出上述顶点、与坐标轴的交点，再用平滑曲线连接各点，画出开口向上的抛物线即可。
问题3解答
举例取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
【答案】
---
问题1
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$
转化为顶点式的过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
---
问题2
举例：取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
（描点绘制开口向上、过上述交点、顶点在$(1,-4)$的抛物线即可完成画图）
---
问题3
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：
将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数图像平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础巩固类习题，通过自主举例实操的形式，引导学生熟练掌握配方法、顶点公式、图像平移规律等核心基础知识，注重对基础方法的理解和落实，为后续二次函数的综合应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.8
本题是围绕二次函数核心基础知识点设置的预习类问题，三个问题层层递进，解题思路如下：
1. 问题1考查配方法将二次函数一般式化为顶点式：首先任选一个二次项系数不为0的二次函数一般式，再按照“提二次项系数→凑完全平方式→整理化简”的流程转化，最后梳理转化步骤即可。
2. 问题2考查顶点公式的应用及二次函数性质分析：先写出一般式确定a、b、c的取值，分别代入顶点横、纵坐标公式求出顶点坐标，再从开口方向、对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点几个维度分析性质，画图时先确定关键点再描点连线即可。
3. 问题3考查二次函数图像的平移规律：先将选好的一般式化为顶点式，再根据“左加右减（针对x）、上加下减（针对常数项）”的平移规则，说明从$y=ax^2$到目标函数的平移路径即可。
【解析】
问题1解答
举例取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，化为顶点式过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
问题2解答
举例取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
画图：先描出上述顶点、与坐标轴的交点，再用平滑曲线连接各点，画出开口向上的抛物线即可。
问题3解答
举例取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
【答案】
---
问题1
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$
转化为顶点式的过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+1\\&=2(x^2-2x)+1\\&=2(x^2-2x+1-1)+1\\&=2(x-1)^2 -2 +1\\&=2(x-1)^2 -1\end{aligned}$
转化基本步骤：
1. 提：提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外；
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内的部分配成完全平方式；
3. 化：去括号整理，最终写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
---
问题2
举例：取一般形式二次函数 $y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点公式计算：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
得顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
1. 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
2. 对称轴：直线$x=1$；
3. 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$y=-4$，无最大值；
5. 与坐标轴交点：与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，与$y$轴交于$(0,-3)$。
（描点绘制开口向上、过上述交点、顶点在$(1,-4)$的抛物线即可完成画图）
---
问题3
举例：取一般形式二次函数 $y=2x^2-4x+1$，配方得顶点式$y=2(x-1)^2-1$，对应基础抛物线为$y=2x^2$。
平移过程：
将$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到$y=2x^2-4x+1$的图象。
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数图像平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础巩固类习题，通过自主举例实操的形式，引导学生熟练掌握配方法、顶点公式、图像平移规律等核心基础知识，注重对基础方法的理解和落实，为后续二次函数的综合应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】将二次函数 $y=x^2 -6x +5$ 通过配方法化为顶点式 $y=a(x-h)^2 +k$，结果是（）
A. $y=(x-3)^2 +4$
B. $y=(x-6)^2 -3$
C. $y=(x-6)^2 +5$
D. $y=(x-3)^2 -4$
【答案】D
规律方法 将二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 化成 $y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$ 的方法。
1. 配方法：$y=ax^2 +bx +c =a·(x^2 +\dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a})=a[x^2 +\dfrac{b}{a}x +(\dfrac{b}{2a})^2 -(\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{c}{a}]=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
2. 待定系数法：设 $y=ax^2 +bx +c$ 可
化为 $y=a(x-h)^2 +k$。
而 $y=a(x-h)^2 +k =ax^2 -2ahx +ah^2 +k$。
所以 $-2ah =b, ah^2 +k =c$。
由此可得 $h=-\dfrac{b}{2a}, k=\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
所以 $y=ax^2 +bx +c =a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
A. $y=(x-3)^2 +4$
B. $y=(x-6)^2 -3$
C. $y=(x-6)^2 +5$
D. $y=(x-3)^2 -4$
【答案】D
规律方法 将二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 化成 $y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$ 的方法。
1. 配方法：$y=ax^2 +bx +c =a·(x^2 +\dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a})=a[x^2 +\dfrac{b}{a}x +(\dfrac{b}{2a})^2 -(\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{c}{a}]=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
2. 待定系数法：设 $y=ax^2 +bx +c$ 可
化为 $y=a(x-h)^2 +k$。
而 $y=a(x-h)^2 +k =ax^2 -2ahx +ah^2 +k$。
所以 $-2ah =b, ah^2 +k =c$。
由此可得 $h=-\dfrac{b}{2a}, k=\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
所以 $y=ax^2 +bx +c =a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
答案
解：
对二次函数$y=x^2 -6x +5$用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x + 9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
结果对应选项D。
对二次函数$y=x^2 -6x +5$用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x + 9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
结果对应选项D。
解析
【分析】
要将二次函数一般式通过配方法化为顶点式，首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数；接下来对含x的项凑完全平方：先取一次项系数的一半，计算其平方，给原式加上这个平方数再减去相同的数，保证式子的值不变；最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式，再对应选项选择答案。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +5$用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x + 9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数变形的基础题型，重点考查配方法的应用，掌握配方法凑完全平方的步骤是解题关键，该知识点是后续学习二次函数图像与性质的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要将二次函数一般式通过配方法化为顶点式，首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数；接下来对含x的项凑完全平方：先取一次项系数的一半，计算其平方，给原式加上这个平方数再减去相同的数，保证式子的值不变；最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式，再对应选项选择答案。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +5$用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x + 9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数变形的基础题型，重点考查配方法的应用，掌握配方法凑完全平方的步骤是解题关键，该知识点是后续学习二次函数图像与性质的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
