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基础知识·预习
问题1 举例说明同底数幂的除法是如何计算的.
问题2 举例说明如何进行单项式除以单项式的计算.
问题3 举例说明怎样将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
问题1 举例说明同底数幂的除法是如何计算的.
问题2 举例说明如何进行单项式除以单项式的计算.
问题3 举例说明怎样将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
答案
解：
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^5 ÷ 2^3$，
根据乘方定义推导：$2^5÷2^3=\frac{2×2×2×2×2}{2×2×2}=2×2=2^2$，
套用法则计算：底数2保持不变，指数相减得$5-3=2$，因此$2^5÷2^3=2^{5-3}=2^2=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$12a^3b^2 ÷ 3ab$，
第一步计算系数相除：$12÷3=4$，
第二步计算同底数幂分别相除：$a^3÷ a = a^{3-1}=a^2$，$b^2÷ b = b^{2-1}=b$，
将上述结果相乘，得到最终结果为$4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a$，
将多项式的两项分别除以单项式$2a$，原式转化为：
$6a^3÷ 2a + 4a^2÷ 2a$，
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到$3a^2 + 2a$，即为原式的结果。
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^5 ÷ 2^3$，
根据乘方定义推导：$2^5÷2^3=\frac{2×2×2×2×2}{2×2×2}=2×2=2^2$，
套用法则计算：底数2保持不变，指数相减得$5-3=2$，因此$2^5÷2^3=2^{5-3}=2^2=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$12a^3b^2 ÷ 3ab$，
第一步计算系数相除：$12÷3=4$，
第二步计算同底数幂分别相除：$a^3÷ a = a^{3-1}=a^2$，$b^2÷ b = b^{2-1}=b$，
将上述结果相乘，得到最终结果为$4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a$，
将多项式的两项分别除以单项式$2a$，原式转化为：
$6a^3÷ 2a + 4a^2÷ 2a$，
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到$3a^2 + 2a$，即为原式的结果。
解析
【分析】
这三道题是整式除法的基础概念与运算考查题，解题思路清晰如下：1.解答问题1时，先明确同底数幂的除法法则，既可以通过乘方的定义约分推导计算过程，也可以直接套用“底数不变，指数相减”的规则计算，结合具体例子演示即可；2.解答问题2时，遵循单项式除以单项式的运算顺序：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后把仅在被除式里出现的字母连同指数照搬，合并各部分结果即可；3.解答问题3时，依据“拆分转化”的思路，先把多项式拆成若干个单项式，分别除以除式的单项式，再把所有的商相加，就完成了运算转化，结合实例分步演示即可理解。
【解析】
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^5 ÷ 2^3$，
根据乘方定义推导：$2^5÷2^3=\frac{2×2×2×2×2}{2×2×2}=2×2=2^2$，
套用法则计算：底数2保持不变，指数相减得$5-3=2$，因此$2^5÷2^3=2^{5-3}=2^2=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$12a^3b^2 ÷ 3ab$，
第一步计算系数相除：$12÷3=4$，
第二步计算同底数幂分别相除：$a^3÷ a = a^{3-1}=a^2$，$b^2÷ b = b^{2-1}=b$，
将上述结果相乘，得到最终结果为$4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a$，
将多项式的两项分别除以单项式$2a$，原式转化为：
$6a^3÷ 2a + 4a^2÷ 2a$，
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到$3a^2 + 2a$，即为原式的结果。
【答案】
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。举例：$2^5 ÷ 2^3=2^{5-3}=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。举例：$12a^3b^2 ÷ 3ab=4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可转化为单项式除以单项式运算。举例：$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a=3a^2 + 2a$。
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.单项式除以单项式法则
3.多项式除以单项式法则
【点评】
本题是整式除法的基础入门题，核心是理解三类整式除法的运算逻辑，运算时需注意同底数幂除法底数不能为0、多项式除以单项式不要漏项，熟练掌握这些内容能为后续整式混合运算、因式分解等知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这三道题是整式除法的基础概念与运算考查题，解题思路清晰如下：1.解答问题1时，先明确同底数幂的除法法则，既可以通过乘方的定义约分推导计算过程，也可以直接套用“底数不变，指数相减”的规则计算，结合具体例子演示即可；2.解答问题2时，遵循单项式除以单项式的运算顺序：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后把仅在被除式里出现的字母连同指数照搬，合并各部分结果即可；3.解答问题3时，依据“拆分转化”的思路，先把多项式拆成若干个单项式，分别除以除式的单项式，再把所有的商相加，就完成了运算转化，结合实例分步演示即可理解。
【解析】
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^5 ÷ 2^3$，
根据乘方定义推导：$2^5÷2^3=\frac{2×2×2×2×2}{2×2×2}=2×2=2^2$，
套用法则计算：底数2保持不变，指数相减得$5-3=2$，因此$2^5÷2^3=2^{5-3}=2^2=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$12a^3b^2 ÷ 3ab$，
第一步计算系数相除：$12÷3=4$，
第二步计算同底数幂分别相除：$a^3÷ a = a^{3-1}=a^2$，$b^2÷ b = b^{2-1}=b$，
将上述结果相乘，得到最终结果为$4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a$，
将多项式的两项分别除以单项式$2a$，原式转化为：
$6a^3÷ 2a + 4a^2÷ 2a$，
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到$3a^2 + 2a$，即为原式的结果。
【答案】
问题1：同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$都是正整数，且$m＞n$）。举例：$2^5 ÷ 2^3=2^{5-3}=4$。
问题2：单项式除以单项式的计算规则为：将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。举例：$12a^3b^2 ÷ 3ab=4a^2b$。
问题3：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有得到的商相加，即可转化为单项式除以单项式运算。举例：$(6a^3 + 4a^2) ÷ 2a=3a^2 + 2a$。
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.单项式除以单项式法则
3.多项式除以单项式法则
【点评】
本题是整式除法的基础入门题，核心是理解三类整式除法的运算逻辑，运算时需注意同底数幂除法底数不能为0、多项式除以单项式不要漏项，熟练掌握这些内容能为后续整式混合运算、因式分解等知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】计算：
(1)$a^7 ÷ a^4$；(2)$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8$；
(3)$(xy)^4 ÷ (xy)$；(4)$-1^0 + (-2)^0$.
思路导引 按照同底数幂的除法与零指数幂的运算性质直接计算即可.
【解】(1)$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$.
(2)$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$.
(3)$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3 y^3$.
(4)$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$.
规律方法 1. 在同底数幂的除法运算公式中,底数$a$可为单个数字或字母,也可以是单项式或多项式,但不能等于0,否则除数无意义.
2. 几个同底数幂相除,也有类似的计算,即$a^m ÷ a^n ÷ a^p = a^{m-n-p}$($m,n,p$是正整数且$m＞n+p$,$a≠0$).
3. 指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂后,幂的运算法则仍然适用.
(1)$a^7 ÷ a^4$；(2)$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8$；
(3)$(xy)^4 ÷ (xy)$；(4)$-1^0 + (-2)^0$.
思路导引 按照同底数幂的除法与零指数幂的运算性质直接计算即可.
【解】(1)$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$.
(2)$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$.
(3)$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3 y^3$.
(4)$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$.
规律方法 1. 在同底数幂的除法运算公式中,底数$a$可为单个数字或字母,也可以是单项式或多项式,但不能等于0,否则除数无意义.
2. 几个同底数幂相除,也有类似的计算,即$a^m ÷ a^n ÷ a^p = a^{m-n-p}$($m,n,p$是正整数且$m＞n+p$,$a≠0$).
3. 指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂后,幂的运算法则仍然适用.
答案
解：
(1) $a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) $(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) $(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$
(4) $-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
(1) $a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) $(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) $(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$
(4) $-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
1. 前3题为同底数幂相除的运算，依据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0）计算即可，其中第(3)题可以将$xy$看作整体作为底数运算，得到$(xy)^3$后再依据积的乘方法则展开即可。
2. 第(4)题考查零指数幂的运算，依据性质：任何非零数的0次幂都等于1计算，注意运算优先级，$-1^0$是先计算$1^0$再添加负号，不要和$(-1)^0$混淆，最后计算加法得到结果。
【解析】
(1) 按照同底数幂的除法法则计算：
$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) 将$\dfrac{3}{5}$作为底数，应用同底数幂除法法则计算：
$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) 将$xy$看作整体作为底数运算，再展开结果：
$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3 y^3$
(4) 按照零指数幂的性质计算：
$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
【答案】
(1) $a^3$；(2) $\dfrac{9}{25}$；(3) $x^3y^3$；(4) $0$
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是准确掌握同底数幂除法和零指数幂的运算规则，解题时可以将单项式、多项式等整体看作幂的底数参与运算，同时要注意运算符号和运算优先级，避免出现$-1^0=1$这类概念性错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
1. 前3题为同底数幂相除的运算，依据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0）计算即可，其中第(3)题可以将$xy$看作整体作为底数运算，得到$(xy)^3$后再依据积的乘方法则展开即可。
2. 第(4)题考查零指数幂的运算，依据性质：任何非零数的0次幂都等于1计算，注意运算优先级，$-1^0$是先计算$1^0$再添加负号，不要和$(-1)^0$混淆，最后计算加法得到结果。
【解析】
(1) 按照同底数幂的除法法则计算：
$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) 将$\dfrac{3}{5}$作为底数，应用同底数幂除法法则计算：
$(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) 将$xy$看作整体作为底数运算，再展开结果：
$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3 y^3$
(4) 按照零指数幂的性质计算：
$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
【答案】
(1) $a^3$；(2) $\dfrac{9}{25}$；(3) $x^3y^3$；(4) $0$
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是准确掌握同底数幂除法和零指数幂的运算规则，解题时可以将单项式、多项式等整体看作幂的底数参与运算，同时要注意运算符号和运算优先级，避免出现$-1^0=1$这类概念性错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列计算正确的是 （
A.$x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^5$
B.$(xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^2$
C.$x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = 1$
D.$x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^2$
A
）A.$x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^5$
B.$(xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^2$
C.$x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = 1$
D.$x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^2$
答案
1.A 【解析】$x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^{10} ÷ x^5 = x^5$. 故选项A正确。
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘除运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。运算时遵循“先算括号内，再算括号外，同级运算从左到右”的顺序，逐一计算每个选项的结果，对比选项判断正误即可。
【解析】
根据同底数幂的运算法则逐一分析选项：
选项A：先计算括号内的运算，$x^7 ÷ x^2 = x^{7-2}=x^5$，再计算括号外的除法：$x^{10} ÷ x^5 = x^{10-5}=x^5$，该选项计算正确。
选项B：$(xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^{8-4}=(xy)^4≠(xy)^2$，该选项计算错误。
选项C：同级运算从左到右计算，$x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = x^{4n-2n} ·x^{2n}=x^{2n}·x^{2n}=x^{4n}≠1$，该选项计算错误。
选项D：$x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^{2(m+1)-(m+1)}=x^{m+1}≠x^2$，该选项计算错误。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法；整式运算顺序
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对同底数幂乘除法则的掌握程度，解题时要注意运算顺序，不要混淆指数的加减规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂的乘除运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。运算时遵循“先算括号内，再算括号外，同级运算从左到右”的顺序，逐一计算每个选项的结果，对比选项判断正误即可。
【解析】
根据同底数幂的运算法则逐一分析选项：
选项A：先计算括号内的运算，$x^7 ÷ x^2 = x^{7-2}=x^5$，再计算括号外的除法：$x^{10} ÷ x^5 = x^{10-5}=x^5$，该选项计算正确。
选项B：$(xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^{8-4}=(xy)^4≠(xy)^2$，该选项计算错误。
选项C：同级运算从左到右计算，$x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = x^{4n-2n} ·x^{2n}=x^{2n}·x^{2n}=x^{4n}≠1$，该选项计算错误。
选项D：$x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^{2(m+1)-(m+1)}=x^{m+1}≠x^2$，该选项计算错误。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法；整式运算顺序
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对同底数幂乘除法则的掌握程度，解题时要注意运算顺序，不要混淆指数的加减规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
