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1.【例1】已知:如图,$∠ AOB$.
求作:$∠ AOB$的平分线.
作法:(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的内部相交于点$C$.
(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
该作法是依据
2.如图,在$△ ABC$中,用尺规作$△ ABC$的角平分线$AE$.
求作:$∠ AOB$的平分线.
作法:(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的内部相交于点$C$.
(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
该作法是依据
SSS
判定$△ OMC ≌ △ ONC$.2.如图,在$△ ABC$中,用尺规作$△ ABC$的角平分线$AE$.
答案
1. 解:SSS 作图如图所示
.2. 解:如图所示,AE即为所求
.解析
【分析】
第1题：要确定△OMC≌△ONC的判定依据，先从作法中提取相等的边：①由作法第一步可知，OM和ON都是以O为圆心的同圆半径，故OM=ON；②由作法第二步可知，MC和NC都是以相同长度为半径作的弧，故MC=NC；③OC是两个三角形的公共边，OC=OC。三边对应相等的三角形全等，结合全等判定定理即可得出答案。
第2题：要作△ABC的角平分线AE，本质是作∠BAC的角平分线，交BC边于点E，直接套用角平分线的尺规作图步骤即可完成作图。
【解析】
1. 对△OMC和△ONC：
由尺规作图步骤得：OM=ON（同圆半径相等），MC=NC（等圆半径相等），又OC=OC（公共边），因此满足三边对应相等，依据SSS（边边边）判定定理可证△OMC≌△ONC，全等后对应角∠MOC=∠NOC，故OC是∠AOB的平分线。
2. 作△ABC角平分线AE的步骤：
(1) 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两个点；
(2) 分别以这两个交点为圆心，取大于两个交点之间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
(3) 过点A和上述交点作射线，交BC边于点E，线段AE即为△ABC的角平分线。
【答案】
1. SSS 作图如图所示。
2. 如图所示,AE即为所求。
【知识点】
全等三角形SSS判定，角平分线的尺规作图
【点评】
这两道题是角平分线相关的基础题，既考查了尺规作角平分线的操作方法，也考查了作图背后的全等判定原理，掌握该类基础题型是后续学习角平分线性质、解决更复杂几何问题的前提。
【难度系数】
0.8
第1题：要确定△OMC≌△ONC的判定依据，先从作法中提取相等的边：①由作法第一步可知，OM和ON都是以O为圆心的同圆半径，故OM=ON；②由作法第二步可知，MC和NC都是以相同长度为半径作的弧，故MC=NC；③OC是两个三角形的公共边，OC=OC。三边对应相等的三角形全等，结合全等判定定理即可得出答案。
第2题：要作△ABC的角平分线AE，本质是作∠BAC的角平分线，交BC边于点E，直接套用角平分线的尺规作图步骤即可完成作图。
【解析】
1. 对△OMC和△ONC：
由尺规作图步骤得：OM=ON（同圆半径相等），MC=NC（等圆半径相等），又OC=OC（公共边），因此满足三边对应相等，依据SSS（边边边）判定定理可证△OMC≌△ONC，全等后对应角∠MOC=∠NOC，故OC是∠AOB的平分线。
2. 作△ABC角平分线AE的步骤：
(1) 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两个点；
(2) 分别以这两个交点为圆心，取大于两个交点之间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
(3) 过点A和上述交点作射线，交BC边于点E，线段AE即为△ABC的角平分线。
【答案】
1. SSS 作图如图所示
。2. 如图所示,AE即为所求
。【知识点】
全等三角形SSS判定，角平分线的尺规作图
【点评】
这两道题是角平分线相关的基础题，既考查了尺规作角平分线的操作方法，也考查了作图背后的全等判定原理，掌握该类基础题型是后续学习角平分线性质、解决更复杂几何问题的前提。
【难度系数】
0.8
▶引入 (1)如图
，点P到直线l的距离，是指
(2)如图
，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为B，C，则PB与PC相等吗？为什么？
，点P到直线l的距离，是指PQ
的长度。(2)如图
，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为B，C，则PB与PC相等吗？为什么？答案
(1) PQ
(2) 解:相等. 理由如下:
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∵ PB ⊥ AB,PC ⊥ AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
又
∵ AP = AP,
∴ △ABP≌△ACP(AAS).
∴ PB = PC.
(2) 解:相等. 理由如下:
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∵ PB ⊥ AB,PC ⊥ AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
又
∵ AP = AP,
∴ △ABP≌△ACP(AAS).
∴ PB = PC.
解析
【分析】
（1）本题考查点到直线距离的定义，回忆定义可知：点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，点到垂足之间的垂线段的长度，据此找到对应线段即可求解；
（2）要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。结合已知条件梳理全等条件：由角平分线可得一组对应角相等，由垂直可得两个直角相等，再加上公共边相等，即可用AAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到PB=PC的结论。
【解析】
（1）根据点到直线距离的定义，点P到直线l的距离是点P向直线l作垂线所得的垂线段PQ的长度；
（2）PB与PC相等，理由如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP = ∠CAP，
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°，
又
∵ AP = AP，
∴ △ABP≌△ACP（AAS），
∴ PB = PC。
【答案】
(1) PQ
(2) 相等. 理由如下:
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∵ PB ⊥ AB,PC ⊥ AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
又
∵ AP = AP,
∴ △ABP≌△ACP(AAS).
∴ PB = PC.
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，侧重对基础概念和基础证明能力的考查，第一问直接考查几何基础定义，熟记概念即可得分；第二问是全等三角形证明的常规题型，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.9
（1）本题考查点到直线距离的定义，回忆定义可知：点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，点到垂足之间的垂线段的长度，据此找到对应线段即可求解；
（2）要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。结合已知条件梳理全等条件：由角平分线可得一组对应角相等，由垂直可得两个直角相等，再加上公共边相等，即可用AAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到PB=PC的结论。
【解析】
（1）根据点到直线距离的定义，点P到直线l的距离是点P向直线l作垂线所得的垂线段PQ的长度；
（2）PB与PC相等，理由如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP = ∠CAP，
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°，
又
∵ AP = AP，
∴ △ABP≌△ACP（AAS），
∴ PB = PC。
【答案】
(1) PQ
(2) 相等. 理由如下:
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∵ PB ⊥ AB,PC ⊥ AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
又
∵ AP = AP,
∴ △ABP≌△ACP(AAS).
∴ PB = PC.
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，侧重对基础概念和基础证明能力的考查，第一问直接考查几何基础定义，熟记概念即可得分；第二问是全等三角形证明的常规题型，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.9
3.【例2】如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长是（
A.2
B.3
C.4
D.6
4. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知DC = 2，则点D到AB边的距离为
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
4. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知DC = 2，则点D到AB边的距离为
2
.答案
3. D
4. 2
4. 2
解析
【分析】
这两道题都考查角平分线的性质应用，解题思路如下：
1. 首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，看到题干中出现角平分线、点到角两边的垂线段时，可直接利用该性质找等量关系，无需额外证明全等。
2. 第3题：BG是∠ABC的角平分线，点D在BG上，DE⊥AB、DF⊥BC分别是D到角两边AB、BC的距离，因此二者长度相等，直接代入DE的长度即可得DF的长。
3. 第4题：BD是∠ABC的角平分线，点D在BD上，DC⊥BC是D到BC边的距离，要求D到AB边的距离，根据性质可知该距离与DC长度相等，代入DC的长度即可。
【解析】
第3题：
解：
∵BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB，DF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DF = DE = 6，因此本题选D。
第4题：
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度就是点D到AB边的距离。
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质可得DE = DC，
已知DC=2，
∴DE=2，即点D到AB边的距离为2。
【答案】
3. D
4. 2
【知识点】
角平分线的性质、点到直线的距离、垂直的定义
【点评】
这两道题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线上的点对应的两条到角两边的垂线段，直接利用性质即可快速得到结果，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
这两道题都考查角平分线的性质应用，解题思路如下：
1. 首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，看到题干中出现角平分线、点到角两边的垂线段时，可直接利用该性质找等量关系，无需额外证明全等。
2. 第3题：BG是∠ABC的角平分线，点D在BG上，DE⊥AB、DF⊥BC分别是D到角两边AB、BC的距离，因此二者长度相等，直接代入DE的长度即可得DF的长。
3. 第4题：BD是∠ABC的角平分线，点D在BD上，DC⊥BC是D到BC边的距离，要求D到AB边的距离，根据性质可知该距离与DC长度相等，代入DC的长度即可。
【解析】
第3题：
解：
∵BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB，DF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DF = DE = 6，因此本题选D。
第4题：
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度就是点D到AB边的距离。
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质可得DE = DC，
已知DC=2，
∴DE=2，即点D到AB边的距离为2。
【答案】
3. D
4. 2
【知识点】
角平分线的性质、点到直线的距离、垂直的定义
【点评】
这两道题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线上的点对应的两条到角两边的垂线段，直接利用性质即可快速得到结果，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
