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15. (★★)甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降5 cm，4天后，甲、乙水库水位总的变化情况各如何？
答案
解：记水位升高为正，水位下降为负。
甲水库4天后的水位总变化量为：
$3×4=12(\mathrm{cm})$
乙水库4天后的水位总变化量为：
$(-5)×4=-20(\mathrm{cm})$
答：4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
甲水库4天后的水位总变化量为：
$3×4=12(\mathrm{cm})$
乙水库4天后的水位总变化量为：
$(-5)×4=-20(\mathrm{cm})$
答：4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
解析
【分析】
解决本题首先要明确水位升高和下降是一对相反意义的量，因此我们可以先规定正方向，用正负数分别表示水位升高和下降的单日变化量；再根据“总变化量=单日变化量×天数”的数量关系，分别对甲、乙水库的总变化量列式计算；最后根据计算结果的正负判断实际的水位变化情况即可。
【解析】
记水位升高为正，水位下降为负。
甲水库4天后的水位总变化量为：
$3×4=12(\mathrm{cm})$
乙水库4天后的水位总变化量为：
$(-5)×4=-20(\mathrm{cm})$
答：4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
【答案】
4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的乘法运算
【点评】
本题结合生活中的水位变化场景，考查正负数的意义和有理数乘法的计算，解题的核心是先对相反意义的量进行正负规定，再结合基础数量关系列式计算，掌握有理数乘法的符号规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确水位升高和下降是一对相反意义的量，因此我们可以先规定正方向，用正负数分别表示水位升高和下降的单日变化量；再根据“总变化量=单日变化量×天数”的数量关系，分别对甲、乙水库的总变化量列式计算；最后根据计算结果的正负判断实际的水位变化情况即可。
【解析】
记水位升高为正，水位下降为负。
甲水库4天后的水位总变化量为：
$3×4=12(\mathrm{cm})$
乙水库4天后的水位总变化量为：
$(-5)×4=-20(\mathrm{cm})$
答：4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
【答案】
4天后甲水库水位总共升高12 cm，乙水库水位总共下降20 cm。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的乘法运算
【点评】
本题结合生活中的水位变化场景，考查正负数的意义和有理数乘法的计算，解题的核心是先对相反意义的量进行正负规定，再结合基础数量关系列式计算，掌握有理数乘法的符号规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
16. (★★)下列说法:①互为倒数的两个数相乘积为1;②正数的倒数是正数,负数的倒数是负数;③小于-1的数的倒数大于其本身;④大于1的数的倒数小于其本身;⑤一个数的倒数不可能等于它本身.其中正确的说法有 【 】
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
本题考查倒数的相关概念与性质，解题时首先回忆倒数的定义，再逐一判断5个说法的正误，判断过程中既可以根据定义推导，也可以举符合条件的实例验证，最后统计正确说法的个数匹配选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，因此互为倒数的两个数相乘的积为1，该说法正确；
②由于两个数相乘同号得正，互为倒数的两个数乘积为1（正数），因此正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，该说法正确；
③举例验证：取小于-1的数-2，它的倒数是$-\frac{1}{2}$，显然$-\frac{1}{2}＞-2$，结合负数比较大小的规则：绝对值越小的负数越大，小于-1的数绝对值大于1，它的倒数绝对值小于1，因此小于-1的数的倒数大于其本身，该说法正确；
④举例验证：取大于1的数2，它的倒数是$\frac{1}{2}$，显然$\frac{1}{2}＜2$，大于1的正数的倒数是小于1的正数，因此大于1的数的倒数小于其本身，该说法正确；
⑤1的倒数是1，-1的倒数是-1，这两个数的倒数等于它本身，因此该说法错误。
综上，正确的说法有①②③④，共4个。
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义,倒数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记倒数的定义，尤其要注意±1的倒数等于其本身这个特殊情况，判断时通过举实例验证可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查倒数的相关概念与性质，解题时首先回忆倒数的定义，再逐一判断5个说法的正误，判断过程中既可以根据定义推导，也可以举符合条件的实例验证，最后统计正确说法的个数匹配选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，因此互为倒数的两个数相乘的积为1，该说法正确；
②由于两个数相乘同号得正，互为倒数的两个数乘积为1（正数），因此正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，该说法正确；
③举例验证：取小于-1的数-2，它的倒数是$-\frac{1}{2}$，显然$-\frac{1}{2}＞-2$，结合负数比较大小的规则：绝对值越小的负数越大，小于-1的数绝对值大于1，它的倒数绝对值小于1，因此小于-1的数的倒数大于其本身，该说法正确；
④举例验证：取大于1的数2，它的倒数是$\frac{1}{2}$，显然$\frac{1}{2}＜2$，大于1的正数的倒数是小于1的正数，因此大于1的数的倒数小于其本身，该说法正确；
⑤1的倒数是1，-1的倒数是-1，这两个数的倒数等于它本身，因此该说法错误。
综上，正确的说法有①②③④，共4个。
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义,倒数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记倒数的定义，尤其要注意±1的倒数等于其本身这个特殊情况，判断时通过举实例验证可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
17. (★★)若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值是2，则$3x-(a+b+c× d)× x$的值为多少？
答案
解：
因为a,b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c,d互为倒数，所以$c× d=1$。
因为x的绝对值是2，所以$x=2$或$x=-2$。
将$a+b=0$，$c× d=1$代入$3x-(a+b+c× d)× x$，得：
原式$=3x-(0+1)× x=3x-x=2x$
当$x=2$时，$2x=2×2=4$；
当$x=-2$时，$2x=2×(-2)=-4$。
所以$3x-(a+b+c× d)× x$的值为4或-4。
因为a,b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c,d互为倒数，所以$c× d=1$。
因为x的绝对值是2，所以$x=2$或$x=-2$。
将$a+b=0$，$c× d=1$代入$3x-(a+b+c× d)× x$，得：
原式$=3x-(0+1)× x=3x-x=2x$
当$x=2$时，$2x=2×2=4$；
当$x=-2$时，$2x=2×(-2)=-4$。
所以$3x-(a+b+c× d)× x$的值为4或-4。
解析
【分析】
解题时首先提取题目中的关键条件：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2。第一步先根据对应概念的性质推导定值：互为相反数的两数和为0，可得a+b=0；互为倒数的两数乘积为1，可得c×d=1；绝对值为2的数有2和-2两个，所以x有两种取值。第二步将得到的定值代入代数式先化简，再分别代入x的两个取值计算结果，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
解：因为a,b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c,d互为倒数，所以$c×d=1$。
因为x的绝对值是2，所以$x=2$或$x=-2$。
将$a+b=0$，$c×d=1$代入$3x-(a+b+c× d)× x$，得：
原式$=3x-(0+1)×x=3x-x=2x$
当$x=2$时，$2x=2×2=4$；
当$x=-2$时，$2x=2×(-2)=-4$。
所以$3x-(a+b+c× d)× x$的值为4或-4。
【答案】
4或-4
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查对相反数、倒数、绝对值基本概念的理解与应用，解题时需注意绝对值为正数的数对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题目中的关键条件：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2。第一步先根据对应概念的性质推导定值：互为相反数的两数和为0，可得a+b=0；互为倒数的两数乘积为1，可得c×d=1；绝对值为2的数有2和-2两个，所以x有两种取值。第二步将得到的定值代入代数式先化简，再分别代入x的两个取值计算结果，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
解：因为a,b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c,d互为倒数，所以$c×d=1$。
因为x的绝对值是2，所以$x=2$或$x=-2$。
将$a+b=0$，$c×d=1$代入$3x-(a+b+c× d)× x$，得：
原式$=3x-(0+1)×x=3x-x=2x$
当$x=2$时，$2x=2×2=4$；
当$x=-2$时，$2x=2×(-2)=-4$。
所以$3x-(a+b+c× d)× x$的值为4或-4。
【答案】
4或-4
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查对相反数、倒数、绝对值基本概念的理解与应用，解题时需注意绝对值为正数的数对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
18. (★★★)如图,桌上有9张卡片,每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张(包括已翻过的牌),改变其向上的面,然后计算能看到的所有牌面数字的积,则翻了2024次时牌面数字的积为【
】
A.1
B.-1
C.2024
D.-2024
】A.1
B.-1
C.2024
D.-2024
答案
A
解析
【分析】
我们可以先从每次翻卡片对总乘积的影响入手思考：首先每张卡片翻面时，数字变为原来的相反数，相当于给总乘积乘一个-1；每次翻2张卡片，就相当于给总乘积乘2次-1，计算可知乘2次-1的结果是1，说明每次翻卡片后总乘积和原来的乘积相等。再结合初始状态的总乘积，就能推出任意次翻动后的总乘积。
【解析】
解：初始状态9张卡片均为1，此时所有牌面数字的乘积为：
$1×1×1×···×1$（共9个1）$=1$
每次翻动2张卡片时，每张被翻动的卡片数字变为原来的相反数，即每张卡片对应给总乘积乘$-1$，翻动2张总乘积的变化为：
$(-1)×(-1)=1$
也就是说每次翻动后，总乘积保持和翻动前相等。
因此无论翻动多少次，总乘积始终等于初始的1，翻动2024次时，牌面数字的积仍为1。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；乘积符号判断；规律探究
【点评】
本题不需要逐次计算每次翻动的结果，只需抓住每次操作对总乘积的影响，找到“总乘积始终不变”这个核心规律，就能快速得出答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先从每次翻卡片对总乘积的影响入手思考：首先每张卡片翻面时，数字变为原来的相反数，相当于给总乘积乘一个-1；每次翻2张卡片，就相当于给总乘积乘2次-1，计算可知乘2次-1的结果是1，说明每次翻卡片后总乘积和原来的乘积相等。再结合初始状态的总乘积，就能推出任意次翻动后的总乘积。
【解析】
解：初始状态9张卡片均为1，此时所有牌面数字的乘积为：
$1×1×1×···×1$（共9个1）$=1$
每次翻动2张卡片时，每张被翻动的卡片数字变为原来的相反数，即每张卡片对应给总乘积乘$-1$，翻动2张总乘积的变化为：
$(-1)×(-1)=1$
也就是说每次翻动后，总乘积保持和翻动前相等。
因此无论翻动多少次，总乘积始终等于初始的1，翻动2024次时，牌面数字的积仍为1。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；乘积符号判断；规律探究
【点评】
本题不需要逐次计算每次翻动的结果，只需抓住每次操作对总乘积的影响，找到“总乘积始终不变”这个核心规律，就能快速得出答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
