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9. (★★)(2024·北京改编)有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
【 】
A.$b ＞ -1$
B.$|b| ＞ 2$
C.$a + b ＞ 0$
D.$a × b ＞ 0$
【 】
A.$b ＞ -1$
B.$|b| ＞ 2$
C.$a + b ＞ 0$
D.$a × b ＞ 0$
答案
C
解析
【分析】
解决数轴与有理数结合的题目，首先要从数轴上读取a、b的取值范围：观察数轴可得b位于-2和-1之间，a位于2和3之间，可知a为正数、b为负数，且a的绝对值大于b的绝对值。接下来结合有理数的相关性质，对四个选项逐一判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据数轴可知：$\boldsymbol{-2 ＜ b ＜ -1}$，$\boldsymbol{2 ＜ a ＜ 3}$。
选项A：b在-1左侧，可得$b ＜ -1$，故A错误；
选项B：由$-2 ＜ b ＜ -1$，根据绝对值的性质可得$1 ＜ |b| ＜ 2$，即$|b| ＜ 2$，故B错误；
选项C：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，a为正数且$|a|＞|b|$，因此$a+b$的符号为正，即$a+b＞0$，故C正确；
选项D：异号两数相乘得负，a为正、b为负，因此$a× b＜0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数的运算；绝对值的性质
【点评】
本题属于数轴与有理数性质结合的基础题型，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合有理数运算法则、绝对值的性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
解决数轴与有理数结合的题目，首先要从数轴上读取a、b的取值范围：观察数轴可得b位于-2和-1之间，a位于2和3之间，可知a为正数、b为负数，且a的绝对值大于b的绝对值。接下来结合有理数的相关性质，对四个选项逐一判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据数轴可知：$\boldsymbol{-2 ＜ b ＜ -1}$，$\boldsymbol{2 ＜ a ＜ 3}$。
选项A：b在-1左侧，可得$b ＜ -1$，故A错误；
选项B：由$-2 ＜ b ＜ -1$，根据绝对值的性质可得$1 ＜ |b| ＜ 2$，即$|b| ＜ 2$，故B错误；
选项C：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，a为正数且$|a|＞|b|$，因此$a+b$的符号为正，即$a+b＞0$，故C正确；
选项D：异号两数相乘得负，a为正、b为负，因此$a× b＜0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数的运算；绝对值的性质
【点评】
本题属于数轴与有理数性质结合的基础题型，解题核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合有理数运算法则、绝对值的性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
10. (★★)下列说法正确的是 【 】
A.负数没有倒数
B.正数的倒数比自身小
C.任何有理数都有倒数
D.倒数等于本身的数是1和-1
A.负数没有倒数
B.正数的倒数比自身小
C.任何有理数都有倒数
D.倒数等于本身的数是1和-1
答案
D
解析
【分析】
本题考查倒数的相关概念，解题时首先明确倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，接下来逐一分析每个选项，通过举反例或者依据定义判断正误即可得到正确答案。
【解析】
根据倒数的定义逐个判断选项：
A选项：不为0的数都有倒数，负数也有倒数，例如-2的倒数是-$\frac{1}{2}$，因此A错误；
B选项：正数的倒数不一定比自身小，例如正分数$\frac{1}{3}$的倒数是3，3大于$\frac{1}{3}$，且1的倒数是1，和自身相等，因此B错误；
C选项：0属于有理数，但0和任何数相乘都得0，无法得到乘积为1，因此0没有倒数，不是所有有理数都有倒数，C错误；
D选项：若一个数的倒数等于它本身，即这个数乘它本身的乘积为1，满足条件的数只有1和-1（$1×1=1$，$(-1)×(-1)=1$），因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.倒数的定义 2.倒数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟记倒数的定义，易错点是容易遗漏0没有倒数、小于1的正数倒数大于自身这两类特殊情况，平时学习要注意对概念的全面理解。
【难度系数】
0.8
本题考查倒数的相关概念，解题时首先明确倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，接下来逐一分析每个选项，通过举反例或者依据定义判断正误即可得到正确答案。
【解析】
根据倒数的定义逐个判断选项：
A选项：不为0的数都有倒数，负数也有倒数，例如-2的倒数是-$\frac{1}{2}$，因此A错误；
B选项：正数的倒数不一定比自身小，例如正分数$\frac{1}{3}$的倒数是3，3大于$\frac{1}{3}$，且1的倒数是1，和自身相等，因此B错误；
C选项：0属于有理数，但0和任何数相乘都得0，无法得到乘积为1，因此0没有倒数，不是所有有理数都有倒数，C错误；
D选项：若一个数的倒数等于它本身，即这个数乘它本身的乘积为1，满足条件的数只有1和-1（$1×1=1$，$(-1)×(-1)=1$），因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.倒数的定义 2.倒数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟记倒数的定义，易错点是容易遗漏0没有倒数、小于1的正数倒数大于自身这两类特殊情况，平时学习要注意对概念的全面理解。
【难度系数】
0.8
11. (★)计算:
(1)$(+4)×(-5)=$ ;
(2)$(-0.125)×(-8)=$ ;
(3)$(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7})=$ ;
(4)$0×(-13.52)=$ .
12. (★)下列说法正确的有 【 】
①一个数同1相乘,仍得这个数;
②一个数同-1相乘,得这个数的相反数;
③一个数同0相乘,仍得0;
④互为相反数的两个数的积为1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1)$(+4)×(-5)=$ ;
(2)$(-0.125)×(-8)=$ ;
(3)$(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7})=$ ;
(4)$0×(-13.52)=$ .
12. (★)下列说法正确的有 【 】
①一个数同1相乘,仍得这个数;
②一个数同-1相乘,得这个数的相反数;
③一个数同0相乘,仍得0;
④互为相反数的两个数的积为1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案
解：
11.
(1) $(+4)×(-5) = -(4×5) = -20$
(2) $(-0.125)×(-8) = 0.125×8 = 1$
(3) $(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = 1$
(4) $0×(-13.52) = 0$
12.
逐一判断：
① 一个数同1相乘，仍得这个数，说法正确；
② 一个数同-1相乘，得这个数的相反数，说法正确；
③ 一个数同0相乘，仍得0，说法正确；
④ 互为相反数的两个数的积不一定为1，例如2和-2互为相反数，积为-4，该说法错误。
综上正确的说法共3个，故选C。
11.
(1) $(+4)×(-5) = -(4×5) = -20$
(2) $(-0.125)×(-8) = 0.125×8 = 1$
(3) $(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = 1$
(4) $0×(-13.52) = 0$
12.
逐一判断：
① 一个数同1相乘，仍得这个数，说法正确；
② 一个数同-1相乘，得这个数的相反数，说法正确；
③ 一个数同0相乘，仍得0，说法正确；
④ 互为相反数的两个数的积不一定为1，例如2和-2互为相反数，积为-4，该说法错误。
综上正确的说法共3个，故选C。
解析
【分析】
解答本题首先要回忆有理数乘法的相关规则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；0乘任何数都得0；2.判断性质类题目要结合概念逐一验证，错误说法可通过举反例排除。
对于第11题的计算，每道小题先判断两个乘数的符号确定积的符号，再计算绝对值的乘积即可，遇到带分数先化为假分数再计算；对于第12题，逐个对照4个说法，结合乘法性质和相反数的概念判断正误，最后统计正确个数选答案。
【解析】
11题计算
(1) 两个乘数符号一正一负，异号得负，再算绝对值乘积：$(+4)×(-5) = -(4×5) = -20$
(2) 两个乘数都是负数，同号得正，再算绝对值乘积：$(-0.125)×(-8) = 0.125×8 = 1$
(3) 先把带分数化为假分数，两个乘数同号得正，再约分计算：$(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = 1$
(4) 根据0乘任何数都得0的规则：$0×(-13.52) = 0$
12题判断
逐一验证4个说法：
① 一个数同1相乘，仍得这个数，符合乘法性质，说法正确；
② 一个数同-1相乘，得到的数和原数符号相反、绝对值相等，是原数的相反数，说法正确；
③ 一个数同0相乘，仍得0，符合乘法规则，说法正确；
④ 互为相反数的两个数的积为1是错误的，例如2和-2互为相反数，乘积为$-4≠1$，该说法错误。
综上正确的说法共3个，对应选项C。
【答案】
11.(1)$-20$；(2)$1$；(3)$1$；(4)$0$
12.$\boxed{C}$
【知识点】
有理数乘法法则；相反数的性质；带分数运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，侧重考查核心法则和基本概念的掌握，计算时要养成先确定符号再计算数值的习惯，概念辨析类题目可通过举反例快速排除错误选项，熟练掌握基础规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要回忆有理数乘法的相关规则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；0乘任何数都得0；2.判断性质类题目要结合概念逐一验证，错误说法可通过举反例排除。
对于第11题的计算，每道小题先判断两个乘数的符号确定积的符号，再计算绝对值的乘积即可，遇到带分数先化为假分数再计算；对于第12题，逐个对照4个说法，结合乘法性质和相反数的概念判断正误，最后统计正确个数选答案。
【解析】
11题计算
(1) 两个乘数符号一正一负，异号得负，再算绝对值乘积：$(+4)×(-5) = -(4×5) = -20$
(2) 两个乘数都是负数，同号得正，再算绝对值乘积：$(-0.125)×(-8) = 0.125×8 = 1$
(3) 先把带分数化为假分数，两个乘数同号得正，再约分计算：$(-2\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{3}{7}) = 1$
(4) 根据0乘任何数都得0的规则：$0×(-13.52) = 0$
12题判断
逐一验证4个说法：
① 一个数同1相乘，仍得这个数，符合乘法性质，说法正确；
② 一个数同-1相乘，得到的数和原数符号相反、绝对值相等，是原数的相反数，说法正确；
③ 一个数同0相乘，仍得0，符合乘法规则，说法正确；
④ 互为相反数的两个数的积为1是错误的，例如2和-2互为相反数，乘积为$-4≠1$，该说法错误。
综上正确的说法共3个，对应选项C。
【答案】
11.(1)$-20$；(2)$1$；(3)$1$；(4)$0$
12.$\boxed{C}$
【知识点】
有理数乘法法则；相反数的性质；带分数运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，侧重考查核心法则和基本概念的掌握，计算时要养成先确定符号再计算数值的习惯，概念辨析类题目可通过举反例快速排除错误选项，熟练掌握基础规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
13. (★★)若四个不相等的整数之积为9，
则这四个整数的和为.
则这四个整数的和为.
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
首先结合题目条件“四个不相等的整数之积为9”推导取值：第一步回忆有理数乘法性质，乘积为正数说明负因数个数是偶数个；第二步列出9的所有整数因数：±1、±3、±9；第三步筛选符合要求的数：如果四个数包含±9，剩余3个数的乘积只能是±1，仅用±1无法凑出3个不相等的整数，因此排除±9，剩下的±1、±3刚好是4个不相等的整数，乘积恰好为9，最后计算四个数的和即可。
【解析】
解：
∵ 四个互不相等的整数的积为9，9的整数因数有±1、±3、±9。
若四个数中包含9或-9，则剩余3个整数的乘积为1或-1，只能由1和-1组成，必然出现重复数字，不符合“互不相等”的条件，因此排除±9。
∴ 符合条件的四个互不相等的整数为：-3、-1、1、3。
计算它们的和：$(-3) + (-1) + 1 + 3 = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；因数的概念
【点评】
本题解题关键是根据乘积结果反推整数的可能取值，注意不要忽略负因数的情况，同时紧扣“四个数互不相等”的约束条件筛选符合要求的数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
首先结合题目条件“四个不相等的整数之积为9”推导取值：第一步回忆有理数乘法性质，乘积为正数说明负因数个数是偶数个；第二步列出9的所有整数因数：±1、±3、±9；第三步筛选符合要求的数：如果四个数包含±9，剩余3个数的乘积只能是±1，仅用±1无法凑出3个不相等的整数，因此排除±9，剩下的±1、±3刚好是4个不相等的整数，乘积恰好为9，最后计算四个数的和即可。
【解析】
解：
∵ 四个互不相等的整数的积为9，9的整数因数有±1、±3、±9。
若四个数中包含9或-9，则剩余3个整数的乘积为1或-1，只能由1和-1组成，必然出现重复数字，不符合“互不相等”的条件，因此排除±9。
∴ 符合条件的四个互不相等的整数为：-3、-1、1、3。
计算它们的和：$(-3) + (-1) + 1 + 3 = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；因数的概念
【点评】
本题解题关键是根据乘积结果反推整数的可能取值，注意不要忽略负因数的情况，同时紧扣“四个数互不相等”的约束条件筛选符合要求的数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
14. (★★)计算:
(1) $-\dfrac{1}{2} × \dfrac{12}{5}$;
(2) $(-\dfrac{21}{4}) × (-\dfrac{32}{3})$;
(3) $-\dfrac{25}{12} × 32$;
(4) $(-0.25) × (-4\dfrac{1}{2})$.
(1) $-\dfrac{1}{2} × \dfrac{12}{5}$;
(2) $(-\dfrac{21}{4}) × (-\dfrac{32}{3})$;
(3) $-\dfrac{25}{12} × 32$;
(4) $(-0.25) × (-4\dfrac{1}{2})$.
答案
解：
(1) 原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{12}{5})=-\dfrac{6}{5}$
(2) 原式$=\dfrac{21}{4}×\dfrac{32}{3}=56$
(3) 原式$=-(\dfrac{25}{12}×32)=-\dfrac{200}{3}$
(4) 原式$=(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{9}{8}$
(1) 原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{12}{5})=-\dfrac{6}{5}$
(2) 原式$=\dfrac{21}{4}×\dfrac{32}{3}=56$
(3) 原式$=-(\dfrac{25}{12}×32)=-\dfrac{200}{3}$
(4) 原式$=(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{9}{8}$
解析
【分析】
解答这组有理数乘法计算题，核心依据是有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。解题思路分两步：第一步先根据两个乘数的符号判断积的符号；第二步计算两个乘数绝对值的乘积，若乘数是小数或带分数，先统一转化为分数形式，计算过程中优先约分可以简化运算，降低出错概率。
【解析】
(1) 两个乘数异号，乘积为负，再计算绝对值的乘积：
原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{12}{5})=-\dfrac{6}{5}$
(2) 两个乘数同负，乘积为正，再计算绝对值的乘积，先约分再计算：
原式$=\dfrac{21}{4}×\dfrac{32}{3}=7×8=56$
(3) 两个乘数异号，乘积为负，再计算绝对值的乘积，先约分再计算：
原式$=-(\dfrac{25}{12}×32)=-(\dfrac{25}{3}×8)=-\dfrac{200}{3}$
(4) 先将小数、带分数转化为分数，两个乘数同负，乘积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{1}{4}×\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$；(2) $56$；(3) $-\dfrac{200}{3}$；(4) $\dfrac{9}{8}$
【知识点】
有理数乘法法则，分数约分，数的形式互化
【点评】
本题是有理数乘法的基础训练题，重点考查符号判断和基础运算能力，计算时养成“先定符号，再算绝对值”的习惯，遇到非分数形式的乘数先转化为分数、优先约分，能有效提升计算正确率和效率。
【难度系数】
0.8
解答这组有理数乘法计算题，核心依据是有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。解题思路分两步：第一步先根据两个乘数的符号判断积的符号；第二步计算两个乘数绝对值的乘积，若乘数是小数或带分数，先统一转化为分数形式，计算过程中优先约分可以简化运算，降低出错概率。
【解析】
(1) 两个乘数异号，乘积为负，再计算绝对值的乘积：
原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{12}{5})=-\dfrac{6}{5}$
(2) 两个乘数同负，乘积为正，再计算绝对值的乘积，先约分再计算：
原式$=\dfrac{21}{4}×\dfrac{32}{3}=7×8=56$
(3) 两个乘数异号，乘积为负，再计算绝对值的乘积，先约分再计算：
原式$=-(\dfrac{25}{12}×32)=-(\dfrac{25}{3}×8)=-\dfrac{200}{3}$
(4) 先将小数、带分数转化为分数，两个乘数同负，乘积为正，再计算绝对值的乘积：
原式$=(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{1}{4}×\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$；(2) $56$；(3) $-\dfrac{200}{3}$；(4) $\dfrac{9}{8}$
【知识点】
有理数乘法法则，分数约分，数的形式互化
【点评】
本题是有理数乘法的基础训练题，重点考查符号判断和基础运算能力，计算时养成“先定符号，再算绝对值”的习惯，遇到非分数形式的乘数先转化为分数、优先约分，能有效提升计算正确率和效率。
【难度系数】
0.8
